Índice de un subgrupo

En matemáticas, específicamente la teoría del grupo, índice de un subgrupo H en un grupo G es número de cosets izquierdos H dentro G, o equivalentemente, el número de cosets derecho de H dentro G. El índice está denotado SilencioG:HSilencio{displaystyle ¦ o [G:H]{displaystyle [G:H]} o ()G:H){displaystyle (G:H)}. Porque... G es la unión descomunal de los cosets izquierdos y porque cada conjunto izquierdo tiene el mismo tamaño que H, el índice está relacionado con las órdenes de los dos grupos por la fórmula

SilencioGSilencio=SilencioG:HSilencioSilencioHSilencio{displaystyle SilencioG vidas= sufrimientoG:H permanece inquieto

(interpretar las cantidades como números cardinales si algunas de ellas son infinitas). Así el índice SilencioG:HSilencio{displaystyle ¦ mide los "tamaños relativos" de G y H.

Por ejemplo, vamos G=Z{displaystyle G=mathbb {Z} ser el grupo de enteros bajo adición, y dejar H=2Z{displaystyle H=2Mathbb {Z} ser el subgrupo compuesto por los enteros. Entonces... 2Z{displaystyle 2mathbb {Z} tiene dos cosets en Z{displaystyle mathbb {Z}, es decir, el conjunto de incluso números enteros y el conjunto de números enteros, por lo que el índice SilencioZ:2ZSilencio{fnMicrosoft Sans Serif} {Z} 2. Más generalmente, SilencioZ:nZSilencio=n{fnMicrosoft Sans Serif} {Z} para cualquier entero positivo n.

Cuando G es finito, la fórmula puede ser escrita como SilencioG:HSilencio=SilencioGSilencio/SilencioHSilencio{displaystyle SilencioG:H muerte= sufrimientoG permanece/sobrevivir, e implica El teorema de Lagrange que SilencioHSilencio{displaystyle TENSIA divideciones SilencioGSilencio{displaystyle SilencioG.

Cuando G es infinito, SilencioG:HSilencio{displaystyle ¦ es un número no cero cardenal que puede ser finito o infinito. Por ejemplo, SilencioZ:2ZSilencio=2{fnMicrosoft Sans Serif} {Z} Silencio=2}, pero SilencioR:ZSilencio{fnMicrosoft Sans Serif} {Z} es infinito.

Si N es un subgrupo normal de G, entonces SilencioG:NSilencio{displaystyle ¦ es igual al orden del grupo de cocientes G/N{displaystyle G/N}, desde el conjunto subyacente G/N{displaystyle G/N} es el conjunto de cosets de N dentro G.

Propiedades

• Si H es un subgrupo G y K es un subgrupo H, entonces

SilencioG:KSilencio=SilencioG:HSilencioSilencioH:KSilencio.{displaystyle SilencioG:K sufrimiento=resistenciaG:H permanece, arrestH:K sometida.}

• Si H y K son subgrupos de G, entonces

SilencioG:H∩ ∩ KSilencio≤ ≤ SilencioG:HSilencioSilencioG:KSilencio,{displaystyle TENG:Hcap K sobrevivirleq TENG:H sobrevivir, SUPERVISIÓN,}

con igualdad si HK=G{displaystyle HK=G. (Si) SilencioG:H∩ ∩ KSilencio{displaystyle ¦ es finito, entonces la igualdad sostiene si y sólo si HK=G{displaystyle HK=G.)

• Equivalentemente, si H y K son subgrupos de G, entonces

SilencioH:H∩ ∩ KSilencio≤ ≤ SilencioG:KSilencio,{displaystyle ←H:Hcap K durableleq SilencioG:K

con igualdad si HK=G{displaystyle HK=G. (Si) SilencioH:H∩ ∩ KSilencio{displaystyle SilencioH:Hcap K es finito, entonces la igualdad sostiene si y sólo si HK=G{displaystyle HK=G.)

• Si G y H son grupos y φ φ :: G→ → H{displaystyle varphi colon Gto H} es un homomorfismo, luego el índice del núcleo φ φ {displaystyle varphi } dentro G es igual al orden de la imagen:

SilencioG:kerφ φ Silencio=Silencioimφ φ Silencio.{displaystyle TENG:operatorname {ker} ;varphi TENIDO= soportenombre {im} ;varphi ANTE.}

• Vamos G ser un grupo actuando en un conjunto X, y dejar x▪X. Entonces el cardenalismo de la órbita de x menores G es igual al índice del estabilizador x:

SilencioGxSilencio=SilencioG:GxSilencio.{displaystyle Silencio.

