Inductancia

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Propiedad de conductores eléctricos

Inductancia es la tendencia de un conductor eléctrico a oponerse a un cambio en la corriente eléctrica que circula por él. El flujo de corriente eléctrica crea un campo magnético alrededor del conductor. La intensidad del campo depende de la magnitud de la corriente y sigue cualquier cambio en la corriente. Según la ley de inducción de Faraday, cualquier cambio en el campo magnético a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (EMF) (voltaje) en los conductores, un proceso conocido como inducción electromagnética. Este voltaje inducido creado por el cambio de corriente tiene el efecto de oponerse al cambio de corriente. Esto lo establece la ley de Lenz, y el voltaje se denomina FEM de retorno.

La inductancia se define como la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente que lo provoca. Es un factor de proporcionalidad que depende de la geometría de los conductores del circuito y la permeabilidad magnética de los materiales cercanos. Un componente electrónico diseñado para agregar inductancia a un circuito se llama inductor. Por lo general, consiste en una bobina o hélice de alambre.

El término inductancia fue acuñado por Oliver Heaviside en mayo de 1884. Es habitual utilizar el símbolo $L$ por inductancia, en honor del físico Heinrich Lenz. En el sistema SI, la unidad de inductancia es la henry (H), que es la cantidad de inductancia que causa un voltaje de un voltaje, cuando la corriente está cambiando a una velocidad de un ampere por segundo. Se llama por Joseph Henry, quien descubrió inductancia independientemente de Faraday.

Historia

La historia de la inducción electromagnética, una faceta del electromagnetismo, comenzó con las observaciones de los antiguos: carga eléctrica o electricidad estática (frotar seda sobre ámbar), corriente eléctrica (relámpagos) y atracción magnética (piedra imán). La comprensión de la unidad de estas fuerzas de la naturaleza y la teoría científica del electromagnetismo comenzaron a fines del siglo XVIII.

La inducción electromagnética fue descrita por primera vez por Michael Faraday en 1831. En el experimento de Faraday, envolvió dos cables alrededor de los lados opuestos de un anillo de hierro. Él esperaba que, cuando la corriente comenzara a fluir en un cable, una especie de onda viajaría a través del anillo y causaría algún efecto eléctrico en el lado opuesto. Usando un galvanómetro, observó un flujo de corriente transitorio en la segunda bobina de alambre cada vez que se conectaba o desconectaba una batería de la primera bobina. Esta corriente fue inducida por el cambio en el flujo magnético que ocurrió cuando la batería fue conectada y desconectada. Faraday encontró varias otras manifestaciones de la inducción electromagnética. Por ejemplo, vio corrientes transitorias cuando deslizó rápidamente una barra magnética dentro y fuera de una bobina de cables, y generó una corriente constante (CC) al girar un disco de cobre cerca de la barra magnética con un cable eléctrico deslizante (#34;Disco de Faraday").

Fuente de inductancia

Una corriente $i$ fluir a través de un conductor genera un campo magnético alrededor del conductor, que es descrito por la ley de circuito de Ampere. El flujo magnético total $Phi$ a través de un circuito es igual al producto del componente perpendicular de la densidad del flujo magnético y el área de la superficie que abarca el camino actual. Si la corriente varía, el flujo magnético $Phi$ a través de los cambios del circuito. Por la ley de inducción de Faraday, cualquier cambio de flujo a través de un circuito induce una fuerza electromotiva (EMF, ${mathcal {E}}$ ) en el circuito, proporcional a la tasa de cambio de flujo

{displaystyle {mathcal {E}}(t)=-{frac {text{d}}{{text{d}}t}},Phi (t)}

El signo negativo en la ecuación indica que el voltaje inducido está en una dirección que se opone al cambio de corriente que lo creó; esto se llama ley de Lenz. Por lo tanto, el potencial se llama un EMF posterior. Si la corriente está aumentando, el voltaje es positivo al final del conductor a través del cual la corriente entra y es negativa al final a través del cual sale, tendiendo a reducir la corriente. Si la corriente está disminuyendo, el voltaje es positivo al final por el cual la corriente sale del conductor, tendiendo a mantener la corriente. Autoinductancia, generalmente llamada inductancia, $L$ es la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente

{displaystyle v(t)=L,{frac {{text{d}}i}{{text{d}}t}}qquad qquad qquad (1);}

Así, la inductancia es una propiedad de un conductor o circuito, debido a su campo magnético, que tiende a oponerse a los cambios de corriente a través del circuito. La unidad de inductancia en el sistema SI es el henrio (H), llamado así por Joseph Henry, que es la cantidad de inductancia que genera un voltaje de un voltio cuando la corriente cambia a razón de un amperio por segundo.

Todos los conductores tienen cierta inductancia, que puede tener efectos deseables o perjudiciales en los dispositivos eléctricos prácticos. La inductancia de un circuito depende de la geometría del camino de la corriente y de la permeabilidad magnética de los materiales cercanos; Los materiales ferromagnéticos con una mayor permeabilidad, como el hierro cerca de un conductor, tienden a aumentar el campo magnético y la inductancia. Cualquier alteración de un circuito que aumente el flujo (campo magnético total) a través del circuito producido por una corriente determinada aumenta la inductancia, porque la inductancia también es igual a la relación entre el flujo magnético y la corriente.

{displaystyle L={Phi (i) over i}}

Un inductor es un componente eléctrico que consiste en un conductor con forma para aumentar el flujo magnético, para agregar inductancia a un circuito. Por lo general, consiste en un alambre enrollado en una bobina o hélice. Un cable en espiral tiene una inductancia más alta que un cable recto de la misma longitud, porque las líneas del campo magnético pasan por el circuito varias veces y tiene múltiples enlaces de flujo. La inductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas en la bobina, suponiendo un enlace de flujo completo.

