Integral de Riemann

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Funda básica en el cálculo elemental

El integral como el área de una región bajo una curva.

Una secuencia de Riemann resume sobre una partición regular de un intervalo. El número en la parte superior es el área total de los rectángulos, que converge a la parte integral de la función.

La partición no necesita ser regular, como se muestra aquí. La aproximación funciona mientras el ancho de cada subdivisión tiende a cero.

En la rama de las matemáticas conocida como análisis real, la integral de Riemann, creada por Bernhard Riemann, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo. Se presentó a la facultad de la Universidad de Göttingen en 1854, pero no se publicó en una revista hasta 1868. Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede evaluarse mediante el teorema fundamental del cálculo o aproximarse mediante integración numérica.

Resumen

Sea $f$ una función de valor real no negativa en el intervalo $[a, b]$ , y sea $S$ la región del plano debajo del gráfico de la función $f$ y arriba del intervalo $[a, b]$ . Ver la figura en la parte superior derecha. Esta región se puede expresar en notación de constructor de conjuntos como

<math alttext="{displaystyle S=left{(x,y),:,aleq xleq b,,,0<yS={}()x,Sí.):a\leq \leq x\leq \leq b,0.Sí..f()x)}.{displaystyle S=left{(x,y),:,aleq xleq b,,0 secuestró a la derecha.} <img alt="{displaystyle S=left{(x,y),:,aleq xleq b,,,0<y

Estamos interesados en medir el área de $S$ . Una vez que la hayamos medido, denotaremos el área de la forma habitual por

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx.}

La idea básica de la integral de Riemann es usar aproximaciones muy simples para el área de $S$ . Tomando cada vez mejores aproximaciones, podemos decir que "en el límite" obtenemos exactamente el área de $S$ debajo de la curva.

Cuando $f (x)$ puede tomar valores negativos, la integral es igual al área firmada entre el gráfico de $f$ y el $x$ -eje: es decir, el área sobre el $x$ -eje menos el área debajo de $x$ -axis.

Definición

Particiones de un intervalo

Una partición de un intervalo $[a, b]$ es una secuencia finita de números de la forma

<math alttext="{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{i}<dots a=x0.x1.x2.⋯ ⋯ .xi.⋯ ⋯ .xn=b{displaystyle a=x_{0} seleccionx_{1} - No.<img alt="{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<dots <x_{i}<dots

Cada $[x i, x i + 1]$ se denomina subintervalo de la partición. La malla o norma de una partición se define como la longitud del subintervalo más largo, es decir,

{displaystyle max left(x_{i+1}-x_{i}right),quad iin [0,n-1].}

Una partición etiquetada $P (x, t)$ de un intervalo $[a, b]$ es una partición junto con una secuencia finita de números t₀,..., t_{n − 1} sujeto a las condiciones de que para cada $i$ , $t i \in [x i, x i + 1]$ . En otras palabras, es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo. La malla de una partición etiquetada es la misma que la de una partición normal.

Supongamos que dos particiones $P (x, t)$ y $Q (y, s)$ son ambas particiones del intervalo $[a, b]$ . Decimos que $Q (y, s)$ es un refinamiento de $P (x, t)$ si para cada entero $i$ , con $i \in [0, n]$ , existe un número entero $r (i)$ tal que $x i = y r (i)$ y tal que $t i = s j$ para algunos $j$ con $j \in [r (i), r (i + 1)]$ . Dicho de manera más simple, un refinamiento de una partición etiquetada divide algunos de los subintervalos y agrega etiquetas a la partición cuando es necesario, por lo que "refina" la precisión de la partición.

Podemos convertir el conjunto de todas las particiones etiquetadas en un conjunto dirigido diciendo que una partición etiquetada es mayor o igual que otra si la primera es un refinamiento de la segunda.

Suma de Riemann

Sea $f$ una función de valor real definida en el intervalo $[a, b]$ . La suma de Riemann de $f$ con respecto a la partición etiquetada $x 0,..., x n$ junto con $t 0,..., t n - 1$ es

{displaystyle sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})left(x_{i+1}-x_{i}right).}

Cada término de la suma es el producto del valor de la función en un punto dado y la longitud de un intervalo. En consecuencia, cada término representa el área (con signo) de un rectángulo con altura $f (t i)$ y ancho $x i + 1 - x i$ . La suma de Riemann es el área (con signo) de todos los rectángulos.

