Integración funcional

La integración funcional es una colección de resultados en matemáticas y física donde el dominio de una integral ya no es una región del espacio, sino un espacio de funciones. Las integrales funcionales surgen en probabilidad, en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en el enfoque de integral de trayectoria de la mecánica cuántica de partículas y campos.

En una integral ordinaria (en el sentido de integración de Lebesgue) hay una función a integrar (el integrando) y una región del espacio sobre la cual integrar la función (el dominio de integración). El proceso de integración consiste en sumar los valores del integrando para cada punto del dominio de integración. Hacer que este procedimiento sea riguroso requiere un procedimiento limitante, donde el dominio de integración se divide en regiones cada vez más pequeñas. Para cada región pequeña, el valor del integrando no puede variar mucho, por lo que puede ser reemplazado por un solo valor. En una integral funcional el dominio de integración es un espacio de funciones. Para cada función, el integrando devuelve un valor para sumar. La rigurosidad de este procedimiento plantea desafíos que continúan siendo temas de investigación actual.

La integración funcional fue desarrollada por Percy John Daniell en un artículo de 1919 y Norbert Wiener en una serie de estudios que culminaron en sus artículos de 1921 sobre el movimiento browniano. Desarrollaron un método riguroso (ahora conocido como la medida de Wiener) para asignar una probabilidad a la trayectoria aleatoria de una partícula. Richard Feynman desarrolló otra integral funcional, la integral de trayectoria, útil para calcular las propiedades cuánticas de los sistemas. En la integral de trayectoria de Feynman, la noción clásica de una trayectoria única para una partícula se reemplaza por una suma infinita de trayectorias clásicas, cada una ponderada de manera diferente según sus propiedades clásicas.

La integración funcional es fundamental para las técnicas de cuantificación en la física teórica. Las propiedades algebraicas de las integrales funcionales se utilizan para desarrollar series utilizadas para calcular propiedades en electrodinámica cuántica y el modelo estándar de física de partículas.

Integración funcional

Mientras que la integración estándar de Riemann suma una función f(x) sobre un rango continuo de valores de x, la integración funcional suma una función G[f], que se puede considerar como una "función de una función" sobre un rango continuo (o espacio) de funciones f. La mayoría de las integrales funcionales no pueden evaluarse con exactitud, sino que deben evaluarse mediante métodos de perturbación. La definición formal de una integral funcional es

∫ ∫ G[f]D[f]↑ ↑ ∫ ∫ R⋯ ⋯ ∫ ∫ RG[f]∏ ∏ xdf()x).{displaystyle int G[f];{mathcal {D}[f]equiv int _{mathbb {R}cdots int _{mathbb {R} }G[f]prod _{x}df(x);.}

Sin embargo, en la mayoría de los casos las funciones f()x) se puede escribir en términos de una serie infinita de funciones ortogonales tales como f()x)=fnHn()x){displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}, y entonces la definición se convierte

∫ ∫ G[f]D[f]↑ ↑ ∫ ∫ R⋯ ⋯ ∫ ∫ RG()f1;f2;...... )∏ ∏ ndfn,{displaystyle int G[f];{mathcal {D}[f]equiv int _{mathbb {R}cdots int _{mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};ldots)prod ¿Qué?

que es ligeramente más comprensible. La integral se muestra como una integral funcional con un capital D{displaystyle {fnMithcal}}. A veces el argumento está escrito entre corchetes D[f]{fnMicrosoft Sans Serif}, para indicar la dependencia funcional de la función en la medida de integración funcional.

Ejemplos

La mayoría de las integrales funcionales son en realidad infinitas, pero a menudo el límite del cociente de dos integrales funcionales relacionadas aún puede ser finito. Las integrales funcionales que se pueden evaluar con exactitud suelen comenzar con la siguiente integral gaussiana:

∫ ∫ exp⁡ ⁡ {}− − 12∫ ∫ R[∫ ∫ Rf()x)K()x;Sí.)f()Sí.)dSí.+J()x)f()x)]dx}D[f]∫ ∫ exp⁡ ⁡ {}− − 12∫ ∫ R2f()x)K()x;Sí.)f()Sí.)dxdSí.}D[f]=exp⁡ ⁡ {}12∫ ∫ R2J()x)⋅ ⋅ K− − 1()x;Sí.)⋅ ⋅ J()Sí.)dxdSí.},{displaystyle {frac {displaystyle int exp leftlbrace -{frac {1}{2}}int _{mathbb {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}} {f}} {f} {f}} {f} {f}}f}f}f} {f}f} {f}m}cH00}f} {f}cH00}cH00}f}f}f}f}f} {f}f}f}cH00}f}f}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {R} ^{2}J(x)cdot K^{-1}(x;y)cdot J(y),dx,dyrightrbrace ,}

en que K()x;Sí.)=K()Sí.;x){displaystyle K(x;y)=K(y;x)}. Al diferenciar funcionalmente esto con respecto a J()x) y luego establecer a 0 esto se convierte en un exponencial multiplicado por un monomial en f. Para ver esto, utilicemos la siguiente notación:

