Integral de jacobi

En mecánica celeste, la integral de Jacobi (también conocida como integral de Jacobi o constante de Jacobi) es la única forma conservada conocida. cantidad para el problema circular restringido de tres cuerpos. A diferencia del problema de los dos cuerpos, la energía y el momento del sistema no se conservan por separado y no es posible una solución analítica general. La integral se ha utilizado para derivar numerosas soluciones en casos especiales.

Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definición

Sistema sinódico

Uno de los sistemas de coordenadas adecuados utilizados es el llamado sinodal o sistema co-rotativo, situado en el baricentro, con la línea que conecta las dos masas μ₁, μ₂ elegido como eje x y la unidad de longitud igual a su distancia. A medida que el sistema gira conjuntamente con las dos masas, éstas permanecen estacionarias y posicionadas en (−μ₂, 0) y (+μ₁, 0).

En el sistema de coordenadas (x, y), la constante de Jacobi se expresa de la siguiente manera:

CJ=n2()x2+Sí.2)+2()μ μ 1r1+μ μ 2r2)− − ()xÍ Í 2+Sí.Í Í 2+zÍ Í 2){displaystyle C_{J}=n^{2}left(x^{2}+y^{2}right)+2left({frac {mu {fnK} {fnMicroc} # ¿Qué? {x}{2}+{dot {y}}{2}+{dot {z}} {2}right)}

donde:

• n = 2π/T es el movimiento promedio (período orbital) T)
• μ₁ = Gm₁, μ₂ = Gm₂para las dos masas m₁, m₂ y la constante gravitacional G
• r₁, r₂ son distancias de la partícula de prueba de las dos masas

Tenga en cuenta que la integral de Jacobi es menos el doble de la energía total por unidad de masa en el marco de referencia giratorio: el primer término se relaciona con la energía potencial centrífuga, el segundo representa el potencial gravitacional y el tercero es la energía cinética. En este sistema de referencia, las fuerzas que actúan sobre la partícula son las dos atracciones gravitacionales, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Dado que los tres primeros pueden derivarse de potenciales y el último es perpendicular a la trayectoria, todos son conservativos, por lo que la energía medida en este sistema de referencia (y por tanto, la integral de Jacobi) es una constante de movimiento. Para obtener una prueba computacional directa, consulte a continuación.

Sistema sideral

En el sistema de coordenadas sideral inercial (ξ, η, ζ), las masas orbitan alrededor del baricentro. En estas coordenadas la constante de Jacobi se expresa por

CJ=2()μ μ 1r1+μ μ 2r2)+2n(). . . . Í Í − − . . . . Í Í )− − (). . Í Í 2+. . Í Í 2+Especificaciones Especificaciones Í Í 2).{displaystyle C_{J}=2left({frac {mu {fnK} {fnMicroc} # #2nleft # { dot {fnfnfnfnfnfnMicrosoft {fnfnfnMicrosoft {fn\fnfnfnfn\fnfnfn\fn\fnfnfnfnfn\fnfn\\\\fnfn\\fn\\fnfn\fnfn\fnfn\\\fnfn\\\\\fn\\\\fn\fn\\\fnfn\fn\\fn\\\fn\\fnfn\\fnfnfnfn\\\\\\fn\\\fn\ }-eta {dot {xi }right)-left({dot {xi }{2}+{dot {eta }{2}+{dot {zeta - Sí. }

Derivación

En el sistema co-rotativo, las aceleraciones se pueden expresar como derivadas de una única función escalar.

U()x,Sí.,z)=n22()x2+Sí.2)+μ μ 1r1+μ μ 2r2{displaystyle U(x,y,z)={frac {n^{2}{2}left(x^{2}+y^{2}right)+{frac {mu] {fnK} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc} ¿Qué?

Utilizando la representación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento:

x. . − − 2nSí.Í Í =δ δ Uδ δ x{displaystyle {ddot {x}2n{dot {y}={fc {delta U}{delta #

()1)

Sí.. . +2nxÍ Í =δ δ Uδ δ Sí.{displaystyle {ddot}+2n{dot} {x}={frac {delta U}{delta Sí.

()2)

z. . =δ δ Uδ δ z{displaystyle {ddot}={frac {delta U}{delta }

()3)

Multiplicación de ecuaciones. (1), (2) y (3) por ẋ, ẏ y ż respectivamente y sumando los tres rendimientos

xÍ Í x. . +Sí.Í Í Sí.. . +zÍ Í z. . =δ δ Uδ δ xxÍ Í +δ δ Uδ δ Sí.Sí.Í Í +δ δ Uδ δ zzÍ Í =dUdt{displaystyle { dot {x}{ddot {x}+{dot {y}{ddot {y}+{dot {Z}{ddot {fn} {fn} {fnK}} {fn}}} {fnh}}} {fnh}}} {fn}}} {fnfn}}} {fnK}}}}}} {f}}fnf}}fnfnK} {b}}}} {f}}}}}}}}}}}}\\f}\f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}fn}f}fn}f}f}f}fn}\f}fnfn}fn}fn}f}fn}\\fnfnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fnfn}\\fn}\fn} - Sí. {delta U}{delta {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {Z}={frac} {dU}{dt}}

Integración de los rendimientos

xÍ Í 2+Sí.Í Í 2+zÍ Í 2=2U− − CJ{displaystyle {dot {fnK}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}}}}}}\fnfnMicrosoft {fnMicrosoft} {y}{2}+{dot {Z} {2}=2U-C_{J}

donde C_J es la constante de integración.

El lado izquierdo representa el cuadrado de la velocidad v de la partícula de prueba en el sistema co-rotativo.