Integral de Fresnel

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Función especial definida por una

Las integrales de Fresnel $S (x)$ y $C (x)$ son dos funciones trascendentales que llevan el nombre de Augustin-Jean Fresnel que se utilizan en óptica y están estrechamente relacionadas con la función de error ( $erf$ ). Surgen en la descripción de los fenómenos de difracción de Fresnel de campo cercano y se definen a través de las siguientes representaciones integrales:

{displaystyle S(x)=int _{0}^{x}sin left(t^{2}right),dt,quad C(x)=int _{0}^{x}cos left(t^{2}right),dt.}

La gráfica paramétrica simultánea de $S (x)$ y $C (x)$ es la espiral de Euler (también conocida como espiral de Cornu o clotoide).

Definición

Did you mean:

The Fresnel integrals admit the following power series expansions that converge for all x:

{displaystyle {begin{aligned}S(x)&=int _{0}^{x}sin left(t^{2}right),dt=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\C(x)&=int _{0}^{x}cos left(t^{2}right),dt=sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.end{aligned}}}

Algunas tablas ampliamente utilizadas usan $π / 2 t 2$ en lugar de $t 2$ para el argumento de las integrales que definen $S (x)$ y $C (x)$ . Esto cambia sus límites en el infinito de $1 / 2 \cdot \sqrt π / 2$ a 1/2 y la longitud del arco de la primera espiral girar desde $\sqrt 2 π$ a 2 (en $t = 2$ ). Estas funciones alternativas se conocen normalmente como integrales de Fresnel normalizadas.

Espiral de Euler

Animación que representa la evolución de una espiral Cornu con el círculo tangencial con el mismo radio de curvatura que en su punta, también conocido como un círculo osculante.

La espiral de Euler, también conocida como espiral de Cornu o clotoide, es la curva generada por un gráfico paramétrico de $S (t)$ contra $C (t)$ . La espiral de Cornu fue creada por Marie Alfred Cornu como un nomograma para cálculos de difracción en ciencia e ingeniería.

De las definiciones de integrales de Fresnel, los infinitesimales $dx$ y $dy$ son así:

{displaystyle {begin{aligned}dx&=C'(t),dt=cos left(t^{2}right),dt,\dy&=S'(t),dt=sin left(t^{2}right),dt.end{aligned}}}

Por lo tanto, la longitud de la espiral medida desde el origen se puede expresar como

{displaystyle L=int _{0}^{t_{0}}{sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}

Es decir, el parámetro $t$ es la longitud de la curva medida desde el origen $(0, 0)$ , y la espiral de Euler tiene una longitud infinita. El vector $(cos(t 2), sin(t 2))$ también expresa el vector unitario tangente a lo largo de la espiral, dando $θ = t 2 . Dado que t es la longitud de la curva, la curvatura κ se puede expresar como$

{displaystyle kappa ={frac {1}{R}}={frac {dtheta }{dt}}=2t.}

Por lo tanto, la tasa de cambio de la curvatura con respecto a la longitud de la curva es

{displaystyle {frac {dkappa }{dt}}={frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}=2.}

Una espiral de Euler tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la espiral, medida desde el origen. Esta propiedad la hace útil como curva de transición en ingeniería vial y ferroviaria: si un vehículo sigue la espiral a la unidad de velocidad, el parámetro $t$ en las derivadas anteriores también representa el tiempo. En consecuencia, un vehículo que siga la espiral a velocidad constante tendrá una tasa constante de aceleración angular.

Las secciones de las espirales de Euler se incorporan comúnmente a la forma de bucles de montaña rusa para crear lo que se conoce como bucles clotoides.

Propiedades

Did you mean:

C(x) and <iS(x) are odd functions of $x$ ,

{displaystyle C(-x)=-C(x),quad S(-x)=-S(x).}

Las asintóticas de las integrales de Fresnel como $x \to \infty$ vienen dadas por las fórmulas:

{displaystyle {begin{aligned}S(x)&={sqrt {{tfrac {1}{8}}pi }}operatorname {sgn} x-left[1+Oleft(x^{-4}right)right]left({frac {cos left(x^{2}right)}{2x}}+{frac {sin left(x^{2}right)}{4x^{3}}}right),\[6px]C(x)&={sqrt {{tfrac {1}{8}}pi }}operatorname {sgn} x+left[1+Oleft(x^{-4}right)right]left({frac {sin left(x^{2}right)}{2x}}-{frac {cos left(x^{2}right)}{4x^{3}}}right).end{aligned}}}

Usando las expansiones de series de potencias anteriores, las integrales de Fresnel se pueden extender al dominio de los números complejos, donde se convierten en funciones analíticas de una variable compleja.