La inductancia de una bobina se puede aumentar colocando un núcleo magnético de material ferromagnético en el orificio del centro. El campo magnético de la bobina magnetiza el material del núcleo, alineando sus dominios magnéticos, y el campo magnético del núcleo se suma al de la bobina, aumentando el flujo a través de la bobina. Esto se llama un inductor de núcleo ferromagnético. Un núcleo magnético puede aumentar la inductancia de una bobina miles de veces.

Si varios circuitos eléctricos se encuentran cerca uno del otro, el campo magnético de uno puede pasar por el otro; en este caso se dice que los circuitos inductivamente unidos. Debido a la ley de inducción de Faraday, un cambio de corriente en un circuito puede causar un cambio en el flujo magnético en otro circuito e inducir un voltaje en otro circuito. El concepto de inductancia se puede generalizar en este caso definiendo la inductancia mutua ${displaystyle M_{k,ell }}$ de circuito $k$ y circuito $ell$ como la relación de tensión inducida en circuito $ell$ a la tasa de cambio de corriente en circuito $k$ . Este es el principio detrás de un transformador. La propiedad que describe el efecto de un conductor en sí mismo se llama más precisamente autoinductancia, y las propiedades que describen los efectos de un conductor con la corriente cambiante en los conductores cercanos se llama inductancia mutua.

Autoinducción y energía magnética

Si la corriente a través de un conductor con inductancia está aumentando, un voltaje $v(t)$ es inducido a través del conductor con una polaridad que se opone a la corriente, además de cualquier caída de tensión causada por la resistencia del conductor. Los cargos que fluyen a través del circuito pierden energía potencial. La energía del circuito externo requerido para superar esta "potencial colina" se almacena en el creciente campo magnético alrededor del conductor. Por lo tanto, un ductor almacena energía en su campo magnético. En cualquier momento dado $t$ el poder $p(t)$ fluir en el campo magnético, que es igual a la tasa de cambio de la energía almacenada $U$ , es el producto de la corriente $i(t)$ y tensión $v(t)$ a través del conductor

{displaystyle p(t)={frac {{text{d}}U}{{text{d}}t}}=v(t),i(t)}

De (1) arriba

{displaystyle {begin{aligned}{frac {{text{d}}U}{{text{d}}t}}&=L(i),i,{frac {{text{d}}i}{{text{d}}t}}\[3pt]{text{d}}U&=L(i),i,{text{d}}i,end{aligned}}}

Cuando no hay corriente, no hay campo magnético y la energía almacenada es cero. Neglecting resistive losses, the energy $U$ (medido en joules, en SI) almacenado por una inductancia con una corriente $I$ a través de ella es igual a la cantidad de trabajo requerido para establecer la corriente a través de la inductancia de cero, y por lo tanto el campo magnético. Esto es dado por:

{displaystyle U=int _{0}^{I}L(i),i,{text{d}}i,}

Si la inductancia ${displaystyle L(i)}$ es constante sobre el rango actual, la energía almacenada es

{displaystyle {begin{aligned}U&=Lint _{0}^{I},i,{text{d}}i\[3pt]&={tfrac {1}{2}}L,I^{2}end{aligned}}}

Por lo tanto, la inductancia también es proporcional a la energía almacenada en el campo magnético para una corriente dada. Esta energía se almacena mientras la corriente permanezca constante. Si la corriente disminuye, el campo magnético disminuye, induciendo un voltaje en el conductor en sentido contrario, negativo en el extremo por donde entra la corriente y positivo en el extremo por donde sale. Esto devuelve la energía magnética almacenada al circuito externo.

Si los materiales ferromagnéticos están ubicados cerca del conductor, como en un inductor con un núcleo magnético, la ecuación de inductancia constante anterior solo es válida para regiones lineales del flujo magnético, en corrientes por debajo del nivel en el que se satura el material ferromagnético, donde la inductancia es aproximadamente constante. Si el campo magnético en el inductor se acerca al nivel en el que se satura el núcleo, la inductancia comienza a cambiar con la corriente y se debe usar la ecuación integral.

Reactancia inductiva

El voltaje () $v$ , azul) y corrientes () $i$ , rojo) ondas en un ductor ideal al que se ha aplicado una corriente alterna. La corriente baja el voltaje en 90°

Cuando una corriente alterna sinusoidal (AC) está pasando por una inductancia lineal, el back-EMF inducido también es sinusoidal. Si la corriente a través de la inductancia es ${displaystyle i(t)=I_{text{peak}}sin left(omega tright)}$ , desde (1) sobre el voltaje a través de él es

{displaystyle {begin{aligned}v(t)&=L{frac {{text{d}}i}{{text{d}}t}}=L,{frac {text{d}}{{text{d}}t}}left[I_{text{peak}}sin left(omega tright)right]\&=omega L,I_{text{peak}},cos left(omega tright)=omega L,I_{text{peak}},sin left(omega t+{pi over 2}right)end{aligned}}}

Donde ${displaystyle I_{text{peak}}}$ es la amplitud (valor pico) de la corriente sinusoidal en los amperios, $omega =2pi f$ es la frecuencia angular de la corriente alterna, con $f$ siendo su frecuencia en hertz, y $L$ es la inductancia.

Por lo tanto, la amplitud (valor máximo) del voltaje a través de la inductancia es

{displaystyle V_{p}=omega L,I_{p}=2pi f,L,I_{p}}

La reactancia inductiva es la oposición de un inductor a una corriente alterna. Se define de manera análoga a la resistencia eléctrica en una resistencia, como la relación entre la amplitud (valor máximo) de la tensión alterna y la corriente en el componente.

{displaystyle X_{L}={frac {V_{p}}{I_{p}}}=2pi f,L}

La reacción tiene unidades de ohmios. Se puede ver que la reacción inductiva de un ductor aumenta proporcionalmente con frecuencia $f$ , por lo que un ductor conduce menos corriente para un voltaje AC aplicado dado a medida que aumenta la frecuencia. Debido a que el voltaje inducido es mayor cuando la corriente está aumentando, el voltaje y las ondas actuales están fuera de fase; los picos de tensión ocurren antes en cada ciclo que los picos actuales. La diferencia de fase entre la corriente y el voltaje inducido es ${displaystyle phi ={tfrac {1}{2}}pi }$ radios o 90 grados, mostrando que en un ductor ideal la corriente baja el voltaje en 90°.