Conceptos estrechamente relacionados son las sumas de Darboux superior e inferior. Son similares a las sumas de Riemann, pero las etiquetas se reemplazan por el mínimo y el supremo (respectivamente) de $f$ en cada subintervalo:

{displaystyle {begin{aligned}L(f,P)&=sum _{i=0}^{n-1}inf _{tin [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\U(f,P)&=sum _{i=0}^{n-1}sup _{tin [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).end{aligned}}}

Si $f$ es continua, entonces las sumas de Darboux inferior y superior para una partición sin etiquetar son iguales a la suma de Riemann para esa partición, donde las etiquetas se eligen para que sean el mínimo o el máximo (respectivamente) de $f$ en cada subintervalo. (Cuando $f$ es discontinuo en un subintervalo, es posible que no haya una etiqueta que logre el mínimo o el supremo en ese subintervalo). La integral de Darboux, que es similar a la integral de Riemann pero basada en sumas de Darboux, es equivalente a la integral de Riemann.

Integral de Riemann

En términos generales, la integral de Riemann es el límite de las sumas de Riemann de una función a medida que las particiones se vuelven más finas. Si existe el límite, entonces se dice que la función es integrable (o más específicamente integrable de Riemann). La suma de Riemann se puede hacer tan cercana como se desee a la integral de Riemann haciendo la partición lo suficientemente fina.

Un requisito importante es que la malla de las particiones debe ser cada vez más pequeña, de modo que en el límite sea cero. Si esto no fuera así, entonces no estaríamos obteniendo una buena aproximación a la función en ciertos subintervalos. De hecho, esto es suficiente para definir una integral. Para ser específicos, decimos que la integral de Riemann de $f$ es igual a $s$ si se cumple la siguiente condición:

Para todos $ε ■ 0$ , existe $δ ■ 0$ tal que para cualquier partición etiquetada $x 0,... x n$ y $t 0,... t n - 1$ cuya malla es menor $δ$ , tenemos
$<math alttext="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|Silencio().. i=0n− − 1f()ti)()xi+1− − xi))− − sSilencio.ε ε .{displaystyle left durableleft(sum) ¿Por qué?<img alt="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|$

Desafortunadamente, esta definición es muy difícil de usar. Sería útil desarrollar una definición equivalente de la integral de Riemann con la que sea más fácil trabajar. Desarrollamos esta definición ahora, con una prueba de equivalencia a continuación. Nuestra nueva definición dice que la integral de Riemann de $f$ es igual a $s$ si se cumple la siguiente condición:

Para todos $ε ■ 0$ , existe una partición etiquetada $Sí. 0,... Sí. m$ y $r 0,... r m - 1$ tal que para cualquier partición etiquetada $x 0,... x n$ y $t 0,... t n - 1$ que es un refinamiento $Sí. 0,... Sí. m$ y $r 0,... r m - 1$ , tenemos
$<math alttext="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|Silencio().. i=0n− − 1f()ti)()xi+1− − xi))− − sSilencio.ε ε .{displaystyle left durableleft(sum) ¿Por qué?<img alt="{displaystyle left|left(sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})right)-sright|$

Estos dos significan que eventualmente, la suma de Riemann de $f$ con respecto a cualquier partición queda atrapada cerca de s. Dado que esto es cierto sin importar qué tan cerca exigimos que las sumas estén atrapadas, decimos que las sumas de Riemann convergen a $s$ . Estas definiciones son en realidad un caso especial de un concepto más general, una red.

Como dijimos anteriormente, estas dos definiciones son equivalentes. En otras palabras, $s$ funciona en la primera definición si y solo si $s$ funciona en la segunda definición. Para mostrar que la primera definición implica la segunda, comience con un estilo ε y elija un estilo $δ$ que satisface la condición. Elija cualquier partición etiquetada cuya malla sea menor que $δ$ . Su suma de Riemann está dentro de $ε$ de $s$ , y cualquier refinamiento de esta partición también tendrá una malla menor que $δ$ , por lo que la suma de Riemann del refinamiento será también estar dentro de $ε$ de $s.$

Para mostrar que la segunda definición implica la primera, es más fácil usar la integral de Darboux. Primero, se muestra que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para esto ver el artículo Darboux Integral. Ahora mostraremos que una función integrable de Darboux satisface la primera definición. Repare $ε$ y elija una partición $y 0,..., y m$ tales que las sumas de Darboux inferior y superior con respecto a esta partición están dentro de $ε /2$ del valor $s$ de la integral de Darboux. Dejar