G[f,J]=− − 12∫ ∫ R[∫ ∫ Rf()x)K()x;Sí.)f()Sí.)dSí.+J()x)f()x)]dx,W[J]=∫ ∫ exp⁡ ⁡ {}G[f,J]}D[f].{displaystyle G[f,J]=-{frac {1}{2}int _{mathbb {R} }left[int _{mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y),dy+J(x)f(x)right]dx,quadquad W[J]=int lbrace G[f,J]rbrace {mathcal {}[f];

Con esta notación, la primera ecuación se puede escribir como:

W[J]W[0]=exp⁡ ⁡ {}12∫ ∫ R2J()x)K− − 1()x;Sí.)J()Sí.)dxdSí.}.{displaystyle {dfrac {W}{W[0]}=exp leftlbrace {frac {1}{2}int _{mathbb [R] ^{2}J(x)K^{-1}(x;y)J(y),dx,dyrightrbrace.}

Ahora, tomando derivados funcionales a la definición de W[J]{displaystyle W[J]} y luego evaluar en J=0{displaystyle J=0}, uno obtiene:

δ δ δ δ J()a)W[J]SilencioJ=0=∫ ∫ f()a)exp⁡ ⁡ {}G[f,0]}D[f],{displaystyle {dfrac {delta}{delta J(a)}W[J]{Bigg ################################################################################################################################################################################################################################################################

δ δ 2W[J]δ δ J()a)δ δ J()b)SilencioJ=0=∫ ∫ f()a)f()b)exp⁡ ⁡ {}G[f,0]}D[f],{displaystyle {dfrac {delta }W[J]}{delta J(a)delta J(b)}}{Bigg ################################################################################################################################################################################################################################################################

⋮ ⋮ {displaystyle qquad qquad qquad qquad vdots }

cuál es el resultado esperado. Además, utilizando la primera ecuación se llega al útil resultado:

δ δ 2δ δ J()a)δ δ J()b)()W[J]W[0])SilencioJ=0=K− − 1()a;b);{displaystyle {dfrac {delta }{2}{delta J(a)delta J(b)}}left({dfrac {W[J]}{W[0]}right){Bigg] - ¿Qué?

Juntando estos resultados y volviendo a la notación original tenemos:

∫ ∫ f()a)f()b)exp⁡ ⁡ {}− − 12∫ ∫ R2f()x)K()x;Sí.)f()Sí.)dxdSí.}D[f]∫ ∫ exp⁡ ⁡ {}− − 12∫ ∫ R2f()x)K()x;Sí.)f()Sí.)dxdSí.}D[f]=K− − 1()a;b).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Otra integral útil es la función delta funcional:

∫ ∫ exp⁡ ⁡ {}∫ ∫ Rf()x)g()x)dx}D[f]=δ δ [g]=∏ ∏ xδ δ ()g()x)),{displaystyle int exp leftlbrace int _{mathbb {R}f(x)g(x)dxrightrbrace {mathcal {}[f]=delta [g]=prod _{x}delta {big (}g(x){big)},}

que es útil para especificar limitaciones. Las integrales funcionales también se pueden hacer sobre las funciones valoradas por Grassmann ↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)}, donde ↑ ↑ ()x)↑ ↑ ()Sí.)=− − ↑ ↑ ()Sí.)↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)psi (y)=-psi (y)psi (x)}, que es útil en electrodinámica cuántica para cálculos que involucran fermions.

Aproximaciones a las integrales de trayectoria

Las integrales funcionales donde el espacio de integración consta de caminos (ν = 1) se pueden definir de muchas maneras diferentes. Las definiciones se dividen en dos clases diferentes: las construcciones derivadas de la teoría de Wiener producen una integral basada en una medida, mientras que las construcciones que siguen la integral de trayectoria de Feynman no. Incluso dentro de estas dos amplias divisiones, las integrales no son idénticas, es decir, se definen de manera diferente para diferentes clases de funciones.

La integral de Wiener

En la integral de Wiener, se asigna una probabilidad a una clase de trayectorias de movimiento brownianas. La clase consta de los caminos w que se sabe que atraviesan una pequeña región del espacio en un momento dado. Se supone que el paso a través de diferentes regiones del espacio es independiente entre sí, y que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la trayectoria browniana tiene una distribución gaussiana con una varianza que depende del tiempo t y de una constante de difusión D:

Pr()w()s+t),t▪ ▪ w()s),s)=12π π Dtexp⁡ ⁡ ()− − .. w()s+t)− − w()s).. 22Dt).{displaystyle Pr {big (}w(s+t),tmid w(s),s{big)}={frac {1}{sqrt {2pi Dt}}exp left(-{frac {fnciónw(s+t)-w(s) viven^{2}}{2Dt}right).}

La probabilidad para la clase de caminos se puede encontrar multiplicando las probabilidades de comenzar en una región y luego estar en la siguiente. La medida de Wiener se puede desarrollar considerando el límite de muchas regiones pequeñas.

• Calculus Itō y Stratonovich

La integral de Feynman

• Fórmula de desorden, o fórmula de Lie product.
• La idea Kac de las rotaciones Wick.
• Utilizando x-dot-dot-squared o i S[x] + x-dot-squared.
• El Cartier DeWitt–Morette se basa en integradores en lugar de medidas

La integral de Lévy

• mecánica cuántica fraccional
• Ecuación de Schrödinger
• Proceso de carga
• Mecánica estadística fraccional