Infinitesimal

Infinitesimals (ε) and infinities (ω) on the hyperreal number line (ε = 1/ω)

En matemáticas, un número infinitesimal es una cantidad que está más cerca de cero que cualquier número real estándar, pero que no es cero. La palabra infinitesimal proviene de una acuñación en latín moderno del siglo XVII infinitesimus, que originalmente se refería al "infinito-th" elemento en una secuencia.

Los infinitesimales no existen en el sistema numérico real estándar, pero sí existen en otros sistemas numéricos, como el sistema numérico surrealista y el sistema numérico hiperreal, que se puede considerar como los números reales aumentados con infinitesimal e infinito. cantidades; los aumentos son los recíprocos entre sí.

Los números infinitesimales se introdujeron en el desarrollo del cálculo, en el que la derivada se concibió por primera vez como una relación de dos cantidades infinitesimales. Esta definición no fue formalizada rigurosamente. A medida que el cálculo se desarrolló más, los infinitesimales fueron reemplazados por límites, que se pueden calcular utilizando los números reales estándar.

Los infinitesimales recuperaron su popularidad en el siglo XX con el desarrollo del análisis no estándar y los números hiperreales de Abraham Robinson, que, después de siglos de controversia, demostraron que era posible un tratamiento formal del cálculo infinitesimal. Después de esto, los matemáticos desarrollaron números surrealistas, una formalización relacionada de números infinitos e infinitesimales que incluyen tanto números cardinales como ordinales hiperreales, que es el campo ordenado más grande.

Vladimir Arnold escribió en 1990:

Hoy en día, al enseñar análisis, no es muy popular hablar de cantidades infinitesimal. En consecuencia, los estudiantes actuales no están plenamente al mando de este idioma. Sin embargo, todavía es necesario tener el mando de ella.

La idea crucial para hacer que los infinitesimales fueran entidades matemáticas factibles era que aún podían retener ciertas propiedades como el ángulo o la pendiente, incluso si estas entidades fueran infinitamente pequeñas.

Los infinitesimales son un ingrediente básico en el cálculo desarrollado por Leibniz, incluida la ley de continuidad y la ley trascendental de homogeneidad. En el lenguaje común, un objeto infinitesimal es un objeto que es más pequeño que cualquier medida factible, pero no de tamaño cero, o tan pequeño que no se puede distinguir de cero por ningún medio disponible. Por lo tanto, cuando se usa como adjetivo en matemáticas, infinitesimal significa infinitamente pequeño, más pequeño que cualquier número real estándar. Los infinitesimales a menudo se comparan con otros infinitesimales de tamaño similar, como al examinar la derivada de una función. Un número infinito de infinitesimales se suman para calcular una integral.

El concepto de infinitesimales fue introducido originalmente alrededor de 1670 por Nicolaus Mercator o Gottfried Wilhelm Leibniz. Arquímedes usó lo que finalmente se conoció como el método de los indivisibles en su trabajo El método de los teoremas mecánicos para encontrar áreas de regiones y volúmenes de sólidos. En sus tratados formales publicados, Arquímedes resolvió el mismo problema utilizando el método de agotamiento. El siglo XV vio el trabajo de Nicolás de Cusa, más desarrollado en el siglo XVII por Johannes Kepler, en particular, el cálculo del área de un círculo al representar este último como un polígono de lados infinitos. El trabajo de Simon Stevin sobre la representación decimal de todos los números en el siglo XVI preparó el terreno para el continuo real. El método de los indivisibles de Bonaventura Cavalieri condujo a una extensión de los resultados de los autores clásicos. El método de los indivisibles se relacionaba con las figuras geométricas como compuestas de entidades de codimensión 1. Los infinitesimales de John Wallis diferían de los indivisibles en que descompondría las figuras geométricas en bloques de construcción infinitamente delgados de la misma dimensión que la figura, preparando el terreno. para métodos generales del cálculo integral. Explotó un infinitesimal denotado 1/∞ en cálculos de área.

