Independencia lineal

vectores linealmente independientes en ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$

vectores dependientes linealmente en un plano en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}$

En la teoría de los espacios vectoriales, se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si no existe ninguna combinación lineal no trivial de los vectores que sea igual al vector cero. Si tal combinación lineal existe, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes< /span>. Estos conceptos son fundamentales para la definición de dimensión.

Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o dimensión infinita dependiendo del número máximo de vectores linealmente independientes. La definición de dependencia lineal y la capacidad de determinar si un subconjunto de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente son fundamentales para determinar la dimensión de un espacio vectorial.

Definición

Una secuencia de vectores ${displaystyle mathbf {v} _{1},mathbf {v} _{2},dotsmathbf {v} ¿Qué?$ desde un espacio vectorial V se dice que dependiente lineal, si existen escalares ${displaystyle a_{1},a_{2},dotsa_{k}$ no todo cero, tal que

${displaystyle a_{1}mathbf {v} ¿Qué? {v} _{2}+cdots ¿Qué? {0}$

Donde ${displaystyle mathbf {0}$ denota el vector cero.

Esto implica que al menos uno de los cuero cabelludos no es cero, dicen ${displaystyle a_{1}neq 0}$, y la ecuación anterior es capaz de ser escrito como

${displaystyle mathbf {v} ¿Qué? Mathbf {v} _{2}+cdots +{frac Mathbf ¿Qué?$

si ${displaystyle k confiar1,}$ y ${displaystyle mathbf {v} - Sí.$ si ${displaystyle k=1.}$

Por lo tanto, un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de ellos es cero o una combinación lineal de los demás.

Una secuencia de vectores ${displaystyle mathbf {v} _{1},mathbf {v} _{2},dotsmathbf {v} ¿Qué?$ se dice que linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es decir, si la ecuación

${displaystyle a_{1}mathbf {v} ¿Qué? {v} _{2}+cdots - No. ¿Qué?$

sólo puede estar satisfecho ${displaystyle a_{i}=0}$ para ${displaystyle i=1,dotsn}$ Esto implica que ningún vector en la secuencia puede ser representado como una combinación lineal de los vectores restantes en la secuencia. En otras palabras, una secuencia de vectores es linealmente independiente si la única representación de ${displaystyle mathbf {0}$ como una combinación lineal de sus vectores es la representación trivial en la que todos los escalares ${displaystyle A_{i}$ son cero. Aún más concisamente, una secuencia de vectores es linealmente independiente si y sólo si ${displaystyle mathbf {0}$ puede ser representado como una combinación lineal de sus vectores de una manera única.

Si una secuencia de vectores contiene el mismo vector dos veces, necesariamente es dependiente. La dependencia lineal de una sucesión de vectores no depende del orden de los términos en la sucesión. Esto permite definir la independencia lineal para un conjunto finito de vectores: Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si la secuencia obtenida al ordenarlos es linealmente independiente. En otras palabras, se tiene el siguiente resultado que suele ser útil.

Una secuencia de vectores es linealmente independiente si y solo si no contiene el mismo vector dos veces y el conjunto de sus vectores es linealmente independiente.

Caso infinito

Un conjunto infinito de vectores es linealmente independiente si todo subconjunto finito no vacío es linealmente independiente. Por el contrario, un conjunto infinito de vectores es linealmente dependiente si contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente, o de manera equivalente, si algún vector del conjunto es una combinación lineal de otros vectores del conjunto.

Una familia indexada de vectores es linealmente independiente si no contiene dos veces el mismo vector y si el conjunto de sus vectores es linealmente independiente. En caso contrario, se dice que la familia es linealmente dependiente.

Un conjunto de vectores que es linealmente independiente y abarca un espacio vectorial, forma una base para ese espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio vectorial de todos los polinomios en x sobre los reales tiene el subconjunto (infinito) {1, x, x²,...} como base.

