Integral de Riemann-Stieltjes

El mejor teorema de existencia simple establece que si f es continua y g es de variación acotada en [a, b], entonces la integral existe. Una función g es de variación acotada si y solo si es la diferencia entre dos funciones monótonas (acotadas). Si g no es de variación acotada, entonces habrá funciones continuas que no se pueden integrar con respecto a g. En general, la integral no está bien definida si f y g comparten algún punto de discontinuidad, pero también hay otros casos.

Interpretación geométrica

Una parcela 3D, con x{displaystyle x}, f()x){displaystyle f(x)}, y g()x){displaystyle g(x)} a lo largo de los ejes ortogonales, conduce a una interpretación geométrica de la integral Riemann-Stieltjes.

Si g{displaystyle g}-x{displaystyle x} plano es horizontal y el f{displaystyle f}- la dirección apunta hacia arriba, entonces la superficie a considerar es como una valla curvada. La valla sigue la curva trazada por g()x){displaystyle g(x)}, y la altura de la valla es dada por f()x){displaystyle f(x)}. La valla es la sección de la g{displaystyle g}- hoja de cálculo (es decir, g{displaystyle g} curva extendida a lo largo de f{displaystyle f} axis) que está ligado entre el g{displaystyle g}-x{displaystyle x} el avión y el f{displaystyle f}- hoja. La integral Riemann-Stieljes es el área de la proyección de esta cerca sobre la f{displaystyle f}-g{displaystyle g} plano — en efecto, su "shadow".

La pendiente de g()x){displaystyle g(x)} pesa el área de la proyección. Los valores de x{displaystyle x} para la cual g()x){displaystyle g(x)} tiene la pendiente más empinada g.()x){displaystyle g'(x)} corresponden a regiones de la valla con mayor proyección y por lo tanto llevan el mayor peso en la integral.

Cuando g{displaystyle g} es una función paso

s\end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g()x)={}0six≤ ≤ s1six■s{displaystyle g(x)={begin{cases}0 reducida{text{if }xleq s1 limitada{if}x {if}end{cases}}

s\end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803ffba98c92e21979438407a7de0ab2b442eff7" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.791ex; height:6.176ex;"/>

la valla tiene una "puerta" rectangular de ancho 1 y altura igual a f()s){displaystyle f(s)}. Así la puerta, y su proyección, tienen área igual a f()s){displaystyle f(s)}, el valor de la integral Riemann-Stieljes.

Generalización

Una generalización importante es la integral de Lebesgue-Stieltjes, que generaliza la integral de Riemann-Stieltjes de manera análoga a cómo la integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann. Si se permiten integrales impropias de Riemann-Stieltjes, entonces la integral de Lebesgue no es estrictamente más general que la integral de Riemann-Stieltjes.

La integral de Riemann-Stieltjes también se generaliza cuando el integrando ƒ o el integrador g toman valores en un espacio de Banach. Si g: [a,b] → X toma valores en el espacio de Banach X, entonces es natural asumir que es de variación fuertemente acotada, lo que significa que

<math alttext="{displaystyle sup sum _{i}|g(t_{i-1})-g(t_{i})|_{X}Sup.. i.. g()ti− − 1)− − g()ti).. X.JUEGO JUEGO {displaystyle sup sum _{i}fnuncio(t_{i-1})-g(t_{i})fn_{X}<img alt="{displaystyle sup sum _{i}|g(t_{i-1})-g(t_{i})|_{X}

El supremum que se está tomando sobre todas las particiones finitas

a=t0≤ ≤ t1≤ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ≤ tn=b{displaystyle a=t_{0}leq t_{1}leq cdots leq T_{n}=b}

del intervalo [a,b]. Esta generalización juega un papel en el estudio de los semigrupos, a través de la transformada de Laplace-Stieltjes.

The Itô integral extends the Riemann–Stieltjes integral to encompass integrand and integrator which are stochastic processes rather than simple functions; see also stochastic calculus.

Integral de Riemann-Stieltjes generalizada

Una ligera generalización es considerar en la definición anterior particiones P que refinan otra partición P_ε, lo que significa que P surge de P_ε por la suma de puntos, en lugar de de tabiques con una malla más fina. Específicamente, la integral generalizada de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g es un número A tal que para cada ε > 0 existe una partición P_ε tal que para cada partición P que refina P_ε,

<math alttext="{displaystyle |S(P,f,g)-A|SilencioS()P,f,g)− − ASilencio.ε ε {displaystyle TENS(P,f,g)-A escondidavarepsilon ,}<img alt="|S(P,f,g)-A|

para cada elección de puntos c_i en [x_i, x_i+1].

Esta generalización muestra la integral de Riemann-Stieltjes como el límite de Moore-Smith en el conjunto dirigido de particiones de [a, b].

Una consecuencia es que con esta definición, la integral ∫ ∫ abf()x)dg()x){textstyle int _{a}{b}f(x),mathrm {d} g(x)} se puede definir en casos en que f y g tener un punto de discontinuidad en común.

