Incircunferencias y excircunferencias de un triángulo

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Círculos tangente a los tres lados de un triángulo

Incircle y excircles de un triángulo.

Lados extendidos del triángulo

ABC

Incircle (incentro en

I

)

Excircos (excentros en

J A

J B

J C

)

Bisectores de ángulo interno

Bisectores de ángulo externo (formando el triángulo excentral)

En geometría, el incírculo o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande que puede estar contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita es el centro de un triángulo llamado incentro del triángulo.

Un excírculo o círculo descrito del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos. Cada triángulo tiene tres círculos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo.

El centro de la circunferencia inscrita, llamado incentro, se puede encontrar como la intersección de las tres bisectrices de los tres ángulos internos. El centro de una excircunferencia es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice $A$ , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este excírculo se denomina excentro relativo al vértice $A$ , o excentro de $A$ . Como la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia inscrita junto con los tres centros de la circunferencia exterior forman un sistema ortocéntrico. pero no todos los polígonos lo hacen; los que sí son polígonos tangenciales. Véase también rectas tangentes a circunferencias.

Incircunferencia e incentro

Suppose $triangle ABC$ tiene un incircle con radio $r$ y centro $I$ . Vamos $a$ ser la longitud de $BC$ , $b$ la longitud $AC$ , y $c$ la longitud $AB$ . También deja $T_{A}$ , $T_{B}$ , y $T_{C}$ ser los puntos de contacto donde el incircle toca $BC$ , $AC$ , y $AB$ .

Incentro

El incentro es el punto en el que los bisectores de ángulo interno ${displaystyle angle ABC,angle BCA,{text{ and }}angle BAC}$ Nos vemos.

La distancia del vértice $A$ al incentro $I$ es:

{displaystyle d(A,I)=c{frac {sin left({frac {B}{2}}right)}{cos left({frac {C}{2}}right)}}=b{frac {sin left({frac {C}{2}}right)}{cos left({frac {B}{2}}right)}}.}

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales de un punto en el triángulo son la razón de todas las distancias a los lados del triángulo. Como el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales del incentro son

1:1:1.

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas para el incentro están dadas por

a:b:c

Donde $a$ , $b$ , y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo, o equivalentemente (utilizando la ley de los pecados) por

sin(A):sin(B):sin(C)

Donde $A$ , $B$ , y $C$ son los ángulos en los tres vértices.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices utilizando las longitudes laterales del triángulo en relación con el perímetro (es decir, utilizando las coordenadas barícentricas dadas arriba, normalizadas para resumir la unidad) como pesos. Los pesos son positivos por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indica arriba. Si los tres vértices se encuentran en $(x_{a},y_{a})$ , $(x_{b},y_{b})$ , y $(x_c,y_c)$ , y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes $a$ , $b$ , y $c$ , entonces el incentro está en

{displaystyle left({frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}right)={frac {aleft(x_{a},y_{a}right)+bleft(x_{b},y_{b}right)+cleft(x_{c},y_{c}right)}{a+b+c}}.}

Radio

El inradius $r$ del incircle en un triángulo con lados de longitud $a$ , $b$ , $c$ es dado por

{displaystyle r={sqrt {frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}

Donde

{displaystyle s=(a+b+c)/2.}

Vea la fórmula de Heron.

Distancias a los vértices

Denotar el incentro de $triangle ABC$ como $I$ , las distancias del incentro a los vértices combinados con las longitudes de los lados del triángulo obedecen la ecuación

{displaystyle {frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1.}

Además,

{displaystyle IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2},}

Donde $R$ y $r$ son el triángulo circunradius e inradius respectivamente.

Otras propiedades

A la colección de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo bajo la multiplicación por coordenadas de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento de identidad.