Ejemplos geométricos

• ${displaystyle {vec}}$ y ${displaystyle {vec}}$ son independientes y definen el plano P.
• ${displaystyle {vec}}$, ${displaystyle {vec}}$ y ${displaystyle {vec}}$ son dependientes porque los tres están contenidos en el mismo plano.
• ${displaystyle {vec}}$ y ${displaystyle {vec}}$ son dependientes porque son paralelos entre sí.
• ${displaystyle {vec}}$ ${displaystyle {vec}}$ y ${displaystyle {vec}}$ son independientes porque ${displaystyle {vec}}$ y ${displaystyle {vec}}$ son independientes entre sí y ${displaystyle {vec}}$ no es una combinación lineal de ellos o, equivalentemente, porque no pertenecen a un plano común. Los tres vectores definen un espacio tridimensional.
• Los vectores ${displaystyle {vec}}$ (núll vector, cuyos componentes son iguales a cero) y ${displaystyle {vec}}$ son dependientes ${displaystyle {vec}=0{vec} {k}}$

Ubicación geográfica

Una persona que describa la ubicación de cierto lugar podría decir: "Está a 3 millas al norte y 4 millas al este de aquí." Esta es información suficiente para describir la ubicación, porque el sistema de coordenadas geográficas puede considerarse como un espacio vectorial bidimensional (ignorando la altitud y la curvatura de la superficie terrestre). La persona podría agregar, "El lugar está a 5 millas al noreste de aquí." Esta última afirmación es verdadera, pero no es necesario encontrar la ubicación.

En este ejemplo, las "3 millas al norte" vector y el "4 millas al este" vector son linealmente independientes. Es decir, el vector norte no puede describirse en términos del vector este y viceversa. La tercera "5 millas al noreste" vector es una combinación lineal de los otros dos vectores, y hace que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente, es decir, uno de los tres vectores es innecesario para definir una ubicación específica en un plano.

También tenga en cuenta que si no se ignora la altitud, es necesario agregar un tercer vector al conjunto linealmente independiente. En general, se requieren n vectores linealmente independientes para describir todas las ubicaciones en n-espacio dimensional.

Evaluación de la independencia lineal

El vector cero

Si uno o más vectores de una secuencia dada de vectores ${displaystyle mathbf {v} _{1},dotsmathbf {v} ¿Qué?$ es el vector cero ${displaystyle mathbf {0}$ entonces el vector ${displaystyle mathbf {v} _{1},dotsmathbf {v} ¿Qué?$ son necesariamente dependientes linealmente (y en consecuencia, no son linealmente independientes). Para ver por qué, supongamos que ${displaystyle i}$ es un índice (es decir, un elemento de ${displaystyle {1,ldotsk}$. ${displaystyle mathbf {v} ¿Qué? {0}$ Entonces, ${displaystyle A_{i}:=1}$ (alternativamente, dejando ${displaystyle A_{i}$ ser igual a cualquier otro cuero cabelludo no cero también funcionará) y luego dejar que todos los demás escalares sean ${displaystyle 0}$ (Explicablemente, esto significa que para cualquier índice ${displaystyle j}$ de otros ${displaystyle i}$ (es decir, para ${displaystyle jneq i}$), vamos ${displaystyle A_{j}:=0}$ por consiguiente ${fnMicrosoft}$). Simplificación ${displaystyle a_{1}mathbf {v} ¿Qué? ¿Qué?$ da:

${displaystyle a_{1}mathbf {v} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? {0} +cdots +mathbf {0} +a_{i}mathbf {v} ¿Qué? {0} +cdots +mathbf {0} =a_{i}mathbf {v} ¿Qué? {0} =mathbf {0}$

Porque no todos los cuero cabelludos son cero (en particular, ${displaystyle a_{i}neq 0}$), esto demuestra que los vectores ${displaystyle mathbf {v} _{1},dotsmathbf {v} ¿Qué?$ dependen linealmente.

Como consecuencia, el vector cero no puede pertenecer a ninguna colección de vectores que sea linealmente independiente.

Ahora considere el caso especial donde la secuencia ${displaystyle mathbf {v} _{1},dotsmathbf {v} ¿Qué?$ tiene longitud ${displaystyle 1}$ (i.e. the case where ${displaystyle k=1}$). Una colección de vectores que consiste en exactamente un vector es dependiente linealmente si y sólo si ese vector es cero. Explícitamente, si ${displaystyle mathbf {v} ¿Qué?$ es cualquier vector entonces la secuencia ${displaystyle mathbf {v} ¿Qué?$ (que es una secuencia de longitud ${displaystyle 1}$) es dependiente linealmente si y sólo si ${displaystyle mathbf {v} - Sí.$; alternativamente, la colección ${displaystyle mathbf {v} ¿Qué?$ es linealmente independiente si y sólo si ${displaystyle mathbf {v} _{1}neq mathbf {0}$

