Índice de Pareto

En economía, el índice de Pareto, llamado así por el economista y sociólogo italiano Vilfredo Pareto, es una medida de la amplitud de la distribución de ingresos o riqueza. Es uno de los parámetros que especifican una distribución de Pareto y encarna el principio de Pareto. Cuando se aplica a los ingresos, el principio de Pareto a veces se establece en exposiciones populares diciendo que el 20% de la población tiene el 80% de los ingresos. De hecho, los datos de Pareto sobre los impuestos sobre la renta británicos en su Cours d'économie politique indican que alrededor del 20 % de la población tenía alrededor del 80 % de los ingresos.

Una de las caracterizaciones más simples de la distribución de Pareto, cuando se usa para modelar la distribución de ingresos, dice que la proporción de la población cuyos ingresos exceden cualquier número positivo x > x_m es

()xmx)α α {displaystyle left({frac {x_{m} {x}}}derecha)} {alpha}}

donde x_m es un número positivo, el mínimo del soporte de esta distribución de probabilidad (el subíndice m representa mínimo). El índice de Pareto es el parámetro α. Como una proporción debe estar entre 0 y 1, inclusive, el índice α debe ser positivo, pero para que el ingreso total de toda la población sea finito, α también debe ser mayor que 1. Cuanto mayor sea el índice de Pareto, menor la proporción de personas de ingresos muy altos.

Dado a p+q=1{displaystyle p+q=1} regla, con q}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■q{displaystyle p títuloq} q" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3988956bbb7d322230b1aedcf7c5e3121da6edf4" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.427ex; height:2.176ex;"/>, el índice de Pareto es dado por:

α α =logp/q⁡ ⁡ 1/q=log⁡ ⁡ ()1/q)/log⁡ ⁡ ()p/q)=log⁡ ⁡ ()q)/log⁡ ⁡ ()q/p).{displaystyle alpha =log _{p/q}1/q=log(1/q)/log(p/q)=log(q)/log(q/p).}

Si q=1/n{displaystyle q=1/n}, esto simplifica

α α =logn− − 1⁡ ⁡ ()n).{displaystyle alpha =log _{n-1}(n). }

Alternativamente, en términos de probabilidades, X:Y

α α =logX/Y⁡ ⁡ ()X+Y)/Y,{displaystyle alpha =log _{X/Y}(X+Y)/Y,}

entonces X:1 produce

α α =logX⁡ ⁡ ()X+1).{displaystyle alpha =log _{X}(X+1).}

Por ejemplo, la regla 80–20 (4:1) corresponde a α = log(5)/log(4) ≈ 1,16, 90–10 (9:1) corresponde a α = log(10)/log (9) ≈ 1,05, y 99–1 corresponde a α = log(100)/log(99) ≈ 1,002, mientras que la regla 70–30 corresponde a α = log(0,3)/log(0,3/0,7) ≈ 1,42 y 2:1 (67–33) corresponde a α = log(3)/log(2) ≈ 1,585.

Matemáticamente, la fórmula anterior implica que todos los ingresos son al menos el límite inferior x_m, que es positivo. Con este ingreso, la densidad de probabilidad salta repentinamente desde cero y luego comienza a disminuir, lo que claramente no es realista. Por lo tanto, los economistas a veces afirman que la ley de Pareto, tal como se establece aquí, se aplica solo a la cola superior de la distribución.

Referencias y enlaces externos

• Vilfredo Pareto, Cours d'économie politique professé à l'université de Lausanne, 3 volúmenes, 1896-7.
• "Estructura Universal de la Distribución de los Ingresos Personales", Wataru Souma
• "Condena de la riqueza en Pareto Macroeconomies", Z. Burda, D. Johnston, J. Jurkiewicz, M. Kamiński, M.A. Nowak, G. Papp, I. Zahed, Examen físico E, volumen 65, 2002.
• "Physics of Personal Income", Wataru Souma
• "Estimación del índice de papa bajo la censura correcta moderada", Jan Beirlant, Armelle Guillou, Scandinavian Actuarial Journal, volumen 2 (2001), páginas 111 a 125.
• "Distribución de riqueza en una antigua sociedad egipcia", A. Y. Abul-Magd, Revisión Física E, volumen 66, 2002.
• "Indice de Papas Inducido de la Escala de Empresas", Atushi Ishikawa, Physica A, volumen 363, páginas 367–376, 2006.
• "Power Law Tails in the Italian Personal Income Distribution", Fabio Clementi, Mauro Gallegati, Physica A, volumen 350, páginas 427-438, 2005.
• Efectos de pequeño mundo en distribución de riqueza, Wataru Souma, Yoshi Fujiwara, Hideaki Aoyama
• "Comportamiento de Limitación débil de un Estimador Pareto-Index sencillo", J.N. Bacro y M. Brito, Journal of Statistical Planning and Inference, volumen 45, número 1, 1995, páginas 7 a 19.
• Criterio de error de predicción para elegir el cuantil inferior en la estimación del índice de Pareto, por Debbie Dupuis y Maria-Pia Victoria-Feser
• "Generalizado Pareto Fit to the Society of Actuaries Large Claims Database", A. Cebrián, M. Denuit y Ph. Lambert, North American Actuarial Journal, volumen 8
• "Una nueva ilustración de la ley de Pareto", Josiah C. Stamp, Journal of the Royal Statistical Society, volumen 77, número 2, páginas 200–204, enero de 1914.
• "La Ley de Pareto y la Distribución de Ingresos", G. Findlay Shirras, The Economic Journal, volumen 45, número 180, páginas 663-681, diciembre de 1935.
• "Índice de página" en varios idiomas, del glosario de términos estadísticos del Instituto Internacional de Estadística.