Índice de miller

Índices de Miller forma un sistema de notación en cristalografía para planos de celo en celo (Bravais) lattices.

En particular, una familia de planos de celo de una determinada (directa) lattiza Bravais es determinada por tres enteros h, k, yl, el Índices de Miller. Están escritoshkl), y denotar a la familia de planos de celo (paralelo) ortogonal (de la vestimenta Bravais dada) ${displaystyle mathbf {g}=hmathbf {b} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$, donde ${displaystyle mathbf {b} _{i}$ son la base o los vectores de traducción primitiva de la celosía recíproca para la vestimenta Bravais dada. (Nota que el plano no es siempre ortogonal a la combinación lineal de vectores de la tracción directa o original ${displaystyle hmathbf {a} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$ porque los vectores de celos directos no necesitan ser mutuamente ortogonales.) Esto se basa en el hecho de que un vector recíproco de celo ${displaystyle mathbf {g}$ (el vector que indica un punto de celo recíproco del origen recíproco de la celosía) es el onda de una onda plana en la serie Fourier de una función espacial (por ejemplo, función de densidad electrónica) que la periodicidad sigue la retícula original de Bravais, por lo que los frentes de onda de la onda de plano son coincidentes con planos paralelos de la retícula original. Desde un vector de dispersión medido en la cristalografía de rayos X, ${displaystyle Delta mathbf {k} =mathbf {k} ¿Qué? }-Mathbf {k} ¿Qué?$ con ${displaystyle mathbf {k} _{mathrm {out}}$ como el saliente (scattered de una celosía de cristal) Vendedor de onda de rayos X y ${displaystyle mathbf {k} _{mathrm {in}}$ como la entrada (hacia la rejilla de cristal) Válvula de rayos X, es igual a un vector de celo recíproco ${displaystyle mathbf {g}$ como se indica en las ecuaciones Laue, el pico de rayos X dispersos medido en cada vector de dispersión medido ${displaystyle Delta mathbf {k}$ está marcado por Índices de Miller. Por convención, los enteros negativos están escritos con un bar, como en 3 por −3. Los enteros se escriben generalmente en términos más bajos, es decir, su mayor divisor común debe ser 1. Los índices de Miller también se utilizan para designar reflexiones en la cristalografía de rayos X. En este caso los enteros no son necesariamente en términos más bajos, y se puede considerar como correspondiente a los planos espaciados de tal manera que las reflexiones de los planos adyacentes tendrían una diferencia de fase de exactamente una longitud de onda (2π), independientemente de si hay átomos en todos estos planos o no.

También hay varias notaciones relacionadas:

• la notación ${textstyle {hkell}}$ denota el conjunto de todos los planos que son equivalentes a ${displaystyle (hkell)}$ por la simetría de la celosía.

En el contexto del cristal direcciones (no aviones), las notaciones correspondientes son:

• ${displaystyle [hkell],}$ con el cuadrado en lugar de los corchetes redondos, denota una dirección en la base de directa vectores de celo en lugar de la reciprocidad; y
• similarmente, la notación ${displaystyle langle hkell rangle }$ denota el conjunto de todas las direcciones que son equivalentes a ${displaystyle [hkell]$ por simetría.

Nota, para interferencias Laue-Bragg

• ${displaystyle hkell }$ carece de soporte al diseñar una reflexión

Los índices de Miller fueron introducidos en 1839 por el mineraólogo británico William Hallowes Miller, aunque un sistema casi idéntico (Parámetros de Weiss) ya había sido utilizado por el mineraólogo alemán Christian Samuel Weiss desde 1817. El método también fue conocido históricamente como el sistema Milleriano, y los índices como Millerian, aunque esto es ahora raro.

Los índices de Miller se definen con respecto a cualquier elección de celda unitaria y no sólo con respecto a vectores de base primitivos, como a veces se afirma.

Definición

Hay dos formas equivalentes de definir el significado de los índices de Miller: a través de un punto en la red recíproca, o como las intersecciones inversas a lo largo de los vectores de la red. Ambas definiciones se dan a continuación. En cualquier caso, es necesario elegir los tres vectores reticulares a₁, a₂ y . a₃ que definen la celda unitaria (tenga en cuenta que la celda unitaria convencional puede ser más grande que la celda primitiva de la red de Bravais, como lo ilustran los ejemplos siguientes). Dados estos, también se determinan los tres vectores reticulares recíprocos primitivos (denotados b₁, b₂ y < b>b₃).

