Integración de Leapfrog

En el análisis numérico, integración es un método para la integración numérica de ecuaciones diferenciales de la forma $${\displaystyle {\ddot {x}={\frac {d^{2}x}}=A(x),}$$o equivalente de la forma $${\displaystyle {\dot {}={\frac {dt}=A(x),\qquad {\dot} {x}={\frac} {dx} {dt}=v,}$$particularmente en el caso de un sistema dinámico de mecánica clásica.

El método es conocido por diferentes nombres en diferentes disciplinas. En particular, es similar a la velocidad Verlet método, que es una variante de integración Verlet. La integración de saltos equivale a actualizar posiciones ${\displaystyle x(t)}$ y velocidades ${\displaystyle v(t)={\dot {x}(t)}$ en diferentes puntos de tiempo entrelazados, estancados de tal manera que "leapfrog" uno sobre el otro.

La integración de salto es un método de segundo orden, en contraste con la integración de Euler, que es sólo de primer orden, pero requiere el mismo número de evaluaciones de funciones por paso. A diferencia de la integración de Euler, es estable para el movimiento oscilatorio, siempre y cuando el paso del tiempo ${\displaystyle \Delta t}$ es constante, y ${\displaystyle \Delta t won2/\omega }$.

Utilizando los coeficientes de Yoshida y aplicando el integrador de salto varias veces con los intervalos de tiempo correctos, se puede generar un integrador de orden mucho mayor.

En la integración de saltos, las ecuaciones para la actualización de posición y velocidad son $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i} limit=A(x_{i}),\\v_{i+1/2} {=v_{i-1/2}+a_{i}\,\ Delta t,\x_{i+1} {i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}$$

Donde ${\displaystyle x_{i}}$ posición a paso ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle v_{i+1/2\,}$ es la velocidad, o primer derivado de ${\displaystyle x}$, a paso ${\displaystyle i+1/2\,}$, ${\displaystyle a_{i}=A(x_{i}}$ es la aceleración, o segundo derivado de ${\displaystyle x}$, a paso ${\displaystyle i}$, y ${\displaystyle \Delta t}$ es el tamaño de cada paso de tiempo. Estas ecuaciones se pueden expresar en una forma que da velocidad a pasos enteros también: $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1} limit=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2}\v_{i+1} {=v_{i}+{\tfrac} {1}{2}(a_{i}+a_{i+1}\Delta t.\end{aligned}}}}$$Sin embargo, en esta forma sincronizada, el paso del tiempo ${\displaystyle \Delta t}$ debe ser constante para mantener la estabilidad.

La forma sincronizada puede ser re-organizada a la forma 'kick-drift-kick'; $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2} limit=v_{i}+{\tfrac} {1}{2}a_{i} Delta t,\[2pt]x_{i+1} limit=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\[2pt]v_{i+1} Delta t,\end{aligned}$$que se utiliza principalmente cuando se requieren pasos de tiempo variables. La separación del cálculo de aceleración en el comienzo y final de un paso significa que si la resolución del tiempo se incrementa por un factor de dos (${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2}$), entonces sólo se requiere un cálculo de aceleración adicional (computationally caro).

Un uso de esta ecuación es en simulaciones de gravedad newtoniana, ya que en ese caso la aceleración depende únicamente de las posiciones de las masas gravitacionales (y no de sus velocidades).La integración por saltos presenta dos ventajas principales al aplicarse a problemas de mecánica. La primera es su reversibilidad temporal. Se pueden integrar n pasos hacia adelante y luego invertir la dirección de integración e integrar n pasos hacia atrás para llegar a la misma posición inicial. La segunda ventaja es su naturaleza simpléctica, lo que implica que conserva la energía (ligeramente modificada; véase integrador simpléctico) de un sistema dinámico hamiltoniano. Esto es especialmente útil al calcular dinámica orbital, ya que muchos otros esquemas de integración, como el método de Runge-Kutta (de orden 4), no conservan la energía y permiten que el sistema se desvíe considerablemente con el tiempo.Debido a su reversibilidad temporal y a que es un integrador simpléctico, la integración de salto también se utiliza en el método Monte Carlo hamiltoniano, un método para extraer muestras aleatorias de una distribución de probabilidad cuya normalización general se desconoce.El integrador de salto de rana puede convertirse en integradores de orden superior mediante técnicas desarrolladas por Haruo Yoshida. En este enfoque, el salto de rana se aplica a varios pasos de tiempo diferentes. Resulta que, al utilizar los pasos de tiempo correctos en secuencia, los errores se compensan y se pueden generar fácilmente integradores de orden mucho más alto.Un paso en el integrador de Yoshida de cuarto orden requiere cuatro pasos intermedios. La posición y la velocidad se calculan en momentos diferentes. Solo se requieren tres cálculos de aceleración (computacionalmente costosos).Las ecuaciones del integrador de cuarto orden para actualizar la posición y la velocidad son:

$$###### {2}####################################################################################################################################################################################################################################################### x_{i}{4}=x_{i}{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\ Delta t, limitadav_{i+1} {\fnK}\\\\fnK}\\\fnK}\\\\fnK}}\\\\fnK}}\\\\\fn}}}\\\\\\\\\\\\fn}}}\\\\\\\\fnK}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$$

Donde ${\displaystyle x_{i},v_{i}$ son la posición inicial y la velocidad, ${\displaystyle ¿Qué?$ son posición intermediaria y velocidad a paso intermedio ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a(x_{i} {n}}}$ es la aceleración en la posición ${\displaystyle x_{i} {n}}$, y ${\displaystyle x_{i+1},v_{i+1}$ son la posición final y la velocidad bajo un cuarto paso Yoshida orden.

Coeficientes ${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}$ y ${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3}}$ se derivan en (ver la ecuación (4.6))

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0} - ¿Qué? {\fnMicroc {1} {2-{3}}}}}\[1ex]c_{1} {=c_{4}\equiv} {\fnMicroc {w_{1}{2}} {2}} {2}=c_{3} {\fnMicroc {w_{0}+w_{2}}\[1ex]d_{1} {=d_{3}\equiv} w_{1}, limitadad_{2} {\fn}\\\\\fnK}}$$

Todos los pasos intermedios forman uno ${\displaystyle \Delta t}$ paso que implica que los coeficientes resumen hasta uno: ${\textstyle \sum ¿Qué?$ y ${\textstyle \sum ¿Qué?$. Tenga en cuenta que la posición y la velocidad se calculan en diferentes momentos y algunos pasos intermedios están retrocedidos en el tiempo. Para ilustrar esto, damos los valores numéricos de ${\displaystyle c_{n}$ coeficientes: ${\displaystyle c_{1}=0.6756}$, ${\displaystyle c_{2}=-0.1756}$, ${\displaystyle c_{3}=-0.1756}$, ${\displaystyle c_{4}=0.6756.}$

• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
• Integración Symplectic
• Integración de Euler
• Integración vertical
• Integración Runge–Kutta

• [1], Física de la Universidad Drexel