Inclinación

Rotación, precesión, y nutación en la olvido de un planeta

Nutación (del latín nūtātiō 'asintiendo, balanceándose') es un balanceo, balanceo, o movimiento de cabeceo en el eje de rotación de un objeto en gran medida axialmente simétrico, como un giroscopio, un planeta o una bala en vuelo, o como el comportamiento previsto de un mecanismo. En un marco de referencia apropiado, se puede definir como un cambio en el segundo ángulo de Euler. Si no es causada por fuerzas externas al cuerpo, se denomina nutación libre o nutación de Euler. Una nutación pura es un movimiento de un eje de rotación tal que el primer ángulo de Euler es constante. Por lo tanto, se puede ver que la flecha roja circular en el diagrama indica los efectos combinados de precesión y nutación, mientras que la nutación en ausencia de precesión solo cambiaría la inclinación de la vertical (segundo ángulo de Euler). Sin embargo, en la dinámica de las naves espaciales, la precesión (un cambio en el primer ángulo de Euler) a veces se denomina nutación.

En un cuerpo rígido

Si una peonza se coloca inclinada sobre una superficie horizontal y se gira rápidamente, su eje de rotación comienza a moverse con respecto a la vertical. Después de un breve intervalo, la parte superior se asienta en un movimiento en el que cada punto de su eje de rotación sigue una trayectoria circular. La fuerza vertical de la gravedad produce un par horizontal τ alrededor del punto de contacto con la superficie; la parte superior gira en la dirección de este par con una velocidad angular Ω tal que en cualquier momento

${displaystyle {boldsymbol {tau} }=mathbf {Omega } times mathbf {L}$ (producto de la cruz del vencedor)

donde L es el momento angular instantáneo de la parte superior.

Inicialmente, sin embargo, no hay precesión, y la parte superior de la parte superior cae hacia los lados y hacia abajo, por lo que se inclina. Esto da lugar a un desequilibrio de pares que inicia la precesión. Al caer, la parte superior sobrepasa la cantidad de inclinación a la que tendría una precesión constante y luego oscila alrededor de este nivel. Esta oscilación se llama nutación. Si se amortigua el movimiento, las oscilaciones disminuirán hasta que el movimiento sea una precesión constante.

La física de la nutación en trompos y giroscopios puede explorarse usando el modelo de un peonzo simétrico pesado con su punta fija. (Un trompo simétrico es uno con simetría rotacional, o más generalmente uno en el que dos de los tres momentos principales de inercia son iguales). Inicialmente, se ignora el efecto de la fricción. El movimiento de la parte superior se puede describir mediante tres ángulos de Euler: el ángulo de inclinación θ entre el eje de simetría de la parte superior y la vertical (segundo ángulo de Euler); el acimut φ de la parte superior sobre la vertical (primer ángulo de Euler); y el ángulo de rotación ψ del trompo sobre su propio eje (tercer ángulo de Euler). Por lo tanto, la precesión es el cambio en φ y la nutación es el cambio en θ< /lapso>.

Si la peonza tiene masa M y su centro de masa está a una distancia l< /i> desde el punto de pivote, su potencial gravitatorio relativo al plano del soporte es

${displaystyle V=Mglcos(theta). }$

En un sistema de coordenadas donde el eje z es el eje de simetría, la parte superior tiene velocidades angulares < i>ω₁, ω₂, ω₃< /span> y momentos de inercia I₁, I₂, < i>I₃ sobre x, y y z ejes. Dado que estamos tomando una parte superior simétrica, tenemos I₁= Yo₂. La energía cinética es

${displaystyle E_{text{r}={frac {1}{2}I_{1}left(omega) ################################################################################################################################################################################################################################################################ ###{2} {2}derecha]+{2}I_{3}omega _{3} {2}.}$

En términos de los ángulos de Euler, esto es

${displaystyle E_{text{r}={frac {1}{2}I_{1}left({dot {theta ########## {2}sin ^{2}(theta)right)+{frac {1} {2}}I_{3}left({dot {ps} {cH0}} {cH0}}ccH0}cccH0}cH0}cH0}ccH0}cH0}cH0}cH0}cH0}ccc}cc}c}cccccH0cH9}c}cccc}c}c}c}cH0c}cH0ccH0c}cH00}cH00}c}cc}cH00}cH00}cH00}cH00}c}c}c}cH00}c}c} ¿Qué?$