El uso de infinitesimales por parte de Leibniz se basó en principios heurísticos, como la ley de continuidad: lo que tiene éxito para los números finitos también tiene éxito para los números infinitos y viceversa; y la ley trascendental de homogeneidad que especifica procedimientos para reemplazar expresiones que involucran cantidades no asignables, por expresiones que involucran solo asignables. El siglo XVIII vio el uso rutinario de los infinitesimales por parte de matemáticos como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy explotó los infinitesimales tanto para definir la continuidad en su Cours d'Analyse como para definir una forma temprana de una función delta de Dirac. Mientras Cantor y Dedekind desarrollaban versiones más abstractas del continuo de Stevin, Paul du Bois-Reymond escribió una serie de artículos sobre continuos infinitesimales enriquecidos basados en tasas de crecimiento de funciones. El trabajo de Du Bois-Reymond inspiró tanto a Émile Borel como a Thoralf Skolem. Borel vinculó explícitamente el trabajo de du Bois-Reymond con el trabajo de Cauchy sobre las tasas de crecimiento de los infinitesimales. Skolem desarrolló los primeros modelos no estándar de aritmética en 1934. Abraham Robinson logró una implementación matemática tanto de la ley de continuidad como de los infinitesimales en 1961, quien desarrolló un análisis no estándar basado en trabajos anteriores de Edwin Hewitt en 1948 y Jerzy Łoś en 1955 Los hiperreales implementan un continuo infinitesimal enriquecido y el principio de transferencia implementa la ley de continuidad de Leibniz. La función de parte estándar implementa la adecuación de Fermat.

Historia de lo infinitesimal

La noción de cantidades infinitamente pequeñas fue discutida por la Escuela Eleática. El matemático griego Arquímedes (c. 287 a. C. - c. 212 a. C.), en El método de los teoremas mecánicos, fue el primero en proponer una definición lógicamente rigurosa de los infinitesimales. Su propiedad de Arquímedes define un número x como infinito si cumple las condiciones |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1,..., e infinitesimal si x≠0 y un conjunto similar de condiciones se cumple para x y los recíprocos de los enteros positivos. Se dice que un sistema numérico es de Arquímedes si no contiene miembros infinitos o infinitesimales.

El matemático inglés John Wallis introdujo la expresión 1/∞ en su libro de 1655 Tratado sobre las secciones cónicas. El símbolo, que denota el recíproco o inverso de ∞, es la representación simbólica del concepto matemático de un infinitesimal. En su Tratado sobre las secciones cónicas, Wallis también analiza el concepto de una relación entre la representación simbólica de infinitesimal 1/∞ que introdujo y el concepto de infinito para el que introdujo el símbolo ∞. El concepto sugiere un experimento mental de agregar un número infinito de paralelogramos de ancho infinitesimal para formar un área finita. Este concepto fue el predecesor del método moderno de integración utilizado en el cálculo integral. Los orígenes conceptuales del concepto de infinitesimal 1/∞ se remontan al filósofo griego Zenón de Elea, cuya paradoja de la dicotomía de Zenón fue el primer concepto matemático en considerar la relación entre un intervalo finito y un intervalo. acercándose a la de un intervalo de tamaño infinitesimal.

Los infinitesimales fueron objeto de controversias políticas y religiosas en la Europa del siglo XVII, incluida la prohibición de los infinitesimales emitida por los clérigos de Roma en 1632.

Antes de la invención del cálculo, los matemáticos podían calcular rectas tangentes usando el método de adecuación de Pierre de Fermat y el método de René Descartes; método de las normales. Existe un debate entre los estudiosos sobre si el método era de naturaleza infinitesimal o algebraica. Cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo, hicieron uso de infinitesimales, las fluxiones de Newton y Leibniz' diferencial. El uso de infinitesimales fue atacado como incorrecto por el obispo Berkeley en su obra The Analyst. Matemáticos, científicos e ingenieros continuaron usando infinitesimales para producir resultados correctos. En la segunda mitad del siglo XIX, el cálculo fue reformulado por Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Cantor, Dedekind y otros utilizando la definición (ε, δ) de límite y teoría de conjuntos. Mientras que los seguidores de Cantor, Dedekind y Weierstrass buscaban librar al análisis de los infinitesimales, y sus aliados filosóficos como Bertrand Russell y Rudolf Carnap declararon que los infinitesimales son pseudoconceptos, Hermann Cohen y su escuela de neokantismo de Marburg trató de desarrollar una lógica de trabajo de los infinitesimales. El estudio matemático de los sistemas que contienen infinitesimales continuó a través del trabajo de Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Reymond y otros, a finales del siglo XIX y XX, como lo documenta Philip Ehrlich (2006). En el siglo XX, se descubrió que los infinitesimales podían servir como base para el cálculo y el análisis (ver números hiperreales).