Incircle y sus propiedades de radio

Distancias entre el vértice y los puntos de contacto más cercanos

Las distancias desde un vértice hasta los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; Por ejemplo:

{displaystyle dleft(A,T_{B}right)=dleft(A,T_{C}right)={frac {1}{2}}(b+c-a).}

Otras propiedades

Suponga que los puntos de tangencia del incircle dividen los lados en longitudes de $x$ y $y$ , $y$ y $z$ , y $z$ y $x$ . Entonces el incircle tiene el radio

{displaystyle r={sqrt {frac {xyz}{x+y+z}}}}

y el área del triángulo es

{displaystyle Delta ={sqrt {xyz(x+y+z)}}.}

Si las alturas de los lados de longitudes $a$ , $b$ , y $c$ son $h_a$ , $h_b$ , y $h_{c}$ , entonces el inradius $r$ es un tercio de la media armónica de estas alturas; es decir,

{displaystyle r={frac {1}{{frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}+{frac {1}{h_{c}}}}}.}

El producto del radius incircle $r$ y el radio del círculo $R$ de un triángulo con los lados $a$ , $b$ , y $c$ es

{displaystyle rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Algunas relaciones entre los lados, el radio del círculo y el radio del círculo son:

{displaystyle {begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.end{aligned}}}

Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Denotando el centro del círculo de $triangle ABC$ como $I$ , tenemos

{displaystyle {frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1}

{displaystyle IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2}.}

El radio del círculo no es mayor que un noveno de la suma de las altitudes.

La distancia cuadrada del incenter $I$ al circumcenter ${displaystyle O}$ es dado por

{displaystyle OI^{2}=R(R-2r)}

y la distancia del incentro al centro $N$ del círculo de nueve puntos es

<math alttext="{displaystyle IN={frac {1}{2}}(R-2r)IN=12()R− − 2r).12R.{displaystyle IN={frac {1} {c} {cH00} {fnMicrosoft Sans Serif} {1}}R.}<img alt="{displaystyle IN={frac {1}{2}}(R-2r)

El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados).

Relación con el área del triángulo

El radio del círculo está relacionado con el área del triángulo. La relación del área del incircle con el área del triángulo es menor o igual a ${displaystyle {tfrac {pi }{3{sqrt {3}}}}}$ , con igualdad sólo para triángulos equiláteros.

Suppose $triangle ABC$ tiene un incircle con radio $r$ y centro $I$ . Vamos $a$ ser la longitud de $BC$ , $b$ la longitud $AC$ , y $c$ la longitud $AB$ . Ahora, el circo es tangente a $AB$ en algún momento $T_{C}$ , y así ${displaystyle angle AT_{C}I}$ tiene razón. Así, el radio ${displaystyle T_{C}I}$ es una altitud ${displaystyle triangle IAB}$ . Por lo tanto, ${displaystyle triangle IAB}$ tiene longitud de base $c$ y altura $r$ , y también tiene área ${tfrac {1}{2}}cr$ . Análogamente, $triangle IAC$ tiene zona ${tfrac {1}{2}}br$ y $triangle IBC$ tiene zona ${tfrac {1}{2}}ar$ . Desde estos tres triángulos se descomponen $triangle ABC$ , vemos que la zona ${displaystyle Delta {text{ of }}triangle ABC}$ es:

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}

{displaystyle r={frac {Delta }{s}},}

Donde $Delta$ es el área de $triangle ABC$ y ${displaystyle s={tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ es su semiperímetro.

Para una fórmula alternativa, considere ${displaystyle triangle IT_{C}A}$ . Este es un triángulo recto con un lado igual a $r$ y el otro lado igual a ${displaystyle rcot left({frac {A}{2}}right)}$ . Lo mismo es cierto para $triangle IB'A$ . El triángulo grande se compone de seis triángulos de este tipo y el área total es:

{displaystyle Delta =r^{2}left(cot left({frac {A}{2}}right)+cot left({frac {B}{2}}right)+cot left({frac {C}{2}}right)right).}

Triángulo y punta de Gergonne

Un triángulo, $triangle ABC$ , con incircle, incenter (incenter) $I$ ), triángulo de contacto ( ${displaystyle triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ) y Punto de Gergonne ${displaystyle G_{e}}$ )

El Triángulo de Gergonne (de $triangle ABC$ ) se define por los tres puntos de contacto del incircle en los tres lados. El punto de contacto opuesto $A$ es denotado ${displaystyle T_{A}}$ , etc.