Cálculo de la inductancia

En el caso más general, la inductancia se puede calcular a partir de las ecuaciones de Maxwell. Muchos casos importantes se pueden resolver usando simplificaciones. Cuando se consideran corrientes de alta frecuencia, con efecto pelicular, las densidades de corriente superficial y el campo magnético pueden obtenerse resolviendo la ecuación de Laplace. Cuando los conductores son alambres delgados, la autoinductancia todavía depende del radio del alambre y de la distribución de la corriente en el alambre. Esta distribución de corriente es aproximadamente constante (en la superficie o en el volumen del alambre) para un radio de alambre mucho más pequeño que otras escalas de longitud.

Inductancia de un solo cable recto

En la práctica, los cables más largos tienen más inductancia y los cables más gruesos tienen menos, de manera análoga a su resistencia eléctrica (aunque las relaciones no son lineales y son de tipo diferente a las relaciones que tienen la longitud y el diámetro con resistencia).

Separar el cable de las otras partes del circuito introduce un error inevitable en los resultados de las fórmulas. Estas inductancias a menudo se denominan "inductancias parciales", en parte para fomentar la consideración de las otras contribuciones a la inductancia de circuito completo que se omiten.

Fórmulas prácticas

Para la derivación de las fórmulas siguientes, consulte Rosa (1908). La inductancia total de baja frecuencia (interior más exterior) de un cable recto es:

{displaystyle L_{text{DC}}=200{text{ }}{tfrac {text{nH}}{text{m}}},ell left[ln left({frac {,2,ell ,}{r}}right)-0.75right]}

dónde

${displaystyle L_{text{DC}}}$ es la "frecuencia baja" o la inductancia DC en nanohenry (nH o 10⁻⁹H),
$ell$ es la longitud del alambre en metros,
$r$ es el radio del alambre en metros (de ahí un número decimal muy pequeño),
la constante ${displaystyle 200{text{ }}{tfrac {text{nH}}{text{m}}}}$ es la permeabilidad del espacio libre, comúnmente llamado ${displaystyle mu _{text{o}}}$ , dividida por $2pi$ ; en ausencia de aislamiento magnético reactiva el valor 200 es exacto al utilizar la definición clásica μ₀ = 4π×10⁻⁷H/m, y correcto a 7 lugares decimales al utilizar el valor SI definido en 2019 μ₀ = 1.25663706212(19)×10⁻⁶H/m.

La constante 0.75 es sólo un valor de parámetro entre varios; diferentes rangos de frecuencia, diferentes formas, o longitudes de alambre extremadamente largas requieren una constante ligeramente diferente (ver abajo). Este resultado se basa en la suposición de que el radio $r$ es mucho menos que la longitud $ell$ , que es el caso común para alambres y varillas. Los discos o los cilindros gruesos tienen fórmulas ligeramente diferentes.

Para las frecuencias suficientemente altas los efectos de la piel hacen desaparecer las corrientes interiores, dejando sólo las corrientes en la superficie del conductor; la inductancia para la corriente alterna, ${displaystyle L_{text{AC}}}$ es entonces dada por una fórmula muy similar:

{displaystyle L_{text{AC}}=200{text{ }}{tfrac {text{nH}}{text{m}}},ell left[ln left({frac {,2,ell ,}{r}}right)-1right]}

ell

r

En un ejemplo de la experiencia cotidiana, solo uno de los conductores del cable de una lámpara 10 m de largo, hecho de cable de 18 AWG, solo tendría una inductancia de alrededor de 19 μH si se estira en línea recta.

Inductancia mutua de dos cables rectos paralelos

Hay dos casos a considerar:

Viajes actuales en la misma dirección en cada alambre, y
corriente viaja en direcciones opuestas en los alambres.

Las corrientes en los cables no necesitan ser iguales, aunque a menudo lo son, como en el caso de un circuito completo, donde un cable es la fuente y el otro el retorno.

Inductancia mutua de dos bucles de hilo

Este es el caso generalizado de la bobina cilíndrica de dos bucles paradigmática que transporta una corriente uniforme de baja frecuencia; los bucles son circuitos cerrados independientes que pueden tener diferentes longitudes, cualquier orientación en el espacio y transportar diferentes corrientes. Sin embargo, los términos de error, que no están incluidos en la integral, son pequeños si las geometrías de los bucles son en su mayoría suaves y convexas: no deben tener demasiadas torceduras, esquinas afiladas, bobinas, cruces, segmentos paralelos, cavidades cóncavas o otros topológicamente "cerrados" deformaciones Un predicado necesario para la reducción de la fórmula de integración múltiple tridimensional a una integral de doble curva es que las rutas de corriente sean circuitos filamentarios, es decir, cables delgados donde el radio del cable es insignificante en comparación con su longitud.

La inductancia mutua por un circuito filamentario $m$ en un circuito filamentario $n$ es dado por la doble integral Fórmula Neumann

{displaystyle L_{m,n}={frac {mu _{0}}{4pi }}oint _{C_{m}}oint _{C_{n}}{frac {mathrm {d} mathbf {x} _{m}cdot mathrm {d} mathbf {x} _{n}}{ left|mathbf {x} _{m}-mathbf {x} _{n}right| }}}

dónde

C_m

C_{n}

son las curvas seguidas por los alambres.

mu _{0}

es la permeabilidad del espacio libre (4

π

× 10⁻⁷ H/m)

{displaystyle mathrm {d} mathbf {x} _{m}}

es un pequeño aumento del alambre en el circuito

C

{displaystyle mathbf {x} _{m}}

es la posición de

{displaystyle mathrm {d} mathbf {x} _{m}}

en el espacio

{displaystyle mathrm {d} mathbf {x} _{n}}

es un pequeño aumento del alambre en el circuito

C

mathbf{x}_n

es la posición de

{displaystyle mathrm {d} mathbf {x} _{n}}

en el espacio.