Sumas de Darboux

La integral de Riemann-Stieltjes se puede manejar de manera eficiente mediante una generalización adecuada de las sumas de Darboux. Para una partición P y una función no decreciente g en [a, b] define la suma de Darboux superior de f con respecto a g por

U()P,f,g)=.. i=1n[g()xi)− − g()xi− − 1)]Supx▪ ▪ [xi− − 1,xi]f()x){displaystyle U(P,f,g)=sum _{i=1}{n},,[,g(x_{i})-g(x_{i-1}),sup _{xin [x_{i-1},x_{i}}f(x)}

y la suma menor por

L()P,f,g)=.. i=1n[g()xi)− − g()xi− − 1)]infx▪ ▪ [xi− − 1,xi]f()x).{displaystyle L(P,f,g)=sum _{i=1}{n},,[,g(x_{i})-g(x_{i-1}),inf _{xin [x_{i-1},x_{i}]}f(x}

Entonces el Riemann-Stieltjes generalizado de f con respecto a g existe si y solo si, para todo ε > 0, existe una partición P tal que

<math alttext="{displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)U()P,f,g)− − L()P,f,g).ε ε .{displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g) interpretadovarepsilon.}<img alt="U(P,f,g)-L(P,f,g)

Además, f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g (en el sentido clásico) si

limMesh⁡ ⁡ ()P)→ → 0[U()P,f,g)− − L()P,f,g)]=0.{displaystyle lim _{operatorname { mesh}(P)to 0}[,U(P,f,g)-L(P,f,g),]=0.quad }

Ejemplos y casos especiales

Diferenciable g(x)

Dado a g()x){displaystyle g(x)} que es continuamente diferente sobre R{displaystyle mathbb {R} se puede demostrar que existe la igualdad

∫ ∫ abf()x)dg()x)=∫ ∫ abf()x)g.()x)dx{displaystyle int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} g(x)=int _{a}^{b}f(x)g'(x),mathrm {d} x}

donde el integral en el lado derecho es el estándar Riemann integral, asumiendo que f{displaystyle f} puede ser integrado por el Riemann–Stieltjes integral.

Más generalmente, la integral Riemann es igual a la integral Riemann-Stieltjes si g{displaystyle g} es la Lebesgue integral de su derivado; en este caso g{displaystyle g} se dice que es absolutamente continuo.

Puede ser el caso g{displaystyle g} tiene discontinuidades de salto, o puede tener cero derivativo casi en todas partes mientras sigue siendo continuo y creciente (por ejemplo, g{displaystyle g} podría ser la función Cantor o “Escalinata del Diablo”), en cualquiera de los casos la integral Riemann–Stieltjes no es capturada por ninguna expresión que implica derivaciones de g.

Integral de Riemann

La integral estándar Riemann es un caso especial de la integral Riemann-Stieltjes donde g()x)=x{displaystyle g(x)=x}.

rectificador

Considerar la función g()x)=max{}0,x}{displaystyle g(x)=max{0,x} utilizado en el estudio de redes neuronales, llamada unidad lineal rectificada (ReLU). Entonces el Riemann-Stieltjes puede ser evaluado como

∫ ∫ abf()x)dg()x)=∫ ∫ g()a)g()b)f()x)dx{displaystyle int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} g(x)=int _{g(a)}{g(b)}f(x),mathrm {d} x}

donde la integral del lado derecho es la integral estándar de Riemann.

Integración Cavalieri

El principio de Cavalieri se puede utilizar para calcular áreas atadas por curvas utilizando Riemann-Stieltjes integrales. Las tiras de integración de Riemann se sustituyen por tiras que no están en forma. El método es transformar una "región Cavaliere" con una transformación h{displaystyle h}, o para utilizar g=h− − 1{displaystyle g=h^{-1} como integrado.

Para una función determinada f()x){displaystyle f(x)} en un intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]}, una "función traduccional" a()Sí.){displaystyle a(y)} debe interseccionar ()x,f()x)){displaystyle (x,f(x)} exactamente una vez para cualquier cambio en el intervalo. Una "región de Cavaliere" está atada por f()x),a()Sí.){displaystyle f(x),a(y)}, el x{displaystyle x}-Eje, y b()Sí.)=a()Sí.)+()b− − a){displaystyle b(y)=a(y)+(b-a)}. La zona de la región es entonces

∫ ∫ a()Sí.)b()Sí.)f()x)dx=∫ ∫ a.b.f()x)dg()x),{displaystyle int _{a(y)}{b(y)}f(x),dx = int _{a'}^{b'}f(x),dg(x),}

Donde a.{displaystyle a'} y b.{displaystyle b'} son x{displaystyle x}-valores donde a()Sí.){displaystyle a(y)} y b()Sí.){displaystyle b(y)} intersect f()x){displaystyle f(x)}.