Este triángulo de Gergonne, ${displaystyle triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ , también se conoce como el triángulo de contacto o triángulo de $triangle ABC$ . Su área es

{displaystyle K_{T}=K{frac {2r^{2}s}{abc}}}

Donde $K$ , $r$ , y $s$ son el área, radio del incircle, y semiperímetro del triángulo original, y $a$ , $b$ , y $c$ son las longitudes laterales del triángulo original. Este es el mismo área que el del triángulo extouch.

Las tres líneas ${displaystyle AT_{A}}$ , ${displaystyle BT_{B}}$ y ${displaystyle CT_{C}}$ intersección en un solo punto llamado Punto de Gergonne, denotado como ${displaystyle G_{e}}$ (o centro triángulo X₇). El punto Gergonne se encuentra en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro, y puede ser cualquier punto en él.

El punto de Gergonne de un triángulo tiene varias propiedades, incluido que es el punto simediano del triángulo de Gergonne.

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo de contacto están dadas por

${displaystyle {text{vertex}},T_{A}=0:sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)}$
${displaystyle {text{vertex}},T_{B}=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)}$
${displaystyle {text{vertex}},T_{C}=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):0.}$

Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne están dadas por

{displaystyle sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right),}

o, de manera equivalente, por la Ley de Senos,

{displaystyle {frac {bc}{b+c-a}}:{frac {ca}{c+a-b}}:{frac {ab}{a+b-c}}.}

Excírculos y excentros

A triángulo con incircle, incenter

I

), excircos, excentros

{displaystyle J_{A}}

{displaystyle J_{B}}

{displaystyle J_{C}}

), bisectores y ángulos internos bisectores de ángulo externo. El triángulo verde es el triángulo excentral.

El centro de un excírculo es la intersección del bisector interno de un ángulo (en el vértice $A$ , por ejemplo) y los bisectores externos de los otros dos. El centro de este excirco se llama el excenter relativo al vértice $A$ , o el excenter de $A$ . Debido a que el bisector interno de un ángulo es perpendicular a su bisector externo, sigue que el centro del incircle junto con los tres centros excircle forman un sistema ortocéntrico.

Coordenadas trilineales de excentros

Mientras que el incentro de $triangle ABC$ tiene coordenadas trilinear ${displaystyle 1:1:1}$ , los excentros tienen trilineales ${displaystyle -1:1:1}$ , ${displaystyle 1:-1:1}$ , y ${displaystyle 1:1:-1}$ .

Exradios

Los radios de los excírculos se llaman exradii.

El exradius del excirco opuesto $A$ (so touching $BC$ , centrado en ${displaystyle J_{A}}$ ) es

{displaystyle r_{a}={frac {rs}{s-a}}={sqrt {frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}

Donde

{displaystyle s={tfrac {1}{2}}(a+b+c).}

Vea la fórmula de Heron.

Derivación de la fórmula exradii

Deja que el excirco al lado $AB$ tocar al lado $AC$ ampliado $G$ , y dejar este excirco radio $r_{c}$ y su centro ${displaystyle J_{c}}$ .

Entonces... ${displaystyle J_{c}G}$ es una altitud ${displaystyle triangle ACJ_{c}}$ , Así que... ${displaystyle triangle ACJ_{c}}$ tiene zona ${tfrac {1}{2}}br_{c}$ . Por un argumento similar, ${displaystyle triangle BCJ_{c}}$ tiene zona ${tfrac {1}{2}}ar_{c}$ y ${displaystyle triangle ABJ_{c}}$ tiene zona ${tfrac {1}{2}}cr_{c}$ . Así la zona $Delta$ triángulo $triangle ABC$ es

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}

Así que, por simetría, denotando $r$ como el radio del círculo,

{displaystyle Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}

Por la Ley de los Cosenos, tenemos

{displaystyle cos(A)={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}

Combinando esto con la identidad $sin ^{2}A+cos ^{2}A=1$ , tenemos

{displaystyle sin(A)={frac {sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}

Pero... ${displaystyle Delta ={tfrac {1}{2}}bcsin(A)}$ , y así

{displaystyle {begin{aligned}Delta &={frac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\&={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\&={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},end{aligned}}}

que es la fórmula de Heron.