{displaystyle r=2sup _{xin [a,b]}|f(x)|.}

Si $r = 0$ , entonces $f$ es la función cero, que es claramente tanto Darboux como Riemann integrables con cero integral. Por lo tanto, asumiremos que $r > 0$ . Si $m > 1$ , luego elegimos $δ$ tal que

<math alttext="{displaystyle delta δ δ .min{}ε ε 2r()m− − 1),()Sí.1− − Sí.0),()Sí.2− − Sí.1),⋯ ⋯ ,()Sí.m− − Sí.m− − 1)}{displaystyle delta } {varepsilon }{2r(m-1)}}},left(y_{1}-y_{0}right),left(y_{2}-y_{1}right),cdotsleft(y_{m}-y_{m-1}right)right<img alt="{displaystyle delta

Si $m = 1$ , entonces elegimos $δ$ para ser menor que uno. Elija una partición etiquetada $x 0,..., x n$ y $t 0,..., t n - 1$ con malla más pequeña que $δ$ . Debemos mostrar que la suma de Riemann está dentro de $ε$ de $s$ .

Para ver esto, elija un intervalo $[x i, x i + 1]$ . Si este intervalo está contenido dentro de algún $[y j, y j + 1]$ , entonces

<math alttext="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})mj.f()ti).Mj{displaystyle - No.<img alt="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})

m j

M j

[Sí. j, Sí. j + 1]

s

m = 1

Por lo tanto, podemos suponer que $m > 1$ . En este caso, es posible que uno de los $[x i, x i + 1]$ no está contenido en ningún $[y j, y j + 1]$ . En su lugar, puede extenderse a lo largo de dos de los intervalos determinados por $y 0,..., y m$ . (No puede cumplir con tres intervalos porque se supone que $δ$ es menor que la longitud de cualquier intervalo). En símbolos, puede pasar eso

<math alttext="{displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}Sí.j.xi.Sí.j+1.xi+1.Sí.j+2.{displaystyle y_{j}traducidos_{i}<img alt="{displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}

(Podemos suponer que todas las desigualdades son estrictas porque de lo contrario estamos en el caso anterior por nuestra suposición sobre la longitud de $δ$ .) Esto puede suceder como máximo $m - 1$ veces.

Para manejar este caso, estimaremos la diferencia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux subdividiendo la partición $x 0,..., x n$ en $y j + 1$ . El término $f (t i)(x i + 1 - x i)$ en la suma de Riemann se divide en dos términos:

{displaystyle fleft(t_{i}right)left(x_{i+1}-x_{i}right)=fleft(t_{i}right)left(x_{i+1}-y_{j+1}right)+fleft(t_{i}right)left(y_{j+1}-x_{i}right).}

Suponga, sin pérdida de generalidad, que $t i \in [y j, y j + 1]$ . Después

<math alttext="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})mj.f()ti).Mj,{displaystyle - ¿Qué?<img alt="{displaystyle m_{j}<f(t_{i})

Sí. j

<math alttext="{displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<delta xi+1− − Sí.j+1.δ δ .ε ε 2r()m− − 1),{displaystyle x_{i+1}-y_{j+1} se hizo delta = {frac {varepsilon }{2r(m-1)}} }<img alt="{displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<delta

Se deduce que, para algunos (de hecho, cualquiera) $t * i \in [y j + 1, x i + 1]$ ,

<math alttext="{displaystyle left|fleft(t_{i}right)-fleft(t_{i}^{*}right)right|left(x_{i+1}-y_{j+1}right)Silenciof()ti)− − f()tiAlternativa Alternativa )Silencio()xi+1− − Sí.j+1).ε ε 2()m− − 1).{displaystyle left WordPressfleft(t_{i}right)-fleft(t_{i}^{*}right)right sobre la vida eternaleft(x_{i+1}-y_{j+1}right)se hizo {frac {varepsilon }{2(m-1)}}}}<img alt="{displaystyle left|fleft(t_{i}right)-fleft(t_{i}^{*}right)right|left(x_{i+1}-y_{j+1}right)

Dado que esto sucede como máximo $m - 1$ veces, la distancia entre la suma de Riemann y la suma de Darboux es como máximo $ε /2$ . Por lo tanto, la distancia entre la suma de Riemann y $s$ es como mucho $ε$ .