Propiedades de primer orden

Al extender los números reales para incluir cantidades infinitas e infinitesimales, normalmente se desea ser lo más conservador posible al no cambiar ninguna de sus propiedades elementales. Esto garantiza que todavía estén disponibles tantos resultados familiares como sea posible. Por lo general, elemental significa que no hay cuantificación sobre conjuntos, sino solo sobre elementos. Esta limitación permite declaraciones de la forma "para cualquier número x..." Por ejemplo, el axioma que establece "para cualquier número x, x + 0 = x" aún se aplicaría. Lo mismo es cierto para la cuantificación sobre varios números, por ejemplo, "para cualquier número x e y, xy = yx ." Sin embargo, declaraciones de la forma "para cualquier conjunto S de números..." no puede transferirse. La lógica con esta limitación en la cuantificación se denomina lógica de primer orden.

El sistema numérico extendido resultante no puede concordar con los reales en todas las propiedades que pueden expresarse mediante cuantificación sobre conjuntos, porque el objetivo es construir un sistema no arquimediano, y el principio de Arquímedes puede expresarse mediante cuantificación sobre conjuntos. Se puede extender de manera conservadora cualquier teoría que incluya reales, incluida la teoría de conjuntos, para incluir infinitesimales, simplemente agregando una lista infinita numerable de axiomas que afirman que un número es menor que 1/2, 1/3, 1/4, etc. De manera similar, no se puede esperar que la propiedad de completitud se mantenga, porque los reales son el único campo ordenado completo hasta el isomorfismo.

Podemos distinguir tres niveles en los que un sistema numérico no arquimediano podría tener propiedades de primer orden compatibles con las de los reales:

1. Un campo ordenado obedece todos los axiomas habituales del sistema de números reales que pueden ser declarados en la lógica de primer orden. Por ejemplo, el axioma de la conmutación x+Sí.=Sí.+x sostiene.
2. Un campo cerrado real tiene todas las propiedades de primer orden del sistema de números reales, independientemente de si se toman generalmente como axiomático, para declaraciones que involucran las relaciones básicas de campo ordenado +, × y ≤. Esta es una condición más fuerte que obedecer los axiomas del campo ordenado. Más específicamente, uno incluye propiedades adicionales de primer orden, como la existencia de una raíz para cada polinomio de grado impar. Por ejemplo, cada número debe tener una raíz de cubo.
3. El sistema podría tener todas las propiedades de primera orden del sistema de números reales para las declaraciones que implican cualquiera relaciones (independientemente de si esas relaciones pueden expresarse usando +, × y ≤). Por ejemplo, tendría que haber una función sine que esté bien definida para entradas infinitas; la misma es verdadera para cada función real.

Los sistemas de la categoría 1, en el extremo débil del espectro, son relativamente fáciles de construir pero no permiten un tratamiento completo del análisis clásico usando infinitesimales en el espíritu de Newton y Leibniz. Por ejemplo, las funciones trascendentales se definen en términos de procesos límite infinitos y, por lo tanto, normalmente no hay forma de definirlas en lógica de primer orden. Al aumentar la fuerza analítica del sistema al pasar a las categorías 2 y 3, encontramos que el sabor del tratamiento tiende a volverse menos constructivo y se vuelve más difícil decir algo concreto sobre la estructura jerárquica de infinitos e infinitesimales.