Combinando esto con ${displaystyle sr=Delta }$ , tenemos

{displaystyle r^{2}={frac {Delta ^{2}}{s^{2}}}={frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}

Análogamente, ${displaystyle (s-a)r_{a}=Delta }$ da

{displaystyle r_{a}^{2}={frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}

{displaystyle r_{a}={sqrt {frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.}

Otras propiedades

De las fórmulas anteriores se puede ver que las excircunferencias siempre son más grandes que las incircunferencias y que la excircunferencia más grande es la tangente al lado más largo y la excircunferencia más pequeña es tangente al lado más corto. Además, la combinación de estas fórmulas produce:

{displaystyle Delta ={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}

Otras propiedades de exclusión

El casco circular de los excírculos es internamente tangente a cada uno de los excírculos y es así un círculo de Apolonio. El radio de este círculo de Apolonio es ${displaystyle {tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$ Donde $r$ es el radio incircle y $s$ es el semiperímetro del triángulo.

Las siguientes relaciones se mantienen entre el inradius $r$ , el circunradius $R$ , el semiperímetro $s$ , y el radio excircle $r_{a}$ , $r_b$ , $r_{c}$ :

{displaystyle {begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=left(4R+rright)^{2}-2s^{2}.end{aligned}}}

El círculo a través de los centros de los tres excircles tiene radio $2R$ .

Si $H$ es el ortocentro de $triangle ABC$ , entonces

{displaystyle {begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R,\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.end{aligned}}}

Triángulo de Nagel y punto de Nagel

El triángulo extouch ${displaystyle triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ) y el Punto Nagel

N

) de un triángulo $triangle ABC$ ). Los círculos naranja son los excircles del triángulo.

El Triángulo de Nagel o triángulo extouch de $triangle ABC$ es denotado por los vértices $T_{A}$ , $T_{B}$ , y $T_{C}$ que son los tres puntos donde los excirculos tocan la referencia $triangle ABC$ y dónde $T_{A}$ es opuesto a $A$ , etc. Esto ${displaystyle triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ es también conocido como triángulo extouch de $triangle ABC$ . El círculo del extoc ${displaystyle triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ se llama Círculo del mandato.

Las tres líneas ${displaystyle AT_{A}}$ , ${displaystyle BT_{B}}$ y ${displaystyle CT_{C}}$ se llaman los separadores del triángulo; cada bisecto el perímetro del triángulo,

{displaystyle AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={frac {1}{2}}left(AB+BC+ACright).}

Los separadores se intersectan en un solo punto, el punto Nagel del triángulo $N_{a}$ (o centro triángulo X₈).

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo extouch están dadas por

${displaystyle {text{vertex}},T_{A}=0:csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)}$
${displaystyle {text{vertex}},T_{B}=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)}$
${displaystyle {text{vertex}},T_{C}=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):0.}$

Las coordenadas trilineales para el punto de Nagel están dadas por

{displaystyle csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right),}

o, de manera equivalente, por la Ley de Senos,

{displaystyle {frac {b+c-a}{a}}:{frac {c+a-b}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}.}

El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne.

Construcciones relacionadas

Círculo de nueve puntos y punto de Feuerbach

El círculo de nueve puntos es tangente al incircle y excircles

En geometría, el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado. Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son:

El punto medio de cada lado del triángulo
El pie de cada altitud
El punto medio del segmento de la línea de cada vértice del triángulo al orthocenter (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes).