Dependencia lineal e independencia de dos vectores

Este ejemplo considera el caso especial donde hay exactamente dos vectores ${displaystyle mathbf {u}$ y ${displaystyle mathbf {v}$ de un espacio vectorial real o complejo. Los vectores ${displaystyle mathbf {u}$ y ${displaystyle mathbf {v}$ son dependientes linealmente si y sólo si al menos uno de los siguientes es verdad:

1. ${displaystyle mathbf {u}$ es un escalar múltiple de ${displaystyle mathbf {v}$ (Explicablemente, esto significa que existe un escalar ${displaystyle c}$ tales que ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v}$) o
2. ${displaystyle mathbf {v}$ es un escalar múltiple de ${displaystyle mathbf {u}$ (Explicablemente, esto significa que existe un escalar ${displaystyle c}$ tales que ${displaystyle mathbf {v} =cmathbf {u}$).

Si ${displaystyle mathbf {u} = 'mathbf {0}$ entonces por establecer ${displaystyle c:=0}$ tenemos ${displaystyle cmathbf} - Sí.$ (esta igualdad no importa el valor de ${displaystyle mathbf {v}$ es), lo que demuestra que (1) es cierto en este caso particular. Del mismo modo, si ${displaystyle mathbf {v} = 'mathbf {0}$ entonces (2) es cierto porque ${displaystyle mathbf {v} =0mathbf {u}$ Si ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {v}$ (por ejemplo, si ambos son iguales al vector cero ${displaystyle mathbf {0}$entonces ambos (1) and (2) are true (by using ${displaystyle c:=1}$ para ambos).

Si ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v}$ entonces ${displaystyle mathbf {u} neq mathbf {0}$ sólo es posible si ${displaystyle cneq 0}$ y ${displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}$; en este caso, es posible multiplicar ambos lados por ${textstyle {frac {1}{c}}}$ para concluir ${textstyle mathbf {v} ={frac Mathbf.$ Esto demuestra que si ${displaystyle mathbf {u} neq mathbf {0}$ y ${displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}$ entonces (1) es verdad si y sólo si (2) es verdad; es decir, en este caso particular ambos (1) y (2) son verdaderos (y los vectores son dependientes linealmente) o de lo contrario ambos (1) y (2) son falsos (y los vectores son linealmente dentrodependiente). Si ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v}$ pero en cambio ${displaystyle mathbf {u} = 'mathbf {0}$ entonces al menos uno de ${displaystyle c}$ y ${displaystyle mathbf {v}$ debe ser cero. Además, si es exactamente uno de los ${displaystyle mathbf {u}$ y ${displaystyle mathbf {v}$ es ${displaystyle mathbf {0}$ (mientras el otro no es cero) entonces exactamente uno de (1) y (2) es cierto (con el otro siendo falso).

Los vectores ${displaystyle mathbf {u}$ y ${displaystyle mathbf {v}$ son lineales dentrodependiente si y sólo si ${displaystyle mathbf {u}$ no es un escalar múltiple de ${displaystyle mathbf {v}$ y ${displaystyle mathbf {v}$ no es un escalar múltiple de ${displaystyle mathbf {u}$.

Vectores en R2

Tres vectores: Considere el conjunto de vectores ${displaystyle mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${displaystyle mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{3}=(2,4),}$ entonces la condición para la dependencia lineal busca un conjunto de escalares no cero, tal que

${displaystyle a_{1}{begin{bmatrix}11end{bmatrix}+a_{2}{begin{bmatrix}-32end{bmatrix}+a_{3}{begin{bmatrix}24end{bmatrix}={0trix}={0trix}{0}{0}{0}{0} {b}}{0}{0}}}{b}{0}}}{b}{0}{0}}}}{b}{b}{b}}{b}}}{b}}}}}}}}{b}{b}}}{b}}}}}{b}{b}{b}{b}{b}}}}b}}}}}}}}}}{b}}}}}}{b}{b}}}}}}{b}}}}}{b}$

o

${begin{bmatrix}a_{1}a_{2}a_}end{bmatrix}={begin{bmatrix}a_{1}a_{2}a_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0$