Integral abeliana

En matemáticas, una integral abeliana, llamada así en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, es una integral en el plano complejo de la forma

${displaystyle int _{z_{0}}R(x,w),dx,}$

Donde ${displaystyle R(x,w)}$ es una función racional arbitraria de las dos variables ${displaystyle x}$ y ${displaystyle w}$, que están relacionados por la ecuación

${displaystyle F(x,w)=0,}$

Donde ${displaystyle F(x,w)}$ es un polinomio irreducible en ${displaystyle w}$,

${displaystyle F(x,w)equiv varphi _{n}(x)w^{n}+cdots +varphi _{1}(x)w+varphi _{0}left(xright),}$

cuyos coeficientes ${displaystyle varphi _{j}(x)}$, ${displaystyle j=0,1,ldotsn}$ son funciones racionales ${displaystyle x}$. El valor de una integral abeliana depende no sólo de los límites de integración, sino también del camino a lo largo del cual se toma la integral; es así una función multivalorada ${displaystyle z}$.

Las integrales abelianas son generalizaciones naturales de integrales elípticas, que surgen cuando

${displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),,}$

Donde ${displaystyle Pleft(xright)}$ es un polinomio de grado 3 o 4. Otro caso especial de una integral abeliana es una integral hiperéptica, donde ${displaystyle P(x)}$, en la fórmula anterior, es un polinomio de grado superior a 4.

Historia

La teoría de las integrales abelianas se originó con un artículo de Abel publicado en 1841. Este artículo fue escrito durante su estancia en París en 1826 y presentado a Augustin-Louis Cauchy en octubre del mismo año. Esta teoría, que más tarde fue desarrollada plenamente por otros, fue uno de los mayores logros de las matemáticas del siglo XIX y ha tenido un impacto importante en el desarrollo de las matemáticas modernas. En un lenguaje más abstracto y geométrico, está contenido en el concepto de variedad abeliana, o más precisamente en la forma en que una curva algebraica puede traducirse en variedades abelianas. Las integrales abelianas se conectaron más tarde con el problema número 16 del destacado matemático David Hilbert y siguen siendo consideradas uno de los principales desafíos de las matemáticas contemporáneas.

Vista moderna

En la teoría de las superficies Riemann, una integral abeliana es una función relacionada con la integral indefinida de un diferencial de primer tipo. Supongamos que nos dan una superficie Riemann ${displaystyle S.$ y en él una forma diferencial 1 ${displaystyle omega }$ que está en todas partes holomorfa ${displaystyle S.$, y fijar un punto ${displaystyle P_{0}$ on ${displaystyle S.$, desde el cual integrar. Podemos considerar

${displaystyle int ¿Qué?$

como función multivalorada ${displaystyle fleft(Pright)}$, o (mejor) una función honesta del camino elegido ${displaystyle C}$ dibujado ${displaystyle S.$ desde ${displaystyle P_{0}$ a ${displaystyle P}$. Desde ${displaystyle S.$ se multiplicará en general conectado, uno debe especificar ${displaystyle C}$, pero el valor de hecho sólo dependerá de la clase de homología ${displaystyle C}$.

En el caso de ${displaystyle S.$ una superficie compacta Riemann del género 1, es decir, una curva elíptica, tales funciones son las integrales elípticas. Lógicamente hablando, por lo tanto, una integral abeliana debe ser una función como ${displaystyle f}$.

Estas funciones fueron introducidas primero para estudiar integrales hiperépticos, es decir, para el caso en que ${displaystyle S.$ es una curva hiperéptica. Este es un paso natural en la teoría de la integración al caso de las integrales que implican funciones algebraicas ${displaystyle {sqrt {}}$, donde ${displaystyle A}$ es un polinomio de grado ${displaystyle }$. Las primeras ideas principales de la teoría fueron dadas por Abel; fue posteriormente formulada en términos de la variedad Jacobiana ${displaystyle Jleft(Sright)}$. Elección de ${displaystyle P_{0}$ da lugar a una función holomorfa estándar

${displaystyle Sto J(S)}$

de múltiples complejos. Tiene la propiedad definitoria que las formas holomorfas 1 en ${displaystyle Sto J(S)}$, de los cuales hay g independientes si g es el género de S, volver a una base para las diferencias del primer tipo enS.