Ejemplos

Vamos ${displaystyle f:[0,1]to mathbb {R} }$ ser la función que toma el valor 1 en cada punto. Cualquier suma de Riemann $f$ on $[0, 1]$ tendrá el valor 1, por lo tanto el Riemann integral de $f$ on $[0, 1]$ 1.

Vamos ${displaystyle I_{mathbb {Q} }:[0,1]to mathbb {R} }$ ser la función indicadora de los números racionales en $[0, 1]$ ; es decir, ${displaystyle I_{mathbb {Q} }}$ toma el valor 1 en números racionales y 0 en números irracionales. Esta función no tiene un Riemann integral. Para probar esto, vamos a mostrar cómo construir particiones etiquetadas cuyas sumas Riemann se acercan arbitrariamente tanto a cero como a uno.

Para empezar, sea $x 0,..., x n$ y $t 0,..., t n - 1$ ser una partición etiquetada (cada $t i$ está entre $x i$ y $x i + 1$ ). Elija $ε > 0$ . Los $t i$ ya se han elegido y no podemos cambiar el valor de $f$ en esos puntos. Pero si cortamos la partición en pequeños pedazos alrededor de cada $t i$ , podemos minimizar el efecto de el $t i$ . Luego, al elegir cuidadosamente las nuevas etiquetas, podemos hacer que el valor de la suma de Riemann resulte estar dentro de $ε$ de cero o uno.

Nuestro primer paso es cortar la partición. Hay $n$ de $t i$ , y queremos que su efecto total sea menor que $ε$ . Si limitamos cada uno de ellos a un intervalo de longitud menor que $ε / n$ , entonces la contribución de cada $t i$ a la suma de Riemann será al menos $0 \cdot ε / n$ y como máximo $1 \cdot ε / n . Esto hace que la suma total sea al menos cero y como máximo ε . Dejemos que δ sea un número positivo menor que ε / n . Si sucede que dos de los t i están dentro del estilo δ entre sí, elija δ más pequeño. Si sucede que alguna t i está dentro de δ de algunos x j, y t i no es igual a x j, elija δ más pequeño. Dado que solo hay un número finito de t i y x j, siempre podemos elegir δ suficientemente pequeño.$

Ahora agregamos dos cortes a la partición para cada $t i$ . Uno de los cortes estará en $t i - δ /2$ , y el otro estará en $t i + δ /2$ . Si uno de estos sale del intervalo [0, 1], entonces lo dejamos afuera. $t i$ será la etiqueta correspondiente al subintervalo

{displaystyle left[t_{i}-{frac {delta }{2}},t_{i}+{frac {delta }{2}}right].}

Si $t i$ está directamente encima de uno de los $x j$ , luego dejamos $t i$ sea la etiqueta para ambos intervalos:

{displaystyle left[t_{i}-{frac {delta }{2}},x_{j}right],quad {text{and}}quad left[x_{j},t_{i}+{frac {delta }{2}}right].}

Todavía tenemos que elegir etiquetas para los otros subintervalos. Los elegiremos de dos maneras diferentes. La primera forma es elegir siempre un punto racional, para que la suma de Riemann sea lo más grande posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea al menos $1 - ε$ . La segunda forma es elegir siempre un punto irracional, para que la suma de Riemann sea lo más pequeña posible. Esto hará que el valor de la suma de Riemann sea como mucho $ε$ .

Dado que comenzamos desde una partición arbitraria y terminamos tan cerca como queríamos de cero o uno, es falso decir que finalmente quedamos atrapados cerca de algún número $s$ , por lo que esta función no es integrable con Riemann. Sin embargo, es Lebesgue integrable. En el sentido de Lebesgue, su integral es cero, ya que la función es cero en casi todas partes. Pero este es un hecho que está más allá del alcance de la integral de Riemann.

Hay ejemplos aún peores. ${displaystyle I_{mathbb {Q} }}$ es equivalente (es decir, casi en todas partes) a una función integradora Riemann, pero hay funciones no integradas de Riemann que no son equivalentes a ninguna función integradora de Riemann. Por ejemplo, vamos $C$ ser el conjunto Smith-Volterra-Cantor, y dejar $I C$ ser su función indicadora. Porque... $C$ no es Jordania mensurable, $I C$ no es Riemann integrador. Además, ninguna función $g$ equivalente $I C$ Riemann integrable: $g$ , como $I C$ , debe ser cero en un conjunto denso, así como en el ejemplo anterior, cualquier suma de Riemann $g$ tiene un refinamiento dentro $ε$ de 0 para cualquier número positivo $ε$ . Pero si el Riemann integral de $g$ existe, entonces debe igualar la Lebesgue integral de $I C$ , que es $1/2$ . Por lo tanto, $g$ no es Riemann integrador.