Sistemas numéricos que incluyen infinitesimales

Serie formal

Serie Laurent

Un ejemplo de la categoría 1 anterior es el campo de la serie de Laurent con un número finito de términos de potencia negativa. Por ejemplo, la serie de Laurent que consiste solo en el término constante 1 se identifica con el número real 1, y la serie con solo el término lineal x se considera como el infinitesimal más simple, del cual los otros infinitesimales se construyen. Se utiliza el orden del diccionario, lo que equivale a considerar las potencias superiores de x como insignificantes en comparación con las potencias inferiores. David O. Tall se refiere a este sistema como superreales, que no debe confundirse con el sistema numérico superreal de Dales y Woodin. Dado que una serie de Taylor evaluada con una serie de Laurent como argumento sigue siendo una serie de Laurent, el sistema se puede usar para hacer cálculos en funciones trascendentales si son analíticas. Estos infinitesimales tienen propiedades de primer orden diferentes a las de los reales porque, por ejemplo, el infinitesimal básico x no tiene una raíz cuadrada.

El campo Levi-Civita

El campo de Levi-Civita es similar a la serie de Laurent, pero es algebraicamente cerrado. Por ejemplo, el infinitesimal básico x tiene una raíz cuadrada. Este campo es lo suficientemente rico como para permitir que se realice una cantidad significativa de análisis, pero sus elementos aún se pueden representar en una computadora en el mismo sentido en que los números reales se pueden representar en punto flotante.

Transerie

El campo de transseries es más grande que el campo de Levi-Civita. Un ejemplo de transerie es:

eIn⁡ ⁡ In⁡ ⁡ x+In⁡ ⁡ In⁡ ⁡ x+.. j=0JUEGO JUEGO exx− − j,{displaystyle e^{sqrt {ln ln x}+ln ln x+sum _{j=0}{infty }e^{x}x^{-j},}

donde a efectos de ordenar x se considera infinito.

Números surrealistas

Los números surrealistas de Conway entran en la categoría 2, excepto que los números surrealistas forman una clase propia y no un conjunto. Son un sistema diseñado para ser lo más rico posible en diferentes tamaños de números, pero no necesariamente para conveniencia al hacer análisis, en el sentido de que cada campo ordenado es un subcampo de los números surrealistas. Hay una extensión natural de la función exponencial a los números surrealistas.

Hiperreales

La técnica más extendida para manejar infinitesimals es la hiperreal, desarrollada por Abraham Robinson en la década de 1960. Caen en la categoría 3 supra, habiendo sido diseñados de esa manera para que todo el análisis clásico pueda ser llevado de los reales. Esta propiedad de poder llevar a cabo todas las relaciones de manera natural se conoce como el principio de transferencia, probado por Jerzy Łoś en 1955. Por ejemplo, la función trascendental pecado tiene una contraparte natural *sin que toma una entrada hiperreal y da una salida hiperreal, y similarmente el conjunto de números naturales N{displaystyle mathbb {N} tiene una contraparte natural Alternativa Alternativa N{displaystyle ^{*}Mathbb {N}, que contiene tanto los enteros finitos como infinitos. Una propuesta como О О n▪ ▪ N,pecado⁡ ⁡ nπ π =0{displaystyle forall nin mathbb {N}sin npi =0} lleva a los hiperrealistas como О О n▪ ▪ Alternativa Alternativa N,Alternativa Alternativa pecado⁡ ⁡ nπ π =0{displaystyle forall nin # Mathbb # {N} {fn}fnfnfnfn}fnnfn}fnncH00}ccH00}fncH00cH00}cH0}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH0}cH00cH00cH00}cH00cH0}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00.

Superreales

El sistema numérico superreal de Dales y Woodin es una generalización de los hiperreales. Es diferente del sistema superreal definido por David Tall.

Números dobles

En álgebra lineal, los números duales extienden los reales uniendo un infinitesimal, el nuevo elemento ε con la propiedad ε² = 0 (es decir, ε es nilpotente). Todo número dual tiene la forma z = a + bε con a y b siendo números reales determinados unívocamente.

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática. Esta aplicación se puede generalizar a polinomios en n variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial n-dimensional.

