Independencia algebraica

En álgebra abstracta, un subset S{displaystyle S. de un campo L{displaystyle L. es algebraically independent sobre un subcampo K{displaystyle K} si los elementos de S{displaystyle S. no satisface ninguna ecuación polinomio no trivial con coeficientes en K{displaystyle K}.

En particular, un conjunto de elementos {}α α }{displaystyle {alpha}} es algebraicamente independiente sobre K{displaystyle K} si α α {displaystyle alpha } es trascendental K{displaystyle K}. En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente S{displaystyle S. sobre K{displaystyle K} son por necesidad trascendental K{displaystyle K}, y sobre todas las extensiones de campo K{displaystyle K} generados por los elementos restantes S{displaystyle S..

Ejemplo

Los dos números reales π π {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn } y 2π π +1{displaystyle 2pi +1} son cada número trascendental: no son las raíces de ningún polinomio notrivial cuyos coeficientes son números racionales. Así, cada uno de los dos conjuntos de singleton {}π π }{displaystyle {sqrt {fnfnfnfnfn\fnfn\fnc\\\\\cH00fn\\fnc\\\\\\c\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\c\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cc\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cc\\\c\ } y {}2π π +1}{displaystyle {2pi +1} son algebraicamente independientes sobre el campo Q{displaystyle mathbb {Q} de números racionales.

Sin embargo, el conjunto {}π π ,2π π +1}{displaystyle {sqrt {pi},2pi} # es no algebraicamente independiente sobre los números racionales, porque el polinomio notrivial

P()x,Sí.)=2x2− − Sí.+1{displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}

es cero cuando x=π π {displaystyle x={sqrt {fnfnfnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\fn\fn\\fn\fnfn\fn\fn\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft\fnMicrosoft\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\\\\\fnMicrosoft {fnMin } y Sí.=2π π +1{displaystyle y=2pi +1}.

Independencia algebraica de constantes conocidas

Aunque ambos π π {displaystyle pi} y e son conocidos por ser trascendental, no se sabe si el conjunto de ambos es algebraicamente independiente sobre Q{displaystyle mathbb {Q}. De hecho, ni siquiera se sabe si π π +e{displaystyle pi +e} es irracional. Nesterenko demostró en 1996 que:

• los números π π {displaystyle pi}, eπ π {displaystyle e^{pi}}, y .. ()1/4){displaystyle Gamma (1/4)}, donde .. {displaystyle "Gamma" es la función gamma, son algebraicamente independientes sobre Q{displaystyle mathbb {Q}.
• los números eπ π 3{displaystyle e^{sqrt {}}} y .. ()1/3){displaystyle Gamma (1/3)} son algebraicamente independiente sobre Q{displaystyle mathbb {Q}.
• para todos los enteros positivos n{displaystyle n}, el número eπ π n{displaystyle e^{pi {sqrt {n}} es algebraicamente independiente sobre Q{displaystyle mathbb {Q}.

Teorema de Lindemann-Weierstrass

El teorema de Lindemann-Weierstrass se puede utilizar a menudo para probar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre Q{displaystyle mathbb {Q}. Dice que cuando α α 1,...... ,α α n{displaystyle alpha _{1},ldotsalpha ¿Qué? son números algebraicos que son linealmente independientes sobre Q{displaystyle mathbb {Q}, entonces eα α 1,...... ,eα α n{displaystyle e^{alpha ¿Qué? ¿Qué? son también algebraicamente independiente sobre Q{displaystyle mathbb {Q}.

Matroides algebraicas

Dada una extensión sobre el terreno L/K{displaystyle L/K} que no es algebraico, la lema de Zorn se puede utilizar para mostrar que siempre existe un subconjunto algebraicamente independiente maximal L{displaystyle L. sobre K{displaystyle K}. Además, todos los subconjuntos máximos algebraicamente independientes tienen la misma cardinalidad, conocida como el grado de trascendencia de la extensión.

Para cada juego S{displaystyle S. de elementos de L{displaystyle L., los subconjuntos algebraicamente independientes de S{displaystyle S. satisfacer los axiomas que definen los conjuntos independientes de un esteroide. En este materoide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto T{displaystyle T} de elementos es la intersección de L{displaystyle L. con el campo K[T]{displaystyle K[T]}. Un esteroide que se puede generar de esta manera se llama algebraico materoide. No se conoce una buena caracterización de los materoides algebraicos, pero ciertos matroides son conocidos como no algebraicos; el más pequeño es el materoide Vámos.

Muchos esteroides finitos pueden ser representados por una matriz sobre un campo K{displaystyle K}, en el que los elementos materoides corresponden a columnas de matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto correspondiente de columnas es linealmente independiente. Cada matroide con una representación lineal de este tipo también puede ser representado como un materoide algebraico, eligiendo un indeterminado para cada fila de la matriz, y utilizando los coeficientes de matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento materoide una combinación lineal de estos trascendental. El converso es falso: no cada algebraico matroid tiene una representación lineal.