Entonces, dados los tres índices de Miller ${displaystyle h,k,ell(hkell)}$ denota planos ortogonales al vector recíproco de celo:

${displaystyle mathbf {g}=hmathbf {b} ¿Qué? ¿Qué? _{3}$

Eso es, (hkl) simplemente indica una normalidad a los planos en la base de los primitivos vectores de celo recíproco. Debido a que las coordenadas son enteros, esta normalidad es siempre un vector de celo recíproco. El requisito de términos más bajos significa que es el más corto vector recíproco en la dirección dada.

Equivalentemente, (hkl) denota un avión que intercepta los tres puntos a₁/h, a₂/k, y a₃/l, o algunos de ellos. Es decir, los índices de Miller son proporcionales a los inversos de las interceptaciones del avión, en la base de los vectores de celo. Si uno de los índices es cero, significa que los aviones no intersectan ese eje (la interceptación es "en infinito").

Considerando solamente (hkl) aviones que intersectan uno o más puntos de celo (los aviones de celo), la distancia perpendicular d entre planos adyacentes de la celosía está relacionado con la retícula recíproca vector ortogonal a los planos por la fórmula: ${displaystyle d=2pi / pacienciamathbf {g} - ¿Por qué?$.

La notación relacionada [hkℓ] denota la dirección:

${displaystyle hmathbf {a} ¿Qué? ¿Qué? _{3}$

Es decir, utiliza la base de red directa en lugar de la red recíproca. Tenga en cuenta que [hkℓ] no generalmente es normal a los planos (hkℓ), excepto en una red cúbica como se describe a continuación.

Caso de estructuras cúbicas

Para el caso especial de cristales cúbicos simples, los vectores de la red son ortogonales y de igual longitud (generalmente denotados como a), al igual que los de la red recíproca. Por lo tanto, en este caso común, los índices de Miller (hkℓ) y [hkℓ] simplemente denotan normales/direcciones en coordenadas cartesianas.

Para cristales cúbicos con constante de red a, el espaciado d entre planos de red adyacentes (hkℓ) es (desde arriba)

${displaystyle ♪♪{hkell }={frac {a}{sqrt {h^{2}+k^{2}+ell ^{2}}}$.

Debido a la simetría de los cristales cúbicos, es posible cambiar el lugar y el signo de los números enteros y tener direcciones y planos equivalentes:

• Índices corchetes de ángulo tales como familia de direcciones que son equivalentes debido a operaciones de simetría, como [100], [010], [001] o el negativo de cualquiera de esas direcciones.
• Índices corchetes o sujetadores como {100} denota una familia de normales de avión que son equivalentes debido a operaciones de simetría, mucho la forma en que los corchetes de ángulo denotan una familia de direcciones.

Para redes cúbicas centradas en las caras y cúbicas centradas en el cuerpo, los vectores de red primitivos no son ortogonales. Sin embargo, en estos casos los índices de Miller se definen convencionalmente en relación con los vectores reticulares de la supercélula cúbica y, por lo tanto, nuevamente son simplemente las direcciones cartesianas.

Caso de estructuras hexagonales y romboédricas

Con sistemas reticulares hexagonales y romboédricos, es posible utilizar el sistema Bravais-Miller, que utiliza cuatro índices (h k < i>i ℓ) que obedecen a la restricción

h + k + i = 0.

Aquí h, k y ℓ son idénticos a los índices de Miller correspondientes, y i es un índice redundante índice.

Este esquema de cuatro índices para etiquetar planos en una red hexagonal hace evidentes las simetrías de permutación. Por ejemplo, la similitud entre (110) ≡ (1120) y (12< /span>0) ≡ (1210) es más obvio cuando se muestra el índice redundante.

En la figura de la derecha, el plano (001) tiene una simetría triple: permanece sin cambios con una rotación de 1/3 (2π/3 rad, 120°). Las direcciones [100], [010] y [110] son realmente similares. Si S es la intersección del plano con el [11 0] eje, entonces

i 1/S.

También existen esquemas ad hoc (por ejemplo, en la literatura sobre microscopía electrónica de transmisión) para indexar vectores reticulares hexagonales (en lugar de vectores o planos reticulares recíprocos) con cuatro índices. Sin embargo, no funcionan agregando de manera similar un índice redundante al conjunto normal de tres índices.