Esto se conoce como el teorema estabilizador de órbita.

• Como caso especial del teorema estabilizador de órbita, el número de conjugados gxg− − 1{displaystyle gxg^{-1} de un elemento x▪ ▪ G{displaystyle xin G} es igual al índice del centralizador de x dentro G.
• Del mismo modo, el número de conjugados gHg− − 1{displaystyle GHg^{-1} de un subgrupo H dentro G es igual al índice del normalizador de H dentro G.
• Si H es un subgrupo G, el índice del núcleo normal H satisface la siguiente desigualdad:

SilencioG:Core⁡ ⁡ ()H)Silencio≤ ≤ SilencioG:HSilencio!{displaystyle TENG:fnMicrosoft Sans Serif {Core} (H) Torturaleq SilencioG:H Tortura!}

¿Dónde? denota la función factorial; esto se examina más adelante.

• Como corolario, si el índice H dentro G es 2, o para un grupo finito el mejor p que divide el orden G, entonces H es normal, ya que el índice de su núcleo también debe ser p. y así H iguala su núcleo, es decir, es normal.
• Tenga en cuenta que un subgrupo de índice primario más bajo puede no existir, como en cualquier grupo simple de orden no alto, o más generalmente cualquier grupo perfecto.

Ejemplos

• El grupo alternativo An{displaystyle A_{n} tiene índice 2 en el grupo simétrico Sn,{displaystyle S_{n},} y así es normal.
• El grupo ortogonal especial SO⁡ ⁡ ()n){displaystyle operatorname {SO} (n)} tiene índice 2 en el grupo ortogonal O⁡ ⁡ ()n){displaystyle operatorname {O} (n)}, y por lo tanto es normal.
• El grupo abeliano libre Z⊕ ⊕ Z{displaystyle mathbb {Z} oplus mathbb {Z} tiene tres subgrupos del índice 2, a saber

{}()x,Sí.)▪ ▪ xIncluso},{}()x,Sí.)▪ ▪ Sí.Incluso},y{}()x,Sí.)▪ ▪ x+Sí.Incluso}{displaystyle {(x,y)mid x{text{ is even}}}quad {(x,y)mid y{text{ is even}}}quad {text{and}quad {(x,y)mid x+y{ is even}}}}}}}}.

• Más generalmente, si p entonces es primo Zn{displaystyle mathbb {Z} {} {}}} tiene ()pn− − 1)/()p− − 1){displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)} subgrupos de índice p, correspondiente al ()pn− − 1){displaystyle (p^{n}-1)} homomorfismos notriviales Zn→ → Z/pZ{displaystyle mathbb {Z}n}to mathbb {Z} /pMathbb {Z}.
• Del mismo modo, el grupo libre Fn{displaystyle F_{n} tiene ()pn− − 1)/()p− − 1){displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)} subgrupos de índice p.
• El grupo dihedral infinito tiene un subgrupo cíclico del índice 2, que es necesariamente normal.

Índice infinito

Si H tiene un número infinito de cosets en G, entonces el índice de H dentro G se dice que es infinito. En este caso, el índice SilencioG:HSilencio{displaystyle ¦ es en realidad un número cardenal. Por ejemplo, el índice de H dentro G puede ser contable o incontable, dependiendo de si H tiene un número contable de cosets en G. Note que el índice de H es en la mayoría del orden G, que se realiza para el subgrupo trivial, o de hecho cualquier subgrupo H de la infinita cardenalidad menos que la de G.

Índice finito

Un subgrupo H de índice finito en un grupo G (finito o infinito) siempre contiene un subgrupo normal N (de G), también de índice finito. De hecho, si H tiene un índice n, entonces el índice de N será un divisor de n. y múltiplo de n; de hecho, N puede tomarse como el núcleo del homomorfismo natural de G al grupo de permutación de las clases laterales izquierda (o derecha) de H. Expliquemos esto con más detalle, usando las clases laterales correctas:

Los elementos de G que dejan todas las clases laterales iguales forman un grupo.

Llamemos a este grupo A. Sea B el conjunto de elementos de G que realizan una permutación dada en las clases laterales de H. Entonces B es una clase lateral derecha de A.