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que la circunferencia de nueve puntos de cualquier triángulo es tangente externamente a las tres circunferencias externas de ese triángulo e internamente tangente a su circunferencia interna; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach. Él probó que:

... el círculo que pasa a través de los pies de las altitudes de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangente a los tres lados del triángulo... (Feuerbach 1822) harv error: no target: CITEREFFeuerbach1822 (help)

El centro del triángulo en el que se tocan la circunferencia inscrita y la circunferencia de nueve puntos se llama punto de Feuerbach.

En Triángulos centrales y descentralizados

Los puntos de intersección de los bisectores de ángulo interior $triangle ABC$ con los segmentos $BC$ , $CA$ , y $AB$ son los vértices de los triángulo central. Las coordenadas trilinear para los vértices del triángulo incentral son dadas por

${displaystyle left({text{vertex opposite}},Aright)=0:1:1}$
${displaystyle left({text{vertex opposite}},Bright)=1:0:1}$
${displaystyle left({text{vertex opposite}},Cright)=1:1:0.}$

El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de los excírculos del triángulo de referencia. Sus lados están en las bisectrices del ángulo externo del triángulo de referencia (ver figura en la parte superior de la página). Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral están dadas por

${displaystyle ({text{vertex opposite}},A)=-1:1:1}$
${displaystyle ({text{vertex opposite}},B)=1:-1:1}$
${displaystyle ({text{vertex opposite}},C)=1:1:-1.}$

Ecuaciones para cuatro círculos

Vamos ${displaystyle x:y:z}$ ser un punto variable en coordenadas trilinear, y dejar ${displaystyle u=cos ^{2}left(A/2right)}$ , ${displaystyle v=cos ^{2}left(B/2right)}$ , ${displaystyle w=cos ^{2}left(C/2right)}$ . Los cuatro círculos descritos anteriormente se dan equivalentemente por cualquiera de las dos ecuaciones dadas:

Incircle:
${displaystyle {begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\pm {sqrt {x}}cos left({frac {A}{2}}right)pm {sqrt {y}}cos left({frac {B}{2}}right)pm {sqrt {z}}cos left({frac {C}{2}}right)&=0end{aligned}}}$
$A$ -Excircle:
${displaystyle {begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\pm {sqrt {-x}}cos left({frac {A}{2}}right)pm {sqrt {y}}cos left({frac {B}{2}}right)pm {sqrt {z}}cos left({frac {C}{2}}right)&=0end{aligned}}}$
$B$ -Excircle:
${displaystyle {begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\pm {sqrt {x}}cos left({frac {A}{2}}right)pm {sqrt {-y}}cos left({frac {B}{2}}right)pm {sqrt {z}}cos left({frac {C}{2}}right)&=0end{aligned}}}$
$C$ -Excircle:
${displaystyle {begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\pm {sqrt {x}}cos left({frac {A}{2}}right)pm {sqrt {y}}cos left({frac {B}{2}}right)pm {sqrt {-z}}cos left({frac {C}{2}}right)&=0end{aligned}}}$

Teorema de Euler

El teorema de Euler establece que en un triángulo:

{displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}

Donde $R$ y $r$ son el circunradius e inradius respectivamente, y $d$ es la distancia entre el circuncentro y el incentro.

Para excírculos la ecuación es similar:

{displaystyle left(R+r_{text{ex}}right)^{2}=d_{text{ex}}^{2}+r_{text{ex}}^{2},}

Donde ${displaystyle r_{text{ex}}}$ es el radio de uno de los excírculos, y ${displaystyle d_{text{ex}}}$ es la distancia entre el circuncentro y el centro de ese excirco.

Generalización a otros polígonos

Algunos (pero no todos) los cuadriláteros tienen un incírculo. Estos se llaman cuadriláteros tangenciales. Entre sus muchas propiedades, quizás la más importante es que sus dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales. Esto se llama el teorema de Pitot.

Más generalmente, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito (es decir, uno que es tangente a cada lado) se llama polígono tangencial.

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