$C (z)$ y $S (z)$ son funciones completas de la variable compleja $z$ .

Las integrales de Fresnel se pueden expresar usando la función de error de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}S(z)&={sqrt {frac {pi }{2}}}cdot {frac {1+i}{4}}left[operatorname {erf} left({frac {1+i}{sqrt {2}}}zright)-ioperatorname {erf} left({frac {1-i}{sqrt {2}}}zright)right],\[6px]C(z)&={sqrt {frac {pi }{2}}}cdot {frac {1-i}{4}}left[operatorname {erf} left({frac {1+i}{sqrt {2}}}zright)+ioperatorname {erf} left({frac {1-i}{sqrt {2}}}zright)right].end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}C(z)+iS(z)&={sqrt {frac {pi }{2}}}cdot {frac {1+i}{2}}operatorname {erf} left({frac {1-i}{sqrt {2}}}zright),\[6px]S(z)+iC(z)&={sqrt {frac {pi }{2}}}cdot {frac {1+i}{2}}operatorname {erf} left({frac {1+i}{sqrt {2}}}zright).end{aligned}}}

Límites cuando x tiende a infinito

Las integrales que definen $C (x)$ y $S (x)$ no se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales, excepto en casos especiales. Los límites de estas funciones a medida que $x$ tiende a infinito son conocidos:

{displaystyle int _{0}^{infty }cos left(t^{2}right),dt=int _{0}^{infty }sin left(t^{2}right),dt={frac {sqrt {2pi }}{4}}={sqrt {frac {pi }{8}}}approx 0.6267.}

Esto se puede derivar con cualquiera de varios métodos. Uno de ellos utiliza una integral de contorno de la función

{displaystyle e^{-z^{2}}}

x

Sí. = x

x \geq 0

R

Did you mean:

As R goes to infinity, the integral along the circular arc γ₂ tends to $0$

{displaystyle left|int _{gamma _{2}}e^{-z^{2}},dzright|=left|int _{0}^{frac {pi }{4}}e^{-R^{2}(cos t+isin t)^{2}},Re^{it}dtright|leq Rint _{0}^{frac {pi }{4}}e^{-R^{2}cos 2t},dtleq Rint _{0}^{frac {pi }{4}}e^{-R^{2}left(1-{frac {4}{pi }}tright)},dt={frac {pi }{4R}}left(1-e^{-R^{2}}right),}

z = Re es

γ 1

{displaystyle int _{gamma _{1}}e^{-z^{2}},dz=int _{0}^{infty }e^{-t^{2}},dt={frac {sqrt {pi }}{2}}.}

Tenga en cuenta también que debido a que el integrando es una función completa en el plano complejo, su integral a lo largo de todo el contorno es cero. En general, debemos tener

{displaystyle int _{gamma _{3}}e^{-z^{2}},dz=int _{gamma _{1}}e^{-z^{2}},dz=int _{0}^{infty }e^{-t^{2}},dt,}

γ 3

{displaystyle z=te^{i{frac {pi }{4}}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1+i)t}

t

+

+ es 2

{displaystyle int _{0}^{infty }e^{-it^{2}}{frac {sqrt {2}}{2}}(1+i),dt.}

Did you mean:

Using Euler 's formula to take real and imaginary parts of e^−it² gives this as

{displaystyle {begin{aligned}&int _{0}^{infty }left(cos left(t^{2}right)-isin left(t^{2}right)right){frac {sqrt {2}}{2}}(1+i),dt\[6px]&quad ={frac {sqrt {2}}{2}}int _{0}^{infty }left[cos left(t^{2}right)+sin left(t^{2}right)+ileft(cos left(t^{2}right)-sin left(t^{2}right)right)right],dt\[6px]&quad ={frac {sqrt {pi }}{2}}+0i,end{aligned}}}

0 i

{displaystyle I_{C}=int _{0}^{infty }cos left(t^{2}right),dt,quad I_{S}=int _{0}^{infty }sin left(t^{2}right),dt}

I C

I S

{displaystyle {begin{aligned}I_{C}+I_{S}&={sqrt {frac {pi }{2}}},\I_{C}-I_{S}&=0.end{aligned}}}

Did you mean:

Solving this for I_C and I_S gives the desired result.