Conceptos similares

Es popular definir la integral de Riemann como la integral de Darboux. Esto se debe a que la integral de Darboux es técnicamente más simple y porque una función es integrable de Riemann si y solo si es integrable de Darboux.

Algunos libros de cálculo no utilizan particiones etiquetadas generales, sino que se limitan a tipos específicos de particiones etiquetadas. Si el tipo de partición está demasiado limitado, algunas funciones no integrables pueden parecer integrables.

Una restricción popular es el uso de "mano izquierda" y "mano derecha" sumas de Riemann. En una suma de Riemann por la izquierda, $t i = x i$ para todos los $i$ , y en una suma de Riemann de la derecha, $t i = x i + 1$ para todas las $i$ . Esta restricción por sí sola no impone un problema: podemos refinar cualquier partición de manera que sea una suma de mano izquierda o derecha subdividiéndola en cada $t i$ . En un lenguaje más formal, el conjunto de todas las sumas de Riemann por la izquierda y el conjunto de todas las sumas de Riemann por la derecha es cofinal en el conjunto de todas las particiones etiquetadas.

Otra restricción popular es el uso de subdivisiones regulares de un intervalo. Por ejemplo, la $n$ ésima subdivisión regular de $[0, 1]$ consta de los intervalos

{displaystyle left[0,{frac {1}{n}}right],left[{frac {1}{n}},{frac {2}{n}}right],ldotsleft[{frac {n-1}{n}},1right].}

Nuevamente, esta restricción por sí sola no impone un problema, pero el razonamiento requerido para ver este hecho es más difícil que en el caso de las sumas de Riemann por la izquierda y por la derecha.

Sin embargo, la combinación de estas restricciones, de modo que sólo se utiliza la mano izquierda o la derecha Riemann sumas sobre intervalos regularmente divididos, es peligrosa. Si una función es conocida por adelantado para ser integrador Riemann, entonces esta técnica dará el valor correcto de la integral. Pero en estas condiciones la función indicadora ${displaystyle I_{mathbb {Q} }}$ parece ser integrado $[0, 1]$ con integral igual a uno: Cada punto final de cada subinterval será un número racional, por lo que la función siempre será evaluada en números racionales, y por lo tanto parecerá ser siempre igual a uno. El problema con esta definición se hace evidente cuando intentamos dividir la integral en dos piezas. La siguiente ecuación debe contener:

{displaystyle int _{0}^{{sqrt {2}}-1}I_{mathbb {Q} }(x),dx+int _{{sqrt {2}}-1}^{1}I_{mathbb {Q} }(x),dx=int _{0}^{1}I_{mathbb {Q} }(x),dx.}

Si usamos subdivisiones regulares y sumas de Riemann por la izquierda o por la derecha, entonces los dos términos de la izquierda son iguales a cero, ya que todos los extremos excepto 0 y 1 serán irracionales, pero como hemos visto, el término en la derecha será igual a 1.

Como se define anteriormente, la integral Riemann evita este problema al negarse a integrarse ${displaystyle I_{mathbb {Q} }.}$ La integral Lebesgue se define de tal manera que todas estas integrales son 0.

Propiedades

Linealidad

La integral de Riemann es una transformación lineal; es decir, si $f$ y $g$ son integrables con Riemann en $[a, b]$ y $α$ y $β$ son constantes, entonces

{displaystyle int _{a}^{b}(alpha f(x)+beta g(x)),dx=alpha int _{a}^{b}f(x),dx+beta int _{a}^{b}g(x),dx.}

Debido a que la integral de Riemann de una función es un número, esto hace que la integral de Riemann sea una función lineal en el espacio vectorial de las funciones integrables de Riemann.

Integrabilidad

Una función acotada en un intervalo compacto $[a, b]$ es Riemann integrable si y solo si es continua en casi todas partes (el conjunto de sus puntos de discontinuidad tiene medida cero, en el sentido de medida de Lebesgue). Este es el Teorema de Lebesgue-Vitali (de caracterización de las funciones integrables de Riemann). Ha sido probada de forma independiente por Giuseppe Vitali y por Henri Lebesgue en 1907, y utiliza la noción de medida cero, pero no utiliza la medida general ni la integral de Lebesgue.

