Ínfimo esencial y supremo esencial

En matemáticas, los conceptos de ínfimum esencial y supremum esencial están relacionados con las nociones de mínimo y supremo, pero adaptados para medir la teoría y el análisis funcional, donde a menudo se trata con declaraciones que no son válidas para todos los elementos de un conjunto, sino más bien casi en todas partes, es decir, excepto en un conjunto de medida cero.

Aunque la definición exacta no es inmediatamente directa, intuitivamente el supremum esencial de una función es el valor más pequeño que es mayor o igual a los valores de función en todas partes, ignorando lo que la función hace en un conjunto de puntos de medida cero. Por ejemplo, si uno toma la función ${\displaystyle f(x)}$ que es igual a cero en todas partes excepto en ${\displaystyle x=0}$ Donde ${\displaystyle f(0)=1,}$ entonces el supremum de la función es igual a uno. Sin embargo, su supremum esencial es cero si aplicamos la medida Lebesgue-Borel y se permite ignorar lo que la función hace en el único punto donde ${\displaystyle f}$ es peculiar. El infimum esencial se define de manera similar.

Definición

Como es a menudo el caso en preguntas de medida-teorética, la definición de supremum esencial e infimum no comienza haciendo qué función ${\displaystyle f}$ lo hace en puntos ${\displaystyle x}$ (es decir, el imagen de ${\displaystyle f}$), pero más bien pidiendo el conjunto de puntos ${\displaystyle x}$ Donde ${\displaystyle f}$ equivale a un valor específico ${\displaystyle y}$ (es decir, el preimage de ${\displaystyle y}$ menores ${\displaystyle f}$).

Vamos. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R}$ ser una función real valorada definida en un conjunto ${\displaystyle X.}$ El supremum de una función ${\displaystyle f}$ se caracteriza por la propiedad siguiente: ${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty}$ para Todos ${\displaystyle x\in X}$ y si para algunos ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty}$ tenemos ${\displaystyle f(x)\leq a}$ para Todos ${\displaystyle x\in X}$ entonces ${\displaystyle \sup f\leq a.}$ Más concretamente, un número real ${\displaystyle a}$ se llama superior para ${\displaystyle f}$ si ${\displaystyle f(x)\leq a}$ para todos ${\displaystyle x\in X;}$ es decir, si el conjunto

$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty)=\{x\in X:f(x) títuloa\}$$

$${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R}:f^{-1}(a,\infty)=\varnothing \}\,}$$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty.}$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}$$

${\displaystyle U_{f}$

${\displaystyle \sup f=+\infty }$

Ahora suponer además que ${\displaystyle (X,\Sigma\mu)}$ es un espacio de medida y, para la simplicidad, asumir que la función ${\displaystyle f}$ es mensurable. Similar al supremum, el supremum esencial de una función se caracteriza por la propiedad siguiente: ${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$ para ${\displaystyle \mu }$-casi todo ${\displaystyle x\in X}$ y si para algunos ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty}$ tenemos ${\displaystyle f(x)\leq a}$ para ${\displaystyle \mu }$-casi todo ${\displaystyle x\in X}$ entonces ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$ Más concretamente, un número ${\displaystyle a}$ se llama esencial superior de ${\displaystyle f}$ si el set measurable ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty)}$ es un conjunto de ${\displaystyle \mu }$- Medida cero, Eso es, si ${\displaystyle f(x)\leq a}$ para ${\displaystyle \mu }$-casi todo ${\displaystyle x}$ dentro ${\displaystyle X.}$ Vamos.

$${\displaystyle ¿Qué?$$

$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf ¿Qué?$$

${\displaystyle U_{f}{\operatorname {ess}\neq \varnothing}$

${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Exactamente de la misma manera se define el ínfimum esencial como supremo del límite inferior esencial< /span>s, es decir,

$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R}:\mu (\{x:f(x) wonb\})=0\}$$

${\displaystyle -\infty$

${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R}:f(x)\geq a{\text{ for almost all }x\in X\}}$

${\displaystyle -\infty$

Ejemplos

En la línea real considerar la medida Lebesgue y su correspondiente σ-algebra ${\displaystyle \Sigma.}$ Define una función ${\displaystyle f}$ por la fórmula

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5, recur{\text{if }x=1\\-4, }x=-1\2, â\texto {otros}\end{cases}}$$

El supremum de esta función (valor más grande) es 5, y el infimum (valor más reducido) es −4. Sin embargo, la función toma estos valores sólo en los conjuntos ${\displaystyle \{1\}}$ y ${\displaystyle \{-1\},}$ respectivamente, que son de la medida cero. En todas partes, la función toma el valor 2. Así, el supremum esencial y el infimum esencial de esta función son ambos 2.

Como otro ejemplo, considere la función

$${\displaystyle f(x)={cases}x^{3}, reducida{\text{if }x\in\mathbb {Q}\\\\\\\\\\\\\\\arctan x, recur{if }x\in\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\end{cases}}$$

${\displaystyle \mathbb {Q}$

${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle -\infty}$

${\displaystyle \arctan x.}$

${\displaystyle \pi /2}$

${\displaystyle -\pi /2.}$

Por otro lado, considere la función ${\displaystyle f(x)=x^{3}$ definido para todo real ${\displaystyle x.}$ Su supremum esencial es ${\displaystyle +\infty}$ y su infimum esencial ${\displaystyle -\infty.}$

Por último, considere la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x, recur{\text{if }x\neq 0\0, Pulse{if{if} }x=0.$$

${\displaystyle a\in \mathbb {R}$

${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R}:1/x confianzaa\})\geq {\tfrac {1} {\fn}}} {\fn}} {\fnK}}} {\fn}} {\fn}}$

${\displaystyle No hay nada.$

${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty.}$

Propiedades

Si ${\displaystyle \mu (X)}$ entonces

$${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$

${\displaystyle X}$

$${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup - ¿Qué?$$

Si los supremos esenciales de dos funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son ambos no negativos, entonces ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

Dado un espacio de medida ${\displaystyle (S,\Sigma\mu),}$ el espacio ${\displaystyle {\mathcal {} {\infty}(S,\mu)}$ que consiste en todas las funciones mensurables que están ligadas casi por todas partes es un espacio seminormizado cuyo seminorm

$${\displaystyle \ Subtítulos sobre la vida }=\inf\{C\in \mathbb [R] _{\geq 0}: C{\text{ para casi todos }x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup habitf paciente{\text{ if }0canta\mu (S),\0 limit{\text{ if }0=\mu (S),\end{cases}}}}$$

${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$