Incrustación

En matemáticas, una incrustación (o incrustación) es una instancia de alguna estructura matemática contenida dentro de otra instancia, como un grupo que es un subgrupo.

Cuando un objeto X{displaystyle X} se dice que está incrustado en otro objeto Y{displaystyle Sí., la incrustación es dada por algunos mapas inyectables y de conservación de la estructura f:X→ → Y{displaystyle f:Xrightarrow Sí.. El significado preciso de "preservar la estructura" depende del tipo de estructura matemática de la cual X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son casos. En la terminología de la teoría de la categoría, un mapa que conserva la estructura se llama morfismo.

El hecho de que un mapa f:X→ → Y{displaystyle f:Xrightarrow Sí. es una incrustación a menudo se indica por el uso de una "flecha enganchada" (U+21AA . DERECHO ARROW CON HOOK); por lo tanto: f:X.. Y.{displaystyle f:Xhookrightarrow Sí. (Por otro lado, esta notación se reserva a veces para mapas de inclusión.)

Dado X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí., varias incrustaciones diferentes de X{displaystyle X} dentro Y{displaystyle Sí. puede ser posible. En muchos casos de interés hay una incrustación estándar (o "canónica"), como los de los números naturales en los enteros, los enteros en los números racionales, los números racionales en los números reales, y los números reales en los números complejos. En tales casos es común identificar el dominio X{displaystyle X} con su imagen f()X){displaystyle f(X)} contenidas en Y{displaystyle Sí.Así que f()X)⊆ ⊆ Y{displaystyle f(X)subseteq Sí..

Topología y geometría

Topología general

En la topología general, una incrustación es un homeomorfismo sobre su imagen. Más explícitamente, un mapa continuo inyectable f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. entre espacios topológicos X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. es un incrustación topológica si f{displaystyle f} produce un homeomorfismo entre X{displaystyle X} y f()X){displaystyle f(X)} (donde) f()X){displaystyle f(X)} lleva la topología subespacial heredada de Y{displaystyle Sí.). Intuitivamente entonces, la incrustación f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. nos permite tratar X{displaystyle X} como subespacio Y{displaystyle Sí.. Cada incrustación es inyectable y continua. Cada mapa que es inyectable, continuo y abierto o cerrado es una incrustación; sin embargo también hay incrustaciones que no son abiertas ni cerradas. Este último sucede si la imagen f()X){displaystyle f(X)} no es un conjunto abierto ni cerrado Y{displaystyle Sí..

Para un espacio dado Y{displaystyle Sí., la existencia de una incrustación X→ → Y{displaystyle Xto Y} es un invariante topológico de X{displaystyle X}. Esto permite distinguir dos espacios si uno es capaz de ser incrustado en un espacio mientras que el otro no lo es.

Definiciones relacionadas

Si el dominio de una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es un espacio topológico entonces se dice que la función localmente inyectable en un punto si existe algún vecindario U{displaystyle U} de este punto tal que la restricción fSilencioU:U→ → Y{displaystyle f{bigvert - ¿Qué? es inyectable. Se llama localmente inyectable si es localmente inyectable alrededor de cada punto de su dominio. Análogamente, a incrustación local (topológica, resp. lisa) es una función para la cual cada punto en su dominio tiene algún vecindario al que su restricción es una incrustación (topológica, resp. lisa).

Cada función inyectable es localmente inyectable pero no transversalmente. Las diffeomorfismos locales, los homeomorfismos locales y las inmersiones suaves son funciones locales de inyección que no son necesariamente inyectables. El teorema de función inversa da una condición suficiente para que una función continuamente diferenciable sea (entre otras cosas) localmente inyectable. Cada fibra de una función localmente inyectable f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es necesariamente un subespacio discreto de su dominio X.{displaystyle X.}

Topología diferencial

En topología diferencial: Vamos M{displaystyle M} y N{displaystyle N} ser suaves manifolds y f:M→ → N{displaystyle f:Mto N} ser un mapa suave. Entonces... f{displaystyle f} se llama inmersión si su derivado está en todas partes inyectable. An incrustaciones, o un lisa incrustación, se define como una inmersión que es una incrustación en el sentido topológico mencionado anteriormente (es decir, homeomorfismo sobre su imagen).

En otras palabras, el dominio de una incrustación es diffeomorfo a su imagen, y en particular la imagen de una incrustación debe ser un submanifold. Una inmersión es precisamente una incrustaciones localesPor cualquier punto x▪ ▪ M{displaystyle xin M} hay un barrio x▪ ▪ U⊂ ⊂ M{displaystyle xin Usubset M} tales que f:U→ → N{displaystyle f:Uto N} es una incrustación.

Cuando la variedad de dominio es compacta, la noción de una incrustación suave es equivalente a la de una inmersión inyectiva.