Derivación

{displaystyle M_{ij}mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {Phi _{ij}}{I_{j}}}}

dónde

$I_{j}$ es la corriente a través de $j$ alambre, esta corriente crea el flujo magnético ${displaystyle Phi _{ij} ,}$ a través de $i$ superficie
$Phi_{ij}$ es el flujo magnético a través del ila superficie debido al circuito eléctrico descrito por $C_{j}$ :

{displaystyle Phi _{ij}=int _{S_{i}}mathbf {B} _{j}cdot mathrm {d} mathbf {a} =int _{S_{i}}(nabla times mathbf {A_{j}})cdot mathrm {d} mathbf {a} =oint _{C_{i}}mathbf {A} _{j}cdot mathrm {d} mathbf {s} _{i}=oint _{C_{i}}left({frac {mu _{0}I_{j}}{4pi }}oint _{C_{j}}{frac {mathrm {d} mathbf {s} _{j}}{left|mathbf {s} _{i}-mathbf {s} _{j}right|}}right)cdot mathrm {d} mathbf {s} _{i}}

dónde

$C_{i}$ es la superficie curva de cierre $S_{i}$ ; y $S_{i}$ es cualquier área arbitrariamente orientable con borde $C_{i}$
${displaystyle mathbf {B} _{j}}$ es el vector de campo magnético debido al $j$ - la corriente (de circuito) $C_{j}$ ).
${displaystyle mathbf {A} _{j}}$ es el potencial vectorial debido a $j$ - la corriente.

El teorema de Stokes se ha utilizado para el tercer paso de igualdad. Para el último paso de igualdad, usamos la expresión potencial retardada para $A_{j}$ e ignoramos el efecto del tiempo retardado (asumiendo que la geometría de los circuitos es lo suficientemente pequeña en comparación con la longitud de onda de la corriente que llevan). En realidad es un paso de aproximación, y es válido sólo para circuitos locales hechos de alambres delgados.

Autoinductancia de un bucle de alambre

Formally, la autoinductancia de un bucle de alambre sería dada por la ecuación anterior con ${displaystyle m=n.}$ Sin embargo, aquí ${displaystyle 1/left|mathbf {x} -mathbf {x} 'right| }$ se convierte en infinita, llevando a una integral logarítmicamente divergente. Esto necesita tomar el radio de alambre finito ${displaystyle a }$ y la distribución de la corriente en el alambre en cuenta. Queda la contribución de la integral sobre todos los puntos y un plazo de corrección,

{tfrac {1}{2}}a }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">L=μ μ 04π π [l l Y+∮ ∮ C∮ ∮ C.dx⋅ ⋅ dx.Silenciox− − x.Silencio]+ObendparaSilencios− − s.Silencio■12a{displaystyle L={frac {fnh00}{4p} }left[ell 'Y+oint ¿Qué? cdot mathrm {d} mathbf {x}{ left habitmathbf {x} - Mathbf {x} 'justo a la vida ' {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans {f}fnMicrosoft {f} - 'Mathbf {s} 'justo oro{tfrac {1} {2}a }{tfrac {1}{2}}a }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894bc2bf45ec4caf3bb8bc823bfaa684943b698f" style="vertical-align: -2.671ex; width:64.469ex; height:6.343ex;"/>

dónde

{displaystyle mathbf {s} }

{displaystyle mathbf {s} ' }

son distancias a lo largo de las curvas

{displaystyle C }

{displaystyle C' }

respectivamente

{displaystyle a }

es el radio del alambre

{displaystyle ell }

es la longitud del alambre

{displaystyle Y }

es una constante que depende de la distribución de la corriente en el alambre:

{displaystyle Y=0 }

cuando la corriente fluye sobre la superficie del alambre (efecto total de la piel),

{textstyle Y={tfrac {1}{2}} }

cuando la corriente está uniformemente sobre la sección transversal del alambre.

{displaystyle {mathcal {O}}_{mathsf {bend}} }

es un término de error cuyo tamaño depende de la curva del bucle:

{displaystyle {mathcal {O}}_{mathsf {bend}}={mathcal {O}}(mu _{0}a) }

cuando el bucle tiene esquinas afiladas, y

{textstyle {mathcal {O}}_{mathsf {bend}}={mathcal {O}}{mathord {left({mu _{0}a^{2}}/{ell }right)}} }

cuando es una curva suave.

Ambos son pequeños cuando el alambre es largo en comparación con su radio.

Inductancia de un solenoide

Un solenoide es una bobina larga y delgada; es decir, una bobina cuya longitud es mucho mayor que su diámetro. Bajo estas condiciones, y sin ningún material magnético utilizado, la densidad del flujo magnético $B$ dentro de la bobina es prácticamente constante y es dada por

{displaystyle B={frac {mu _{0},N,i}{ell }}}

Donde $mu _{0}$ es la constante magnética, $N$ el número de vueltas, $i$ la corriente y $l$ la longitud de la bobina. Ignorar los efectos finales, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad del flujo $B$ por el área de la sección transversal $A$ :

{displaystyle Phi ={frac {mu _{0},N,i,A}{ell }},}

Cuando esto se combina con la definición de inductancia ${displaystyle L={frac {N,Phi }{i}}}$ , sigue que la inductancia de un solenoide es dada por:

{displaystyle L={frac {mu _{0},N^{2},A}{ell }}.}

Por lo tanto, para las bobinas con núcleo de aire, la inductancia es una función de la geometría de la bobina y el número de vueltas, y es independiente de la corriente.