La condición de integrabilidad se puede probar de varias maneras, una de las cuales se esboza a continuación.

Prueba

La prueba es más fácil utilizando la definición integral Darboux de la integración (formalmente, la condición Riemann para la integración) – una función es Riemann integradoble si y sólo si las sumas superiores e inferiores se pueden hacer arbitrariamente cerca eligiendo una partición apropiada.

Una dirección se puede probar utilizando la definición de oscilación de continuidad: Por cada positivo $ε$ , Let $X ε$ ser el conjunto de puntos en $[a, b]$ con oscilación de al menos $ε$ . Desde cada punto $f$ es discontinuo tiene una oscilación positiva y viceversa, el conjunto de puntos en $[a, b]$ , donde $f$ es discontinua es igual a la unión sobre ${} X 1/ n$ } para todos los números naturales $n$ .

Si este conjunto no tiene ninguna medida de Lebesgue cero, entonces por aditividad contable de la medida hay al menos uno de tales $n$ así $X 1/ n$ no tiene una medida cero. Así que hay un número positivo $c$ tal que cada colección contable de intervalos abiertos abarca $X 1/ n$ tiene una longitud total de al menos $c$ . En particular, esto también es cierto para cada colección finita de intervalos. Esto sigue siendo cierto también para $X 1/ n$ menos un número finito de puntos (como un número finito de puntos siempre puede ser cubierto por una colección finita de intervalos con longitud total arbitrariamente pequeña).

Para cada partición de [a, b], considere el conjunto de intervalos cuyos interiores incluyen puntos desde $X 1/ n$ . Estos interiores consisten en una cubierta abierta finita $X 1/ n$ , posiblemente hasta un número finito de puntos (que puede caer en los bordes del intervalo). Así estos intervalos tienen una longitud total de al menos $c$ . Desde estos puntos $f$ tiene oscilación de al menos $1/ n$ , el infimum y el supremum de $f$ en cada uno de estos intervalos difieren al menos $1/ n$ . Así las sumas superiores e inferiores de $f$ por lo menos $c / n$ . Puesto que esto es verdad para cada partición, $f$ no es Riemann integrador.

Ahora demostramos la dirección conversa usando los conjuntos $X ε$ definido anteriormente. Por todos $ε$ , $X ε$ es compacto, ya que está atado (por $a$ y $b$ ) y cerrado:

Por cada serie de puntos en $X ε$ que es convergente en $[a, b]$ , su límite está en $X ε$ también. Esto es porque cada barrio del punto límite es también un barrio de algún punto $X ε$ , y así $f$ tiene una oscilación de al menos $ε$ en ella. Por lo tanto el punto límite está en $X ε$ .

Ahora, supongamos que $f$ es continuo casi por todas partes. Entonces por cada uno $ε$ , $X ε$ tiene cero medida de Lebesgue. Por lo tanto, hay una colección contable de intervalos abiertos en $[a, b]$ que es una cubierta abierta $X ε$ , tal que la suma sobre todas sus longitudes es arbitrariamente pequeña. Desde Xε es compacto, hay un subcover finito – una colección finita de intervalos abiertos en $[a, b]$ con longitud total arbitrariamente pequeña que juntos contienen todos los puntos $X ε$ . Denotamos estos intervalos ${} I () ε) i$ Para $1 \leq i \leq k$ , para algo natural $k$ .

El complemento de la unión de estos intervalos es en sí mismo una unión de un número finito de intervalos, que denotamos ${} J () ε) i$ . $1 \leq i \leq k - 1$ y posiblemente para $i = k, k + 1$ y también).

Ahora mostramos eso por todos $ε ■ 0$ , hay sumas superiores e inferiores cuya diferencia es menor que $ε$ , de la que sigue la integración Riemann. Con este fin, construimos una partición de [a, b] como sigue:

Denote $ε 1 = ε / 2(b - a)$ y $ε 2 = ε / 2(M - m)$ , donde $m$ y $M$ son el infimum y el supremum de $f$ on $[a, b]$ . Puesto que podemos elegir intervalos ${} I () ε 1) i$ } con la longitud total arbitrariamente pequeña, los elegimos tener la longitud total más pequeña que $ε 2$ .