Análisis infinitesimal fluido

La geometría diferencial sintética o el análisis infinitesimal suave tienen sus raíces en la teoría de categorías. Este enfoque se aparta de la lógica clásica utilizada en las matemáticas convencionales al negar la aplicabilidad general de la ley del medio excluido, es decir, no (a ≠ b) no tiene que significar a = b. Entonces se puede definir un infinitesimal nilsquare o nilpotent. Este es un número x donde x² = 0 es verdadero, pero x = 0 no necesita ser verdadero en al mismo tiempo. Dado que la lógica de fondo es la lógica intuicionista, no queda inmediatamente claro cómo clasificar este sistema con respecto a las clases 1, 2 y 3. Primero habría que desarrollar análogos intuicionistas de estas clases.

Funciones delta infinitesimales

Cauchy usó un infinitesimal α α {displaystyle alpha } para escribir un impulso unitario, infinitamente alto y estrecha función delta tipo Dirac δ δ α α {displaystyle delta _{alpha } satisfacción ∫ ∫ F()x)δ δ α α ()x)=F()0){displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)} en varios artículos en 1827, véase Laugwitz (1989). Cauchy definió un infinitesimal en 1821 (Cortes d'Analyse) en términos de una secuencia que tiende a cero. Es decir, tal secuencia nula se convierte en un infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot.

Los enfoques modernos de teoría de conjuntos permiten definir infinitesimales a través de la construcción de ultrapotencia, donde una secuencia nula se convierte en infinitesimal en el sentido de una clase de equivalencia módulo una relación definida en términos de un ultrafiltro adecuado. El artículo de Yamashita (2007) contiene bibliografía sobre funciones delta de Dirac modernas en el contexto de un continuo infinitesimal enriquecido proporcionado por los hiperreales.

Propiedades lógicas

El método de construcción de infinitesimales del tipo utilizado en el análisis no estándar depende del modelo y del conjunto de axiomas que se utilice. Consideramos aquí sistemas en los que se puede demostrar que existen infinitesimales.

En 1936, Maltsev demostró el teorema de la compacidad. Este teorema es fundamental para la existencia de los infinitesimales ya que demuestra que es posible formalizarlos. Una consecuencia de este teorema es que si existe un sistema numérico en el que es cierto que para todo entero positivo n existe un número positivo x tal que 0 < x < 1/n, entonces existe una extensión de ese sistema numérico en el que es cierto que existe un número positivo x tal que para cualquier entero positivo n tenemos 0 < x < 1/n. La posibilidad de cambiar "por cualquier" y "existe" Es crucial. La primera afirmación es cierta en los números reales como se indica en la teoría de conjuntos ZFC: para cualquier número entero positivo n es posible encontrar un número real entre 1/n y cero, pero este número real depende de n. Aquí, uno elige n primero, luego encuentra el x correspondiente. En la segunda expresión, la declaración dice que hay un x (al menos uno), elegido primero, que está entre 0 y 1/n para cualquier n . En este caso x es infinitesimal. Esto no es cierto en los números reales (R) proporcionados por ZFC. No obstante, el teorema prueba que existe un modelo (un sistema numérico) en el que esto es cierto. La pregunta es: ¿qué es este modelo? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Hay un solo modelo así?

De hecho, hay muchas maneras de construir un conjunto de números unidimensional linealmente ordenado, pero fundamentalmente, hay dos enfoques diferentes:

1) Extender el sistema de números para que contenga más números que los números reales.

2) Extender los axiomas (o extender el lenguaje) para que la distinción entre los infinitesimals y los no-infinitesimales se pueda hacer en los propios números reales.

En 1960, Abraham Robinson proporcionó una respuesta siguiendo el primer enfoque. El conjunto extendido se llama los hiperreales y contiene números menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. El método puede considerarse relativamente complejo, pero prueba que los infinitesimales existen en el universo de la teoría de conjuntos ZFC. Los números reales se llaman números estándar y los nuevos hiperreales no reales se llaman no estándar.

En 1977, Edward Nelson proporcionó una respuesta siguiendo el segundo enfoque. Los axiomas extendidos son IST, que significa Teoría de conjuntos internos o las iniciales de los tres axiomas adicionales: Idealización, Estandarización, Transferencia. En este sistema, consideramos que el lenguaje se extiende de tal manera que podemos expresar hechos sobre infinitesimales. Los números reales son estándar o no estándar. Un infinitesimal es un número real no estándar que es menor, en valor absoluto, que cualquier número real estándar positivo.