Si se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange para este sistema, se encuentra que el movimiento depende de dos constantes a y b (cada uno relacionado con una constante de movimiento). La tasa de precesión está relacionada con la inclinación por

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }={frac {b-acos(theta)} {sin ^{2}}}}$

La inclinación está determinada por una ecuación diferencial para u = cos(θ) de la forma

${fnMicrosoft Sans Serif}$

donde f es un polinomio cúbico que depende de los parámetros a y b así como constantes que están relacionadas con la energía y el par gravitacional. Las raíces de f son cosenos de los ángulos a los que la tasa de cambio de θ es cero. Uno de estos no está relacionado con un ángulo físico; los otros dos determinan los límites superior e inferior del ángulo de inclinación, entre los cuales oscila el giroscopio.

Astronomía

La nutación de un planeta ocurre porque los efectos gravitatorios de otros cuerpos hacen que la velocidad de su precesión axial varíe con el tiempo, por lo que la velocidad no es constante. El astrónomo inglés James Bradley descubrió la nutación del eje de la Tierra en 1728.

Tierra

Cambios anuales en la ubicación del Trópico de Cáncer cerca de una carretera en México

La nutación cambia sutilmente la inclinación axial de la Tierra con respecto al plano de la eclíptica, desplazando los principales círculos de latitud definidos por la inclinación de la Tierra (los círculos tropicales y los círculos polares).

En el caso de la Tierra, las fuentes principales de la fuerza de las mareas son el Sol y la Luna, que cambian continuamente de ubicación entre sí y, por lo tanto, provocan la nutación en el eje de la Tierra. El mayor componente de la nutación de la Tierra tiene un período de 18,6 años, el mismo que el de la precesión de los nodos orbitales de la Luna. Sin embargo, existen otros términos periódicos significativos que deben tenerse en cuenta según la precisión deseada del resultado. Una descripción matemática (conjunto de ecuaciones) que representa la nutación se denomina "teoría de la nutación". En teoría, los parámetros se ajustan en un método más o menos ad hoc para obtener el mejor ajuste a los datos. La dinámica de cuerpo rígido simple no da la mejor teoría; uno tiene que tener en cuenta las deformaciones de la Tierra, incluida la inelasticidad del manto y los cambios en el límite entre el núcleo y el manto.

El término principal de nutación se debe a la regresión de la línea nodal de la Luna y tiene el mismo período de 6798 días (18,61 años). Alcanza más o menos 17″ de longitud y 9,2″ de oblicuidad. Todos los demás términos son mucho más pequeños; el siguiente más grande, con un período de 183 días (0,5 años), tiene amplitudes de 1,3″ y 0,6″ respectivamente. Los períodos de todos los términos superiores a 0,0001″ (con la misma precisión que puede medir la tecnología disponible) se encuentran entre 5,5 y 6798 días; por alguna razón (como ocurre con los períodos de marea oceánica) parecen evitar el rango de 34,8 a 91 días, por lo que se acostumbra dividir la nutación en términos de período largo y período corto. Los plazos a largo plazo se calculan y mencionan en los almanaques, mientras que la corrección adicional debida a los plazos a corto plazo suele tomarse de una tabla. También se pueden calcular a partir del día juliano según la metodología IAU 2000B.

En la cultura popular

En la película de desastres de 1961 El día que la Tierra se incendió, la detonación casi simultánea de dos superbombas de hidrógeno cerca de los polos provoca un cambio en la nutación de la Tierra, así como un cambio de 11° en la inclinación axial y un cambio en la órbita de la Tierra alrededor del Sol.

En Star Trek: La próxima generación, rápidamente 'ciclando' o 'cambiando' la 'nutación de escudo' se menciona con frecuencia como un medio para retrasar al antagonista en sus esfuerzos por romper las defensas y saquear la Enterprise u otra nave espacial.