Cada uno de los intervalos ${} J () ε 1) i$ } tiene una intersección vacía con $X ε 1$ , así que cada punto en ella tiene un barrio con oscilación menor que $ε 1$ . Estos barrios consisten en una cubierta abierta del intervalo, y puesto que el intervalo es compacto hay un subcubrimiento finito de ellos. Este subcover es una colección finita de intervalos abiertos, que son subintervalos de $J () ε 1) i$ (excepto aquellos que incluyen un punto de borde, para el cual sólo tomamos su intersección con $J () ε 1) i)$ . Tomamos los puntos de ventaja de las subintervalaciones para todos $J () ε 1) i - s$ , incluyendo los puntos de borde de los intervalos mismos, como nuestra partición.

Así la partición divide $[a, b]$ a dos tipos de intervalos:

Intervalos de este último tipo (los subintervalos de algunos $J () ε 1) i$ ). En cada uno de estos, $f$ oscilaciones por menos de $ε 1$ . Puesto que la longitud total de estos no es mayor que $b - a$ , ellos juntos contribuyen a la mayoría $ε Alternativa 1 () b - a) ε /2$ a la diferencia entre las sumas superiores e inferiores de la partición.
Los intervalos ${} I () ε) i$ }. Estas tienen una longitud total menor que la $ε 2$ , y $f$ oscila sobre ellos por no más que $M - m$ . Así, juntos contribuyen menos que $ε Alternativa 2 () M - m) ε /2$ a la diferencia entre las sumas superiores e inferiores de la partición.

En total, la diferencia entre las sumas superiores e inferiores de la partición es menor que $ε$ , según sea necesario.

En particular, cualquier conjunto que sea como máximo contable tiene la medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, una función acotada (en un intervalo compacto) con solo un número finito o numerable de discontinuidades es Riemann integrable. Otro criterio suficiente para la integrabilidad de Riemann sobre $[a, b]$ , pero que no implica el concepto de medida, es la existencia de un límite a la derecha (o a la izquierda) en cada punto en $[a, b)$ (o $(a, b]$ ).

Una función indicadora de un conjunto acotado es Riemann integrable si y solo si el conjunto es medible por Jordan. La integral de Riemann se puede interpretar teóricamente como la integral con respecto a la medida de Jordan.

Si una función de valor real es monótona en el intervalo $[a, b]$ es Riemann integrable, ya que su conjunto de discontinuidades es a lo sumo numerable, y por lo tanto de medida de Lebesgue cero. Si una función de valor real en $[a, b]$ es integrable de Riemann, es integrable de Lebesgue. Es decir, la integrabilidad de Riemann es una condición más fuerte (es decir, más difícil de satisfacer) que la integrabilidad de Lebesgue. Lo contrario no se sostiene; no todas las funciones integrables de Lebesgue son integrables de Riemann.

El teorema de Lebesgue-Vitali no implica que todo tipo de discontinuidades tengan el mismo peso sobre la obstrucción de que una función acotada de valor real sea Riemann integrable en $[a, b]$ . De hecho, ciertas discontinuidades no tienen absolutamente ningún papel en la integrabilidad de Riemann de la función, una consecuencia de la clasificación de las discontinuidades de una función.

Si $f n$ es una sucesión uniformemente convergente en $[a, b]$ con límite $f$ , entonces la integrabilidad de Riemann de todos los $f n$ implica la integrabilidad de Riemann de f, y

{displaystyle int _{a}^{b}f,dx=int _{a}^{b}{lim _{nto infty }{f_{n}},dx}=lim _{nto infty }int _{a}^{b}f_{n},dx.}

Sin embargo, el teorema de convergencia monótono de Lebesgue (en un límite puntual monótono) no se cumple para las integrales de Riemann. Así, en la integración de Riemann, tomar límites bajo el signo integral es mucho más difícil de justificar lógicamente que en la integración de Lebesgue.

Generalizaciones

Es fácil extender el Riemann integral a funciones con valores en el espacio vectorial Euclidean $mathbb {R} ^{n}$ para cualquier $n$ . La integral se define en forma de componente; en otras palabras, si $f = f 1,... f n)$ entonces

{displaystyle int mathbf {f} =left(int f_{1},,dotsint f_{n}right).}

En particular, dado que los números complejos son un espacio vectorial real, esto permite la integración de funciones de valores complejos.