Inductancia de un cable coaxial

Que el conductor interno tenga radio $r_{i}$ y permeabilidad $mu _{i}$ , que la dielectrica entre el conductor interno y externo tenga permeabilidad $mu _{d}$ , y dejar que el conductor externo tenga radio interior $r_{{o1}}$ , radio exterior $r_{{o2}}$ , y permeabilidad $mu _{0}$ . Sin embargo, para una aplicación típica de línea coaxial, estamos interesados en pasar señales (no-DC) a frecuencias para las cuales el efecto resistivo de la piel no puede ser descuidado. En la mayoría de los casos, los términos internos y externos del conductor son insignificantes, en cuyo caso se puede aproximar

{displaystyle L'={frac {{text{d}}L}{{text{d}}ell }}approx {frac {mu _{d}}{2pi }}ln {frac {r_{o1}}{r_{i}}}}

Inductancia de bobinas multicapa

Los inductores de núcleo de aire más prácticos son bobinas cilíndricas multicapa con secciones transversales cuadradas para minimizar la distancia promedio entre vueltas (las secciones transversales circulares serían mejores pero más difíciles de formar).

Núcleos magnéticos

Muchos inductores incluyen un núcleo magnético en el centro o parcialmente alrededor del devanado. En un rango lo suficientemente grande, estos exhiben una permeabilidad no lineal con efectos como la saturación magnética. La saturación hace que la inductancia resultante sea una función de la corriente aplicada.

La inductancia secante o de señal grande se utiliza en los cálculos de flujo. Se define como:

{displaystyle L_{s}(i)mathrel {overset {underset {mathrm {def} }{}}{=}} {frac {N Phi }{i}}={frac {Lambda }{i}}}

La inductancia diferencial o de pequeña señal, por otro lado, se utiliza para calcular el voltaje. Se define como:

{displaystyle L_{d}(i)mathrel {overset {underset {mathrm {def} }{}}{=}} {frac {{text{d}}(NPhi)}{{text{d}}i}}={frac {{text{d}}Lambda }{{text{d}}i}}}

El voltaje del circuito para un inductor no lineal se obtiene a través de la inductancia diferencial, como se muestra en la Ley de Faraday y la regla de la cadena del cálculo.

{displaystyle v(t)={frac {{text{d}}Lambda }{{text{d}}t}}={frac {{text{d}}Lambda }{{text{d}}i}}{frac {{text{d}}i}{{text{d}}t}}=L_{d}(i){frac {{text{d}}i}{{text{d}}t}}}

Se pueden derivar definiciones similares para la inductancia mutua no lineal.

Inductancia mutua

La inductancia mutua se define como la relación entre la FEM inducida en un bucle o bobina por la tasa de cambio de corriente en otro bucle o bobina. La inductancia mutua recibe el símbolo $M$ .

Derivación de la inductancia mutua

Las ecuaciones de inductancia anteriores son una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell. Para el importante caso de los circuitos eléctricos que consisten en alambres delgados, la derivación es directa.

En un sistema de $K$ bucles de alambre, cada uno con una o varias vueltas de alambre, la conexión de flujo de bucle $m$ , $lambda_m$ , se da por

{displaystyle displaystyle lambda _{m}=N_{m}Phi _{m}=sum limits _{n=1}^{K}L_{m,n} i_{n},.}

Aquí. $N_{m}$ denota el número de giros en bucle $m$ ; ${displaystyle Phi _{m}}$ es el flujo magnético a través del bucle $m$ ; y ${displaystyle L_{m,n}}$ son algunas constantes descritas a continuación. Esta ecuación sigue de la ley de Ampere: campos magnéticos y flujos son funciones lineales de las corrientes. Por la ley de inducción de Faraday, tenemos

{displaystyle displaystyle v_{m}={frac {{text{d}}lambda _{m}}{{text{d}}t}}=N_{m}{frac {{text{d}}Phi _{m}}{{text{d}}t}}=sum limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{frac {{text{d}}i_{n}}{{text{d}}t}},}

Donde $v_{m}$ denota el voltaje inducido en circuito $m$ . Esto coincide con la definición de inductancia anterior si los coeficientes ${displaystyle L_{m,n}}$ se identifican con los coeficientes de inductancia. Porque las corrientes totales ${displaystyle N_{n} i_{n}}$ contribuir a ${displaystyle Phi _{m}}$ It also follows that ${displaystyle L_{m,n}}$ es proporcional al producto de giros ${displaystyle N_{m} N_{n}}$ .

Inductancia mutua y energía de campo magnético

Multiplicando la ecuación de v_m anterior con i_mdt y sumando sobre m da la energía transferida al sistema en el intervalo de tiempo dt,

{displaystyle sum limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{text{d}}t=sum limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{text{d}}i_{n}mathrel {overset {!}{=}} sum limits _{n=1}^{K}{frac {partial Wleft(iright)}{partial i_{n}}}{text{d}}i_{n}.}

Esto debe coincidir con el cambio de energía del campo magnético, W, causado por las corrientes. La condición de integrabilidad

{displaystyle displaystyle {frac {partial ^{2}W}{partial i_{m}partial i_{n}}}={frac {partial ^{2}W}{partial i_{n}partial i_{m}}}}

requiere L_m,n = L_n,m. La matriz de inductancia, L_m,n, por lo tanto es simétrica. La integral de la transferencia de energía es la energía del campo magnético en función de las corrientes,

{displaystyle displaystyle Wleft(iright)={frac {1}{2}}sum limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}

Esta ecuación también es una consecuencia directa de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Es útil asociar las corrientes eléctricas cambiantes con una acumulación o disminución de la energía del campo magnético. La transferencia de energía correspondiente requiere o genera un voltaje. Una analogía mecánica en el caso K = 1 con energía de campo magnético (1/2)Li² es un cuerpo con masa M , velocidad u y energía cinética (1/2)Mu². La tasa de cambio de la velocidad (corriente) multiplicada por la masa (inductancia) requiere o genera una fuerza (un voltaje eléctrico).

Diagrama de circuito de dos inductores mutuamente unidos. Las dos líneas verticales entre los vientos indican que el transformador tiene un núcleo ferromagnético. "n:m" muestra la relación entre el número de bobinados del ductor izquierdo a los bobinados del ductor derecho. Esta imagen también muestra la convención de puntos.