En 2006, Karel Hrbacek desarrolló una extensión del enfoque de Nelson en el que los números reales se estratifican en (infinitos) niveles; es decir, en el nivel más grueso, no hay infinitesimales ni números ilimitados. Los infinitesimales están en un nivel más fino y también hay infinitesimales con respecto a este nuevo nivel y así sucesivamente.

Infinitesimales en la enseñanza

Los libros de texto de cálculo basados en infinitesimales incluyen el clásico Calculus Made Easy de Silvanus P. Thompson (con el lema "Lo que un tonto puede hacer, otro puede") y el texto alemán Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie de R. Neuendorff. Los trabajos pioneros basados en los infinitesimales de Abraham Robinson incluyen textos de Stroyan (que datan de 1972) y Howard Jerome Keisler (Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach). Los estudiantes se relacionan fácilmente con la noción intuitiva de una diferencia infinitesimal 1-"0.999...", donde "0.999..." difiere de su significado estándar como el número real 1, y se reinterpreta como un decimal extendido que termina en infinito y que es estrictamente menor que 1.

Otro texto de cálculo elemental que utiliza la teoría de los infinitesimales desarrollada por Robinson es Infinitesimal Calculus de Henle y Kleinberg, publicado originalmente en 1979. Los autores introducen el lenguaje de la lógica de primer orden y demuestran la construcción de un modelo de primer orden de los números hiperreales. El texto proporciona una introducción a los conceptos básicos del cálculo integral y diferencial en una dimensión, incluidas las secuencias y series de funciones. En un Apéndice, también tratan la extensión de su modelo a los hiperhiperreales, y demuestran algunas aplicaciones para el modelo extendido.

Un texto de cálculo elemental basado en el análisis infinitesimal suave es Bell, John L. (2008). Una cartilla de análisis infinitesimal, 2ª edición. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521887182.

Un texto de cálculo más reciente que utiliza infinitesimales es Dawson, C. Bryan (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

Funciones que tienden a cero

En un sentido relacionado pero algo diferente, que evolucionaba de la definición original de "infinitesimal" como una cantidad infinitamente pequeña, el término también se ha utilizado para referirse a una función que tiende a cero. Más precisamente, Loomis y Sternberg's Cálculo avanzado define la clase de función de infinitesimals, I{displaystyle {fnK}}, como subconjunto de funciones f:V→ → W{displaystyle f:Vto W} entre espacios vectoriales no deseados

0)(exists delta >0) backepsilon ||xi ||<delta implies ||f(xi)||I()V,W)={}f:V→ → WSilenciof()0)=0,()О О ε ε ■0)()∃ ∃ δ δ ■0)∍ ∍ SilencioSilencio.. SilencioSilencio.δ δ ⟹ ⟹ SilencioSilenciof().. )SilencioSilencio.ε ε }{fnMicrosoft Sans Serif} Vto W Silencio f(0)=0,(forall epsilon √0)(exists delta но0) backepsilon Ноковывывываныхdelta implies неленый ный ныеный ныеный ныеный ный ный ный ный ный ный ный ныеный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный неный ный ный ный ный ный ный ный ный нене0)(exists delta >0) backepsilon ||xi ||<delta implies ||f(xi)||,

y dos clases conexas O,o{displaystyle {Mathfrak {}},{mathfrak {o}} (ver notación de Big-O) por

0,c>0) backepsilon ||xi ||O()V,W)={}f:V→ → WSilenciof()0)=0,()∃ ∃ r■0,c■0)∍ ∍ SilencioSilencio.. SilencioSilencio.r⟹ ⟹ SilencioSilenciof().. )SilencioSilencio≤ ≤ cSilencioSilencio.. SilencioSilencio}{fnMicrosoft Sans Serif} Vto W Silencio f(0)=0, (exists rю0,ciéndose0) backepsilon xi ANTETENCIÓN ATENCIONADORimplies TENJO (xi)0,c>0) backepsilon ||xi ||, y

o()V,W)={}f:V→ → WSilenciof()0)=0,limSilencioSilencio.. SilencioSilencio→ → 0SilencioSilenciof().. )SilencioSilencio/SilencioSilencio.. SilencioSilencio=0}{fnMicrosoft Sans Serif} Vto W TENCIÓN f(0)=0,\lim _{ impertinentesxi TENVISTA EN VIRTUDto 0}..