Por ejemplo, el vector recíproco de la celosíahkl) como se sugiere arriba se puede escribir en términos de vectores recíprocos de celo como ${displaystyle hmathbf {b} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$. Para los cristales hexagonales esto puede expresarse en términos de tractores directos de base de celo a₁, a₂ y a₃ como

${displaystyle hmathbf {b} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? _{3}$

De ahí los índices de zona de la dirección perpendicular al plano (hkl) son, en forma triplicada normalizada, simplemente ${displaystyle [2h+k,h+2k,ell (3/2)(a/c)^{2}}$. Cuando 4 índices se utilizan para la zona normal a avión (hkl), sin embargo, la literatura a menudo utiliza ${displaystyle [h,k,-h-k,ell (3/2)(a/c)^{2}]$ en lugar de eso. Así como se puede ver, los índices de zona de cuatro índices en los soportes cuadrados o de ángulo a veces mezclan un único índice de celo directo a la derecha con índices de reciprocidad (normalmente en los corchetes redondos o curly) a la izquierda.

Y, note que para distancias interplanales hexagonales, toman el formulario

${displaystyle ♪♪{hkell {fnMicroc {fnK}m} {fnK}c}left(h^{2}+k^{2}+hkright)+{tfrac {2}{c^{2}}c}ell ^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Aviones y direcciones cristalográficas

Las direcciones cristalográficas son líneas que unen los nodos (atomos, iones o moléculas) de un cristal. Del mismo modo, los planos cristalinos son aviones vinculando nodos. Algunas direcciones y planos tienen una mayor densidad de nodos; estos aviones densos tienen una influencia en el comportamiento del cristal:

• propiedades ópticas: en materia condensada, "jugos" ligeros de un átomo al otro con la dispersión de Rayleigh; la velocidad de la luz así varía según las direcciones, si los átomos están cerca o lejos; esto da la birefringencia
• adsorción y reactividad: la adsorción y las reacciones químicas pueden ocurrir en átomos o moléculas en superficies de cristal, estos fenómenos son sensibles a la densidad de nodos;
• tensión de la superficie: la condensación de un material significa que los átomos, iones o moléculas son más estables si están rodeados de otras especies similares; la tensión superficial de una interfaz así varía según la densidad en la superficie
  • Poros y cristales tienden a tener límites de grano rectos tras planos densos
  • cleavage
• dislocaciones (deformación plástica)
  • el núcleo de dislocación tiende a extenderse en planos densos (la perturbación elástica es "diluida"); esto reduce la fricción (Peierls-Nabarro fuerza), el deslizamiento ocurre con más frecuencia en planos densos;
  • la perturbación llevada por la dislocación (vector de los cirujanos) está a lo largo de una dirección densa: el cambio de un nodo en una dirección densa es una distorsión menor;
  • la línea de dislocación tiende a seguir una dirección densa, la línea de dislocación es a menudo una línea recta, un bucle de dislocación es a menudo un polígono.

Por todas estas razones, es importante determinar los planos y así tener un sistema de notación.

Entero versus irracional Índices de Miller: Aviones de celosía y quasicrystals

Por lo general, los índices de Miller son siempre números enteros por definición y esta restricción es físicamente significativa. Para entender esto, supongamos que permitimos un plano (abc) donde los "índices" a, b y c (definidos como arriba) no son necesariamente números enteros.

Si a, b y c tienen razones racionales, entonces la misma familia de planos se puede escribir en términos de índices enteros (< i>hkℓ) escalando a, b y c adecuadamente: divida por el mayor de los tres números y luego multiplique por el mínimo común denominador. Por lo tanto, los índices de Miller enteros incluyen implícitamente índices con todas las razones racionales. La razón por la que los planos donde los componentes (en la base reticular recíproca) tienen relaciones racionales son de especial interés es que estos son los planos reticulares: son los únicos planos cuyas intersecciones con el cristal son periódicas 2d.

Para un plano (abc) donde a, b y c tienen razones irracionales, por otro lado, la intersección del plano con el cristal no es periódico. Forma un patrón aperiódico conocido como cuasicristal. Esta construcción corresponde exactamente al método estándar "cortar y proyectar" Método para definir un cuasicristal, utilizando un plano con índices de Miller de razón irracional. (Aunque muchos cuasicristales, como el mosaico de Penrose, están formados por "cortes" de redes periódicas en más de tres dimensiones, lo que implica la intersección de más de uno de esos hiperplanos).