Lo que hemos dicho hasta ahora se aplica ya sea que el índice de H sea finito o infinito. Ahora suponga que es el número finito n. Dado que el número de posibles permutaciones de clases laterales es finito, a saber, n!, entonces solo puede haber un número finito de conjuntos como B. (Si G es infinito, entonces todos esos conjuntos son infinitos). El conjunto de estos conjuntos forma un grupo isomorfo a un subconjunto del grupo de permutaciones, por lo que el número de estos conjuntos debe dividir n!. Además, debe ser un múltiplo de n porque cada clase de H contiene el mismo número de clases de A. Finalmente, si para alguna c ∈ G y a ∈ A tenemos ca = xc, entonces para cualquier d ∈ G dca = dxc, pero también dca = hdc para alguna h ∈ H (según la definición de A), entonces hd = dx. Dado que esto es cierto para cualquier d, x debe ser miembro de A, por lo que ca = xc implica que cac ⁻¹ ∈ A y por lo tanto A es un subgrupo normal.

El índice del subgrupo normal no solo tiene que ser un divisor de n!, sino que también debe satisfacer otros criterios. Dado que el subgrupo normal es un subgrupo de H, su índice en G debe ser n veces su índice dentro de H. Su índice en G también debe corresponder a un subgrupo del grupo simétrico S_n, el grupo de permutaciones de n objetos. Entonces, por ejemplo, si n es 5, el índice no puede ser 15 aunque esto divida a 5, porque no hay un subgrupo de orden 15 en S₅.

En el caso de n = 2, esto da el resultado bastante obvio de que un subgrupo H de índice 2 es un subgrupo normal, porque el subgrupo normal de H debe tener índice 2 en G y por lo tanto ser idéntico a H. (Podemos llegar a este hecho también notando que todos los elementos de G que no están en H constituyen la clase lateral derecha de H y también la clase lateral izquierda, por lo que los dos son idénticos). Más generalmente, un subgrupo de índice p donde p es el factor primo más pequeño del orden de G (si G es finito) es necesariamente normal, ya que el índice de N divide a p. y por lo tanto debe ser igual a p, sin tener otros factores primos. Por ejemplo, el subgrupo Z₇ del grupo no abeliano de orden 21 es normal (ver Lista de pequeños grupos no abelianos y grupo de Frobenius#Ejemplos).

Una prueba alternativa del resultado de que un subgrupo de índice primo más bajo p es normal, y otras propiedades de los subgrupos de índice primo se dan en (Lam 2004).

Ejemplos

El grupo O de simetría octaédrica quiral tiene 24 elementos. Tiene un subgrupo D₄ diédrico (de hecho tiene tres) de orden 8, y por tanto de índice 3 en O, que llamaremos H. Este grupo diédrico tiene un subgrupo D₂ de 4 miembros, que podemos llamar A. Multiplicando a la derecha cualquier elemento de una clase lateral derecha de H por un elemento de A da un miembro de la misma clase lateral de H (Hca = Hc). A es normal en O. Hay seis clases laterales de A, correspondientes a los seis elementos del grupo simétrico S₃. Todos los elementos de cualquier clase particular de A realizan la misma permutación de las clases laterales de H.

Por otro lado, el grupo T_h de simetría piritoédrica también tiene 24 miembros y un subgrupo de índice 3 (esta vez es un grupo de simetría prismática D_2h, ver grupos de puntos en tres dimensiones), pero en este caso todo el subgrupo es un subgrupo normal. Todos los miembros de una clase lateral particular llevan a cabo la misma permutación de estas clases laterales, pero en este caso representan solo el grupo alterno de 3 elementos en el grupo simétrico S₃ de 6 miembros.

Subgrupos normales del índice de potencia principal

Los subgrupos normales del índice de potencia principal son núcleos de asignaciones sobreyectivas a p-grupos y tienen una estructura interesante, como se describe en Teorema del subgrupo focal: subgrupos y elaborado en el teorema del subgrupo focal.