Generalización

La integral

{displaystyle int x^{m}e^{ix^{n}},dx=int sum _{l=0}^{infty }{frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}},dx=sum _{l=0}^{infty }{frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}

{displaystyle {begin{aligned}int x^{m}e^{ix^{n}},dx&={frac {x^{m+1}}{m+1}},_{1}F_{1}left({begin{array}{c}{frac {m+1}{n}}\1+{frac {m+1}{n}}end{array}}mid ix^{n}right)\[6px]&={frac {1}{n}}i^{frac {m+1}{n}}gamma left({frac {m+1}{n}},-ix^{n}right),end{aligned}}}

{displaystyle int x^{m}sin(x^{n}),dx={frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}},_{1}F_{2}left({begin{array}{c}{frac {1}{2}}+{frac {m+1}{2n}}\{frac {3}{2}}+{frac {m+1}{2n}},{frac {3}{2}}end{array}}mid -{frac {x^{2n}}{4}}right).}

{displaystyle _{1}F_{1}left({begin{array}{c}{frac {m+1}{n}}\1+{frac {m+1}{n}}end{array}}mid ix^{n}right)sim {frac {m+1}{n}},Gamma left({frac {m+1}{n}}right)e^{ipi {frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}

{displaystyle int _{0}^{infty }x^{m}e^{ix^{n}},dx={frac {1}{n}},Gamma left({frac {m+1}{n}}right)e^{ipi {frac {m+1}{2n}}}.}

Para $m = 0$ , la parte imaginaria de esta ecuación en particular es

{displaystyle int _{0}^{infty }sin left(x^{a}right),dx=Gamma left(1+{frac {1}{a}}right)sin left({frac {pi }{2a}}right),}

a ■ 1

. () a -1)

La transformación de Kummer de la función hipergeométrica confluente es

{displaystyle int x^{m}e^{ix^{n}},dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}

{displaystyle V_{n,m}:={frac {x^{m+1}}{m+1}},_{1}F_{1}left({begin{array}{c}1\1+{frac {m+1}{n}}end{array}}mid -ix^{n}right).}

Aproximación numérica

Para cálculos con precisión arbitraria, la serie de potencias es adecuada para argumentos pequeños. Para grandes argumentos, las expansiones asintóticas convergen más rápido. También se pueden usar métodos de fracciones continuas.

Se han desarrollado otras aproximaciones para el cálculo con una precisión de objetivo particular. Cody desarrolló un conjunto de aproximaciones eficientes basadas en funciones racionales que arrojan errores relativos hasta 2×10⁻¹⁹. van Snyder publicó una implementación FORTRAN de la aproximación de Cody que incluye los valores de los coeficientes necesarios para la implementación en otros idiomas. Boersma desarrolló una aproximación con un error menor que 1.6×10⁻⁹.

Aplicaciones

Las integrales de Fresnel se usaron originalmente en el cálculo de la intensidad del campo electromagnético en un entorno donde la luz se curva alrededor de objetos opacos. Más recientemente, se han utilizado en el diseño de carreteras y vías férreas, específicamente en sus zonas de transición de curvatura, ver curva de transición de vía. Otras aplicaciones son las montañas rusas o el cálculo de las transiciones en una pista de velódromo para permitir una entrada rápida a las curvas y una salida gradual.

Galería

Parcela de la función integral de Fresnel S(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1 función ComplexPlot3D
Parcela de la función integral de Fresnel C(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1 función ComplejoPlot3D
Parcela de la función auxiliar de Fresnel G(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1 función ComplejoPlot3D
Parcela de la función auxiliar de Fresnel F(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con Mathematica 13.1 función ComplejoPlot3D

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