Un caso importante es N=Rn{displaystyle N=Mathbb {R} {fn}. El interés aquí es en lo grande n{displaystyle n} debe ser para una incrustación, en términos de la dimensión m{displaystyle m} de M{displaystyle M}. The Whitney embedding theorem states that n=2m{displaystyle n=2m} es suficiente, y es el mejor límite lineal posible. Por ejemplo, el espacio proyectado real RPm{displaystyle RP^{m} de la dimensión m{displaystyle m}, donde m{displaystyle m} es un poder de dos, requiere n=2m{displaystyle n=2m} para una incrustación. Sin embargo, esto no se aplica a las inmersiones; por ejemplo, RP2{displaystyle RP^{2} puede ser inmerso en R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} como se muestra explícitamente por la superficie de Boy, que tiene autointersecciones. La superficie romana no es una inmersión ya que contiene travesías.

Una incrustación es apropiado si se comporta bien con respecto a los límites: se requiere el mapa f:X→ → Y{displaystyle f:Xrightarrow Sí. ser tal

• f()∂ ∂ X)=f()X)∩ ∩ ∂ ∂ Y{displaystyle f(partial X)=f(X)cap partial Sí., y
• f()X){displaystyle f(X)} es transversal ∂ ∂ Y{displaystyle partial Y} en cualquier punto f()∂ ∂ X){displaystyle f(partial X)}.

La primera condición es equivalente a tener f()∂ ∂ X)⊆ ⊆ ∂ ∂ Y{displaystyle f(partial X)subseteq partial Sí. y f()X∖ ∖ ∂ ∂ X)⊆ ⊆ Y∖ ∖ ∂ ∂ Y{displaystyle f(Xsetminus partial X)subseteq Ysetminus partial Sí.. La segunda condición, casi hablando, dice que f()X){displaystyle f(X)} no es tangente a la frontera Y{displaystyle Sí..

In Texas, the government through section 2054.116 of the Government Code, mandates that state agencies provide information on their web pages in Spanish.

En la geometría Riemanniana y geometría pseudo-riemanniana: Vamos ()M,g){displaystyle (M,g)} y ()N,h){displaystyle (N,h)} se Riemannian manifolds o más generalmente pseudo-Manifolds Riemannian. An incrustación isométrica es una mezcla suave f:M→ → N{displaystyle f:Mrightarrow N. que conserva el (pseudo-)métrico en el sentido de que g{displaystyle g} es igual a la retirada de h{displaystyle h} por f{displaystyle f}, es decir. g=fAlternativa Alternativa h{displaystyle g=f*h}. Explícitamente, para cualquier dos vectores tangentes v,w▪ ▪ Tx()M){displaystyle v,win T_{x}(M)} tenemos

g()v,w)=h()df()v),df()w)).{displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)). }

De forma análoga, la inmersión isométrica es una inmersión entre variedades (pseudo)-riemannianas que conserva la métrica (pseudo)-riemanniana.

De manera equivalente, en la geometría de Riemann, una incrustación isométrica (inmersión) es una incrustación suave (inmersión) que conserva la longitud de las curvas (cf. teorema de incrustación de Nash).

Álgebra

En general, para una categoría algebraica C{displaystyle C}, una incrustación entre dos C{displaystyle C}- estructuras álgebraicas X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. es un C{displaystyle C}- morfismo e:X→ → Y{displaystyle e:Xrightarrow Sí. Eso es inyectable.

Teoría de campos

En la teoría del campo, una incrustaciones de un campo E{displaystyle E} en un campo F{displaystyle F} es un homomorfismo de anillo σ σ :E→ → F{displaystyle sigma:Erightarrow F..

El núcleo σ σ {displaystyle sigma } es un ideal E{displaystyle E} que no puede ser todo el campo E{displaystyle E}, debido a la condición 1=σ σ ()1)=1{displaystyle 1=sigma (1)=1}. Además, es una propiedad conocida de campos que sus únicos ideales son el ideal cero y todo el campo en sí. Por lo tanto, el núcleo es 0{displaystyle 0}, así que cualquier incrustación de campos es un monomorfismo. Por lo tanto, E{displaystyle E} es isomorfo al subcampo σ σ ()E){displaystyle sigma (E)} de F{displaystyle F}. Esto justifica el nombre incrustaciones para un homomorfismo arbitrario de campos.

Álgebra universal y teoría de modelos

Si σ σ {displaystyle sigma } es una firma y A,B{displaystyle A,B} son σ σ {displaystyle sigma }-estructuras (también llamadas σ σ {displaystyle sigma }- álgebras en álgebra universal o modelos en teoría modelo), entonces un mapa h:A→ → B{displaystyle h:Ato B} es un σ σ {displaystyle sigma }-Reuniendo si todo lo que sigue:

• h{displaystyle h} es inyectable,
• para todos n{displaystyle n}- Símbolo de función f▪ ▪ σ σ {displaystyle fin sigma } y a1,...... ,an▪ ▪ An,{displaystyle a_{1},ldotsa_{n}in A^{n} tenemos h()fA()a1,...... ,an))=fB()h()a1),...... ,h()an)){displaystyle h(f^{A}(a_{1},ldotsa_{n})=f^{B}(h(a_{1}),ldotsh(a_{n})},
• para todos n{displaystyle n}- Símbolo de relación R▪ ▪ σ σ {displaystyle Rin sigma } y a1,...... ,an▪ ▪ An,{displaystyle a_{1},ldotsa_{n}in A^{n} tenemos A⊨ ⊨ R()a1,...... ,an){displaystyle Amodels R(a_{1},ldotsa_{n} Sip B⊨ ⊨ R()h()a1),...... ,h()an)).{displaystyle Bmodels R(h(a_{1}),ldotsh(a_{n})). }