Hay tres subgrupos normales importantes del índice de potencia principal, cada uno de los cuales es el subgrupo normal más pequeño de una clase determinada:

• E^p()G) es la intersección de todo índice p subgrupos normales; G/E^p()G) es un grupo abeliano elemental, y es el mayor abelian elemental p- Grupo sobre el cual G surjects.
• A^p()G) es la intersección de todos los subgrupos normales K tales que G/K es un abelian p- grupo (es decir, K es un índice pk{displaystyle p^{k} subgrupo normal que contiene el grupo derivado [G,G]{displaystyle [G,G]}): G/A^p()G) es el abelian más grande p- Grupo (no necesariamente elemental) sobre el cual G surjects.
• O^p()G) es la intersección de todos los subgrupos normales K de G tales que G/K es un (posiblemente no-abeliano) p- grupo (es decir, K es un índice pk{displaystyle p^{k} subgrupo normal: G/O^p()G) es el más grande p- grupo (no necesariamente abeliano) sobre el cual G surjects. O^p()G) también se conoce como el p- Subgrupo residual.

Como estas son condiciones más débiles en los grupos K, se obtienen las contenciones

Ep()G)⊇ ⊇ Ap()G)⊇ ⊇ Op()G).{displaystyle mathbf {E} ^{p}(G)supseteq mathbf {A} ^{p}(G)supseteq mathbf {O} ^{p}(G). }

Estos grupos tienen conexiones importantes con los subgrupos de Sylow y el homomorfismo de transferencia, como se analiza allí.

Estructura geométrica

Una observación elemental es que uno no puede tener exactamente 2 subgrupos de índice 2, ya que el complemento de su diferencia simétrica produce un tercero. Este es un corolario simple de la discusión anterior (a saber, la proyectivización de la estructura de espacio vectorial del grupo abeliano elemental

G/Ep()G).. ()Z/p)k{displaystyle G/mathbf [E] ^{p}(G)cong (mathbf {Z}/p)} {k},

y además, G no actúa sobre esta geometría, ni refleja nada de la estructura no abeliana (en ambos casos porque el cociente es abeliano).

Sin embargo, es un resultado elemental, que puede verse concretamente como sigue: el conjunto de subgrupos normales de un índice dado p forman un espacio proyectivo, a saber, el espacio proyectivo

P()Hom⁡ ⁡ ()G,Z/p)).{displaystyle mathbf {P} (operatorname {Hom} (G,mathbf {Z} /p)). }

En detalle, el espacio de los homomorfismos de G al grupo de orden (cíclico) p. Hom⁡ ⁡ ()G,Z/p),{displaystyle operatorname {Hom} (G,mathbf {Z} /p),} es un espacio vectorial sobre el campo finito Fp=Z/p.{displaystyle mathbf {F} _{p}=mathbf {Z} /p.} Un mapa no-trivial como el núcleo tiene un subgrupo normal del índice p. y multiplicar el mapa por un elemento ()Z/p)× × {fnMicrosoft Sans Serif} (a non-zero number mod p) no cambia el núcleo; así uno obtiene un mapa de

P()Hom⁡ ⁡ ()G,Z/p)):=()Hom⁡ ⁡ ()G,Z/p))∖ ∖ {}0})/()Z/p)× × {displaystyle mathbf {P} (operatorname {Hom} (G,mathbf {Z} /p)):=(operatorname {Hom} (G,mathbf {Z} /p)setminus {0}/(mathbf {Z} /p)^{times }

a índice normal p subgrupos. Por el contrario, un subgrupo normal de índice p determina un mapa no-trivial para Z/p{displaystyle mathbf {Z} /p} hasta una elección de "que coset mapas a 1▪ ▪ Z/p,{displaystyle 1in mathbf {Z} /p,} que muestra que este mapa es una bijeción.

Como consecuencia, el número de subgrupos normales de índice p es

()pk+1− − 1)/()p− − 1)=1+p+⋯ ⋯ +pk{displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+cdots +p^{k}

para algunos k; k=− − 1{displaystyle k=-1} no corresponde a subgrupos normales de índice p. Además, dadas dos subgrupos normales distintos del índice p. uno obtiene una línea proyectiva consistente en p+1{displaystyle p+1} tales subgrupos.

Para p=2,{displaystyle p=2,} la diferencia simétrica de dos subgrupos distintos índice 2 (que son necesariamente normales) da el tercer punto en la línea proyectiva que contiene estos subgrupos, y un grupo debe contener 0,1,3,7,15,...... {displaystyle 0,1,3,7,15,ldots} subgrupos índice 2 – no puede contener exactamente 2 o 4 subgrupos índice 2, por ejemplo.