La integral de Riemann solo se define en intervalos acotados y no se extiende bien a intervalos no acotados. La extensión más simple posible es definir dicha integral como un límite, en otras palabras, como una integral impropia:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),dx=lim _{ato -infty atop bto infty }int _{a}^{b}f(x),dx.}

Esta definición conlleva algunas sutilezas, como el hecho de que no siempre es equivalente a calcular el valor principal de Cauchy

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-a}^{a}f(x),dx.}

Por ejemplo, considere la función de signo $f (x) = sgn(x)$ que es 0 en $x = 0$ , 1 para $x > 0$ y −1 para $x < 0$ . por simetría,

{displaystyle int _{-a}^{a}f(x),dx=0}

a

{displaystyle {begin{aligned}int _{-a}^{2a}f(x),dx&=a,\int _{-2a}^{a}f(x),dx&=-a.end{aligned}}}

En general, esta integral de Riemann impropia no está definida. Incluso estandarizar una forma en que el intervalo se acerque a la línea real no funciona porque conduce a resultados inquietantemente contraintuitivos. Si acordamos (por ejemplo) que la integral impropia siempre debe ser

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-a}^{a}f(x),dx,}

f () x -1)

JUEGO -

Desafortunadamente, la integral de Riemann impropia no es lo suficientemente potente. El problema más grave es que no existen teoremas ampliamente aplicables para conmutar integrales de Riemann impropias con límites de funciones. En aplicaciones como las series de Fourier, es importante poder aproximar la integral de una función utilizando integrales de aproximaciones a la función. Para integrales de Riemann adecuadas, un teorema estándar establece que si $f n$ es una secuencia de funciones que convergen uniformemente a $f$ en un conjunto compacto $[a, b]$ , entonces

{displaystyle lim _{nto infty }int _{a}^{b}f_{n}(x),dx=int _{a}^{b}f(x),dx.}

En intervalos no compactos como la línea real, esto es falso. Por ejemplo, tome $f n (x)$ como $n -1$ en $[0, n]$ y cero en otra parte. Para todos los $n$ tenemos:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f_{n},dx=1.}

La secuencia $(f n)$ converge uniformemente a la función cero, y claramente la integral de la función cero es cero Como consecuencia,

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f,dxneq lim _{nto infty }int _{-infty }^{infty }f_{n},dx.}

Esto demuestra que para integrales en intervalos no acotados, la convergencia uniforme de una función no es lo suficientemente fuerte como para permitir pasar un límite a través de un signo de integral. Esto hace que la integral de Riemann no funcione en aplicaciones (aunque la integral de Riemann asigna a ambos lados el valor correcto), porque no hay otro criterio general para intercambiar un límite y una integral de Riemann, y sin tal criterio es difícil aproximar integrales por aproximando sus integrandos.

Una mejor ruta es abandonar la integral de Riemann por la integral de Lebesgue. La definición de la integral de Lebesgue obviamente no es una generalización de la integral de Riemann, pero no es difícil demostrar que toda función integrable de Riemann es integrable de Lebesgue y que los valores de las dos integrales concuerdan siempre que ambas estén definidas. Además, una función $f$ definida en un intervalo acotado es Riemann integrable si y solo si está acotada y el conjunto de puntos donde $f$ es discontinua y Lebesgue mide cero.

Una integral que, de hecho, es una generalización directa de la integral de Riemann es la integral de Henstock-Kurzweil.

Otra forma de generalizar la integral de Riemann es reemplazar los factores $x k + 1 - x k$ en la definición de una suma de Riemann por otra cosa; en términos generales, esto le da al intervalo de integración una noción diferente de longitud. Este es el enfoque adoptado por la integral de Riemann-Stieltjes.

En cálculo multivariable, los Riemann integrales para funciones desde ${displaystyle mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ son múltiples integrales.

Comparación con otras teorías de integración

La integral de Riemann no es adecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue, aunque esta última no tiene un tratamiento satisfactorio de las integrales impropias. La integral de calibre es una generalización de la integral de Lebesgue que es a la vez más cercana a la integral de Riemann. Estas teorías más generales permiten la integración de teorías más "irregulares" o "altamente oscilante" funciones cuya integral de Riemann no existe; pero las teorías dan el mismo valor que la integral de Riemann cuando existe.

En entornos educativos, la integral de Darboux ofrece una definición más simple con la que es más fácil trabajar; se puede utilizar para introducir la integral de Riemann. La integral de Darboux se define siempre que la integral de Riemann lo sea, y siempre da el mismo resultado. Por el contrario, la integral de calibre es una generalización simple pero más poderosa de la integral de Riemann y ha llevado a algunos educadores a defender que debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos de introducción al cálculo.

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