Aquí. A⊨ ⊨ R()a1,...... ,an){displaystyle Amodels R(a_{1},ldotsa_{n} es una notación teórica modelo equivalente a ()a1,...... ,an)▪ ▪ RA{displaystyle (a_{1},ldotsa_{n}in R^{A}. En la teoría modelo también hay una noción más fuerte de la incrustación elemental.

Teoría del orden y teoría del dominio

En teoría de orden, una incrustación de conjuntos parcialmente ordenados es una función F{displaystyle F} entre conjuntos parcialmente ordenados X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. tales que

О О x1,x2▪ ▪ X:x1≤ ≤ x2⟺ ⟺ F()x1)≤ ≤ F()x2).{displaystyle forall x_{1},x_{2}in X:x_{1}leq x_{2}iff F(x_{1})leq F(x_{2}). }

Inyección de F{displaystyle F}sigue rápidamente de esta definición. En la teoría del dominio, un requisito adicional es que

О О Sí.▪ ▪ Y:{}x▪ ▪ F()x)≤ ≤ Sí.}{displaystyle forall yin Y:{xmid F(x)leq y} está dirigido.

Espacios métricos

Una cartografía φ φ :X→ → Y{displaystyle phi:Xto Y} de los espacios métricos se llama incrustaciones(con distorsión) 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">C■0{displaystyle C confiar0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84d4126c6df243734f9355927c026df6b0d3859" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;"/>Si

LdX()x,Sí.)≤ ≤ dY()φ φ ()x),φ φ ()Sí.))≤ ≤ CLdX()x,Sí.){displaystyle Ld_{X}(x,y)leq d_{Y}(phi (x),phi (y)leq CLd_{X}(x,y)}

para todos x,Sí.▪ ▪ X{displaystyle x,yin X} y algo constante 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">L■0{displaystyle L título0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d06bfbe00ff463870f868c958b37cbe46ea3a0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.844ex; height:2.176ex;"/>.

Espacios normados

Un caso especial importante es el de los espacios normados; en este caso es natural considerar incrustaciones lineales.

Una de las preguntas básicas que se pueden hacer acerca de un espacio ordenado-dimensional finito ()X,.. ⋅ ⋅ .. ){displaystyle (X,fnMicrosoft Sans Serpientes)} es, lo que es la dimensión máxima k{displaystyle k} tal que el espacio Hilbert l l 2k{displaystyle ell _{2} {k}} puede ser forrada linealmente X{displaystyle X} ¿Con una distorsión constante?

La respuesta la da el teorema de Dvoretzky.

Teoría de categorías

En la teoría de categorías, no existe una definición satisfactoria y generalmente aceptada de incrustaciones que sea aplicable en todas las categorías. Uno esperaría que todos los isomorfismos y todas las composiciones de incrustaciones sean incrustaciones, y que todas las incrustaciones sean monomorfismos. Otros requisitos típicos son: cualquier monomorfismo extremo es una incrustación y las incrustaciones son estables bajo retrocesos.

Idealmente, la clase de todos los subobjetos incrustados de un objeto dado, hasta el isomorfismo, también debería ser pequeña y, por lo tanto, un conjunto ordenado. En este caso, se dice que la categoría está bien potenciada con respecto a la clase de incrustaciones. Esto permite definir nuevas estructuras locales en la categoría (como un operador de cierre).

En una categoría concreta, incrustaciones es un morfismo f:A→ → B{displaystyle f:Arightarrow B. que es una función inyectable del conjunto subyacente A{displaystyle A} al conjunto subyacente de B{displaystyle B} y es también un morfismo inicial en el siguiente sentido: Si g{displaystyle g} es una función del conjunto subyacente de un objeto C{displaystyle C} al conjunto subyacente de A{displaystyle A}, y si su composición con f{displaystyle f} es un morfismo fg:C→ → B{displaystyle fg:Crightarrow B., entonces g{displaystyle g} es un morfismo.

Un sistema de factorización para una categoría también da lugar a una noción de incrustación. Si ()E,M){displaystyle (E,M)} es un sistema de factorización, luego los morfismos en M{displaystyle M} puede ser considerado como las incrustaciones, especialmente cuando la categoría está bien alimentada con respecto a M{displaystyle M}. Las teorías concretas suelen tener un sistema de factorización en el que M{displaystyle M} consiste en las incrustaciones en el sentido anterior. Este es el caso de la mayoría de los ejemplos dados en este artículo.

Como es habitual en la teoría de categorías, existe un concepto dual, conocido como cociente. Todas las propiedades anteriores se pueden dualizar.

Una incrustación también puede referirse a un funtor de incrustación.