Las inclusiones establecidas o()V,W)⊊ ⊊ O()V,W)⊊ ⊊ I()V,W)[displaystyle {mathfrak {o}(V,W)subsetneq {mathfrak {}(V,W)subsetneq {mathfrak {}(V,W)}}generalmente espera. Que las inclusiones son apropiadas se demuestra por las funciones de valor real de una variable real f:x↦ ↦ SilencioxSilencio1/2{displaystyle f:xmapsto Silencioso {1/2}, g:x↦ ↦ x{displaystyle g:xmapsto x}, y h:x↦ ↦ x2{displaystyle h:xmapsto x^{2}:

f,g,h▪ ▪ I()R,R),g,h▪ ▪ O()R,R),h▪ ▪ o()R,R){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMithbb {R}mathbb {R}), g,hin {mthfrak}(mathbb {R}mathbb {R}), hin {m} {m} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cH00}f}}}cH00}}} {f}}}}}}} {cH}}}}}}f}f}cH}cH} {cHcH00} {cH00} {cH00}cH00}cH}}}}}}}cH00} {cH} {cH00}} {cHcHcHcH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cH00}}cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}} pero f,g∉ ∉ o()R,R){displaystyle f,gnotin {fnMithfrak}(mhbb {R}mthbb {R})} y f∉ ∉ O()R,R){displaystyle fnotin {Mathfrak}(mathbb {R}mathbb {R}}.

Como aplicación de estas definiciones, un mapeo F:V→ → W{displaystyle F:Vto W} entre espacios vectoriales no deseados se define como diferenciables α α ▪ ▪ V{displaystyle alpha in V} si hay un T▪ ▪ Hom()V,W){displaystyle Tin mathrm {Hom} (V,W)} [i.e, a bounded linear map V→ → W{displaystyle Vto W}] tal que

[F()α α +.. )− − F()α α )]− − T().. )▪ ▪ o()V,W){displaystyle [F(alpha +xi)-F(alpha)]-T(xi)in {mathfrak {o}(V,W)}

en un barrio α α {displaystyle alpha }. Si tal mapa existe, es único; este mapa se llama el diferencial y es denotado por dFα α {displaystyle DF_{alpha }, coincidiendo con la tradicional notación para la noción clásica (aunque lógicamente imperfecta) de un diferencial como una "pierna infinitamente pequeña" de F. Esta definición representa una generalización de la definición habitual de diferenciabilidad para funciones de valor vectorial de (subconjuntos abiertos de) espacios euclidianos.

Matriz de variables aleatorias

Vamos ()Ω Ω ,F,P){displaystyle (Omega{mathcal {F},mathbb {P})} ser un espacio de probabilidad y dejar n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N}. Un array {}Xn,k:Ω Ω → → R▪ ▪ 1≤ ≤ k≤ ≤ kn}{displaystyle {X_{n,k}: Omega to mathbb {R} mid 1leq kleq k_{n}}} de variables aleatorias se llama infinitesimal si para cada 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>, tenemos:

max1≤ ≤ k≤ ≤ knP{}⋅ ⋅ ▪ ▪ Ω Ω ▪ ▪ SilencioXn,k()⋅ ⋅ )Silencio≥ ≥ ε ε }→ → 0comon→ → JUEGO JUEGO {displaystyle max _{1leq kleq k_{n}mathbb {P} {omega in in Omega mid vert X_{n,k}(omega)vert geq epsilon }to 0{text{ as }nto infty }

La noción de matriz infinitesimal es esencial en algunos teoremas centrales del límite y se ve fácilmente por la monotonicidad del operador de expectativa que cualquier matriz que satisfaga la condición de Lindeberg es infinitesimal, por lo que juega un papel importante en la condición de Lindeberg. Teorema del límite central (una generalización del teorema del límite central).