La inductancia mutua ocurre cuando el cambio de corriente en un inductor induce un voltaje en otro inductor cercano. Es importante como mecanismo por el cual funcionan los transformadores, pero también puede provocar un acoplamiento no deseado entre los conductores de un circuito.

La inductancia mutua, $M_{ij}$ , es también una medida del acoplamiento entre dos inductores. La inductancia mutua por circuito $i$ en circuito $j$ es dado por la doble integral Fórmula Neumann, ver técnicas de cálculo

La inductancia mutua también tiene la relación:

{displaystyle M_{21}=N_{1} N_{2} P_{21}!}

$M_{21}$ es la inductancia mutua, y el subscript especifica la relación del voltaje inducido en la bobina 2 debido a la corriente en la bobina 1.
$N_{1}$ es el número de vueltas en la bobina 1,
$N_{2}$ es el número de vueltas en la bobina 2,
${displaystyle P_{21}}$ es la permeance del espacio ocupado por el flujo.

Una vez la inductancia mutua, $M$ , se determina, se puede utilizar para predecir el comportamiento de un circuito:

{displaystyle v_{1}=L_{1} {frac {{text{d}}i_{1}}{{text{d}}t}}-M {frac {{text{d}}i_{2}}{{text{d}}t}}}

$v_{1}$ es el voltaje a través del ductor de interés;
$L_{1}$ es la inductancia del inductor de interés;
${displaystyle {text{d}}i_{1},/,{text{d}}t}$ es el derivado, con respecto al tiempo, de la corriente a través del inductor de interés, etiquetado 1;
${displaystyle {text{d}}i_{2},/,{text{d}}t}$ es el derivado, con respecto al tiempo, de la corriente a través del ductor, etiquetado 2, que se une al primer ductor; y
$M$ es la inductancia mutua.

El signo menos surge por el sentido de la corriente $i_{2}$ se ha definido en el diagrama. Con ambas corrientes definidas entrar en los puntos el signo de $M$ será positivo (la ecuación leería con un signo más en su lugar).

Coeficiente de acoplamiento

El coeficiente de acoplamiento es la relación entre la relación de voltaje real de circuito abierto y la relación que se obtendría si todo el flujo se acoplara de un circuito magnético al otro. El coeficiente de acoplamiento está relacionado con la inductancia mutua y las autoinductancias de la siguiente manera. De las dos ecuaciones simultáneas expresadas en la matriz de dos puertos, se encuentra que la relación de voltaje de circuito abierto es:

{displaystyle {V_{2} over V_{1}}_{text{open circuit}}={M over L_{1}}}

${displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

mientras que la relación si todo el flujo está acoplado es la relación de las vueltas, por lo tanto, la relación de la raíz cuadrada de las inductancias

{displaystyle {V_{2} over V_{1}}_{text{max coupling}}={sqrt {L_{2} over L_{1} }}}

así,

{displaystyle M=k{sqrt {L_{1} L_{2} }}}

$k$ es coeficiente de acoplamiento,
$L_{1}$ es la inductancia de la primera bobina, y
$L_{2}$ es la inductancia de la segunda bobina.

El coeficiente de acoplamiento es una manera conveniente de especificar la relación entre una determinada orientación de los inductores con inductancia arbitraria. La mayoría de los autores definen el rango como $<math alttext="{displaystyle 0leq k0\leq \leq k.1{displaystyle 0leq kiere1} <img alt="{displaystyle 0leq k$ , pero algunos lo definen como $<math alttext="{displaystyle -1<k- - 1.k.1{displaystyle -1 seleccionado] <img alt="{displaystyle -1<k$ . Permitir valores negativos $k$ captura las inversiones de fase de las conexiones de bobina y la dirección de los enrolladores.

Representación matricial

Los inductores mutuamente acoplados se pueden describir mediante cualquiera de las representaciones de matriz de parámetros de red de dos puertos. Los más directos son los parámetros z, que vienen dados por

{displaystyle [mathbf {z} ]=s{begin{bmatrix}L_{1} M\M L_{2}end{bmatrix}}}

Donde $s$ es la variable de frecuencia compleja, $L_{1}$ y $L_{2}$ son las inductancias de la bobina primaria y secundaria, respectivamente, y $M$ es la inductancia mutua entre las bobinas.

Circuitos equivalentes

T-circuito

T circuito equivalente de inductores mutuamente unidos

Los inductores mutuamente acoplados se pueden representar de manera equivalente mediante un circuito en T de inductores, como se muestra. Si el acoplamiento es fuerte y los inductores tienen valores desiguales, entonces el inductor en serie en el lado reductor puede tomar un valor negativo.

Esto se puede analizar como una red de dos puertos. Con la salida terminada con alguna impedancia arbitraria, $Z$ , la ganancia de tensión, $A_{v}$ , se da por,

{displaystyle A_{mathrm {v} }={frac {sMZ}{,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z,}}={frac {k}{,sleft(1-k^{2}right){frac {sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{sqrt {frac {L_{1}}{L_{2}}}},}}}

Donde $k$ es el acoplamiento constante y $s$ es la variable de frecuencia compleja, como arriba. Para inductores apretados donde $k=1$ esto reduce a

{displaystyle A_{mathrm {v} }={sqrt {L_{2} over L_{1}}}}

que es independiente de la impedancia de carga. Si los inductores están enrollados en el mismo núcleo y con la misma geometría, entonces esta expresión es igual a la relación de vueltas de los dos inductores porque la inductancia es proporcional al cuadrado de la relación de vueltas.

La impedancia de entrada de la red está dada por,

{displaystyle Z_{text{in}}={frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={frac {L_{1}}{L_{2}}},Z,left({frac {1}{1+{frac {Z}{,sL_{2},}}}}right)left(1+{frac {1-k^{2}}{frac {Z}{,sL_{2},}}}right)}

Para $k=1$ esto reduce a

{displaystyle Z_{text{in}}={frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={frac {L_{1}}{L_{2}}},Z,left({frac {1}{1+{frac {Z}{,sL_{2},}}}}right)}

Así, ganancia actual, $A_{i}$ es no independiente de la carga a menos que la nueva condición

{displaystyle |sL_{2}|gg |Z|}

se cumple, en cuyo caso,

{displaystyle Z_{text{in}}approx {L_{1} over L_{2}}Z}

{displaystyle A_{text{i}}approx {sqrt {L_{1} over L_{2}}}={1 over A_{text{v}}}}

Π-circuito

π circuito equivalente de inductores acoplados

Alternativamente, dos inductores acoplados pueden ser modelados usando un π circuito equivalente con transformadores ideales opcionales en cada puerto. Aunque el circuito es más complicado que un T-circuit, se puede generalizar a circuitos que consisten en más de dos inductores acoplados. Elementos de circuito equivalente ${displaystyle L_{text{s}}}$ , ${displaystyle L_{text{p}}}$ tienen significado físico, modelando respectivamente renuencias magnéticas de caminos de acoplamiento y renuencias magnéticas de caminos de fuga. Por ejemplo, las corrientes eléctricas que fluyen a través de estos elementos corresponden a acoplamientos y fugas de flujos magnéticos. Los transformadores ideales normalizan todas las auto-inductancias a 1 Henry para simplificar las fórmulas matemáticas.

Los valores de los elementos del circuito equivalente se pueden calcular a partir de los coeficientes de acoplamiento con

{displaystyle {begin{aligned}L_{S_{ij}}&={frac {det(mathbf {K})}{-mathbf {C} _{ij}}}\[3pt]L_{P_{i}}&={frac {det(mathbf {K})}{sum _{j=1}^{N}mathbf {C} _{ij}}}end{aligned}}}

donde la matriz de coeficientes de acoplamiento y sus cofactores se definen como

{displaystyle mathbf {K} ={begin{bmatrix}1&k_{12}&cdots &k_{1N}\k_{12}&1&cdots &k_{2N}\vdots &vdots &ddots &vdots \k_{1N}&k_{2N}&cdots &1end{bmatrix}}quad }

{displaystyle quad mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j},mathbf {M} _{ij}.}

Para dos inductores acoplados, estas fórmulas se simplifican a

{displaystyle L_{S_{12}}={frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}quad }

{displaystyle quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}!=!k_{12}+1,}

y para tres inductores unidos (por brevedad mostrada solamente para ${displaystyle L_{text{s12}}}$ y ${displaystyle L_{text{p1}}}$ )

{displaystyle L_{S_{12}}={frac {2,k_{12},k_{13},k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13},k_{23}-k_{12}}}quad }

{displaystyle quad L_{P_{1}}={frac {2,k_{12},k_{13},k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12},k_{23}+k_{13},k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}

Transformador resonante

Cuando un condensador se conecta a través de un enrollador de un transformador, haciendo que el enrollador de un circuito sintonizado (circuito resonante) se llama un transformador sintonizado. Cuando un condensador se conecta a través de cada viento, se llama un transformador doble sintonizado. Éstos transformadores resonantes puede almacenar energía eléctrica oscilante similar a un circuito resonante y así funcionar como un filtro de bandpass, permitiendo que las frecuencias cercanas a su frecuencia resonante pasen del enrollamiento primario al secundario, pero bloqueando otras frecuencias. La cantidad de inductancia mutua entre los dos vientos, junto con el factor Q del circuito, determina la forma de la curva de respuesta de frecuencia. La ventaja del doble transformador sintonizado es que puede tener un ancho de banda más ancho que un simple circuito sintonizado. El acoplamiento de circuitos dobles se describe como suelto, crítico, o over-coupled dependiendo del valor del coeficiente de acoplamiento $k$ . Cuando dos circuitos sintonizados están acoplados a través de la inductancia mutua, el ancho de banda es estrecho. A medida que aumenta la cantidad de inductancia mutua, el ancho de banda sigue creciendo. Cuando la inductancia mutua se aumenta más allá del acoplamiento crítico, el pico de la curva de respuesta de frecuencia se divide en dos picos, y a medida que el acoplamiento aumenta los dos picos se mueven más lejos. Esto se conoce como overcoupling.

Las bobinas autorresonantes fuertemente acopladas se pueden usar para la transferencia de energía inalámbrica entre dispositivos en distancias de rango medio (hasta dos metros). Se requiere un fuerte acoplamiento para un alto porcentaje de potencia transferida, lo que da como resultado una división máxima de la respuesta de frecuencia.

Transformadores ideales

Cuando $k=1$ , el ductor se refiere a estar estrechamente unido. Si además, las autoinductancias van al infinito, el ductor se convierte en un transformador ideal. En este caso, los voltajes, las corrientes y el número de giros pueden estar relacionados de la siguiente manera:

{displaystyle V_{text{s}}={frac {N_{text{s}}}{N_{text{p}}}}V_{text{p}}}

${displaystyle V_{text{s}}}$ es el voltaje en el ductor secundario,
${displaystyle V_{text{p}}}$ es el voltaje a través del ductor primario (el conectado a una fuente de alimentación),
${displaystyle N_{text{s}}}$ es el número de vueltas en el ductor secundario, y
${displaystyle N_{text{p}}}$ es el número de vueltas en el ductor primario.

Por el contrario, la corriente:

{displaystyle I_{text{s}}={frac {N_{text{p}}}{N_{text{s}}}}I_{text{p}}}

$I_{{text{s}}}$ es la corriente a través del ductor secundario,
$I_{text{p}}$ es la corriente a través del ductor primario (el conectado a una fuente de energía),
${displaystyle N_{text{s}}}$ es el número de vueltas en el ductor secundario, y
${displaystyle N_{text{p}}}$ es el número de vueltas en el ductor primario.

La potencia a través de un inductor es la misma que la potencia a través del otro. Estas ecuaciones ignoran cualquier forzamiento por fuentes de corriente o fuentes de voltaje.

Autoinducción de formas de alambre fino

En la tabla siguiente se enumeran fórmulas para la autoinductancia de varias formas simples hechas de conductores cilíndricos delgados (wires). En general sólo son exactos si el radio de alambre $a$ es mucho más pequeño que las dimensiones de la forma, y si no hay materiales ferromagnéticos cercanos (sin núcleo magnético).

Auto-inductancia de formas de alambre finas
Tipo	Inductancia	Comentario
Una capa única solenoide	La conocida fórmula de aproximación de Wheeler para la bobina modelo de hoja actual: ${displaystyle {mathcal {L}}={frac {N^{2}D^{2}}{18D+40ell }}}$ (en inglés) ${displaystyle {mathcal {L}}={frac {N^{2}D^{2}}{45D+100ell }}}$ (cgs) Esta fórmula da un error no más del 1% cuando $0.4,D~.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">l l ■0,4D.{displaystyle ell œ0.4,D~}0.4,D~.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42b9d7bf7ead9cf841f7a9540540f8b9359227e" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.579ex; height:2.176ex;"/>$	${mathcal {L}}$ inductancia en μH (10⁻⁶ henries) $N$ Número de giros $D$ diámetro en (pulgadas) (cm) $ell$ longitud en (pulgadas) (cm)
Coaxial cable (HF)	${displaystyle {mathcal {L}}={frac {mu _{0}}{2pi }}ell ln left({frac {b}{a}}right)}$	$b$ : Cond exterior. $a$ : El radio del conductor interno $ell$ : Longitud ${displaystyle mu _{0}}$ : ver la nota de pie de página.
Bucle circular	${displaystyle {mathcal {L}}=mu _{0} r left[ln left({frac {8r}{a}}right)-2+{tfrac {1}{4}}Y+{mathcal {O}}left({frac {a^{2}}{r^{2}}}right)right]}$	$r$ : Loop radius $a$ : radio de alambre ${displaystyle mu _{0},Y}$ : ver las notas de pie de página.
Rectángulo de alambre redondo	${displaystyle {begin{aligned}{mathcal {L}}={frac {mu _{0}}{pi }} {biggl [} &ell _{1}ln left({frac {2ell _{1}}{a}}right)+ell _{2} ln left({frac {2ell _{2}}{a}}right)+2{sqrt {ell _{1}^{2}+ell _{2}^{2} }}\&-ell _{1} sinh ^{-1}left({frac {ell _{1}}{ell _{2}}}right)-ell _{2}sinh ^{-1}left({frac {ell _{2}}{ell _{1}}}right)\&-left(2-{tfrac {1}{4}}Y right)left(ell _{1}+ell _{2}right) {biggr ]}end{aligned}}}$	${displaystyle ell _{1},ell _{2}}$ : Longitudes laterales ${displaystyle ell _{1}gg a,ell _{2}gg a }$ $a$ : radio de alambre ${displaystyle mu _{0},Y}$ : ver las notas de pie de página.
Pareja de paralelo alambres	${displaystyle {mathcal {L}}={frac { mu _{0}}{pi }} ell left[ln left({frac {s}{a}}right)+{tfrac {1}{4}}Yright]}$	$a$ : radio de alambre $s$ : Distancia de separación, ${displaystyle sgeq 2a}$ $ell$ : Longitud del par ${displaystyle mu _{0},Y}$ : ver las notas de pie de página.
Pareja de paralelo alambres (HF)	${displaystyle {begin{aligned}{mathcal {L}}&={frac {mu _{0}}{pi }} ell cosh ^{-1}left({frac {s}{2a}}right)\&={frac {mu _{0}}{pi }} ell ln left({frac {s}{2a}}+{sqrt {{frac {s^{2}}{4a^{2}}}-1}}right)\&approx {frac {mu _{0}}{pi }} ell ln left({frac {s}{a}}right)end{aligned}}}$	$a$ : radio de alambre $s$ : Distancia de separación, ${displaystyle sgeq 2a}$ $ell$ : Longitud (cada uno) de par $mu _{0}$ : ver la nota de pie de página.

$Y$ es un valor aproximadamente constante entre 0 y 1 que depende de la distribución de la corriente en el alambre: ${displaystyle Y=0}$ cuando la corriente fluye sólo en la superficie del alambre (efecto completo de la piel), $Y=1$ cuando la corriente se extiende uniformemente sobre la sección transversal del alambre (actualización directa). Para alambres redondos, Rosa (1908) da una fórmula equivalente a:

{displaystyle Yapprox {frac {1}{,1+a {sqrt {{tfrac {1}{8}}mu sigma omega ,}},}}}

dónde

$omega =2pi f$ es la frecuencia angular, en radians por segundo;
${displaystyle mu =mu _{0},mu _{text{r}}}$ es la permeabilidad magnética neta del alambre;
$sigma$ es la conductividad específica del alambre; y
$a$ es el radio de alambre.

${displaystyle {mathcal {O}}(x)}$ representa un pequeño término(s) que han sido retirados de la fórmula, para hacerlo más simple. Lea el término ${displaystyle {}+{mathcal {O}}(x)}$ como "más pequeñas correcciones que varían en el orden de $x$ " (ver gran notación O).

Referencias generales

Frederick W. Grover (1952). Cálculos de inductancia. Dover Publications, Nueva York.
Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3a edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
Wangsness, Roald K. (1986). Campos electromagnéticos (2a edición). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.
Hughes, Edward. (2002). Electrical & Electronic Technology (8th ed.). Prentice Hall. ISBN 0-582-40519-X.
Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
Heaviside O., Documentos eléctricos. Vol.1. – L.; N.Y.: Macmillan, 1892, p. 429-560.
Fritz Langford-Smith, editor (1953). Manual del Diseñador de Radiotron, 4a edición, Amalgamated Wireless Valve Company Pty., Ltd. Capítulo 10, "Calculation of Inductance" (pág. 429-448), incluye una gran cantidad de fórmulas y nomografías para bobinas, solenoides e inductancia mutua.
F. W. Sears and M. W. Zemansky 1964 Física universitaria: Tercera edición (Volumen completo), Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading MA, LCCC 63-15265 (no ISBN).

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