Implicación material (regla de inferencia)

En lógica proposicional, material implicación es una regla válida de sustitución que permite que una declaración condicional sea reemplazada por una disyunción en la que se nega el antecedente. La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no...P{displaystyle P} o Q{displaystyle Q} y esa forma puede reemplazar a la otra en pruebas lógicas. En otras palabras, si P{displaystyle P} es verdad, entonces Q{displaystyle Q} debe ser verdad, mientras que si Q{displaystyle Q} es no verdadero, entonces P{displaystyle P} no puede ser verdad tampoco; además, cuando P{displaystyle P} no es verdad, Q{displaystyle Q} puede ser cierto o falso.

P→ → Q.. ¬ ¬ PAlternativa Alternativa Q{displaystyle Pto QLeftrightarrow neg Plor Q}

Donde ".. {displaystyle Leftrightarrow"es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con," y P y Q son cualquier declaración lógica dada. Para ilustrar esto, considere las siguientes declaraciones:

• P{displaystyle P}: Sam comió una naranja para el almuerzo
• Q{displaystyle Q}: Sam comió una fruta para el almuerzo

Entonces, para decir, "Sam comió una naranja para el almuerzo" implicación "Sam comió una fruta para el almuerzo"P→ → Q{displaystyle Pto Q}). Lógicamente, si Sam no comió una fruta para el almuerzo, entonces Sam tampoco puede haber comido una naranja para el almuerzo (por contraposición). Sin embargo, simplemente decir que Sam no comió una naranja para el almuerzo no proporciona información sobre si Sam comió o no una fruta (de cualquier tipo) para el almuerzo.

Prueba parcial

Supongamos que nos dan P→ → Q{displaystyle Pto Q}. Entonces, tenemos ¬ ¬ PAlternativa Alternativa P{displaystyle neg Plor P} por la ley del centro excluido (es decir, P{displaystyle P} debe ser verdad, o P{displaystyle P} no debe ser verdad).

Posteriormente, desde entonces P→ → Q{displaystyle Pto Q}, P{displaystyle P} puede ser reemplazado por Q{displaystyle Q} en la declaración, y por lo tanto sigue que ¬ ¬ PAlternativa Alternativa Q{displaystyle neg Plor Q} (o sea. Q{displaystyle Q} debe ser verdad, o P{displaystyle P} no debe ser verdad).

Supongamos, por el contrario, que se nos da ¬ ¬ PAlternativa Alternativa Q{displaystyle neg Plor Q}. Entonces si P{displaystyle P} es cierto que descarta el primer disyunto, así que tenemos Q{displaystyle Q}. En resumen, P→ → Q{displaystyle Pto Q}. Sin embargo, si P{displaystyle P} es falso, entonces esta implicación falla, porque el primer disyunto ¬ ¬ P{displaystyle neg P} es cierto que no pone ninguna restricción en el segundo disyunto Q{displaystyle Q}. Por lo tanto, nada puede decirse sobre P→ → Q{displaystyle Pto Q}. En suma, la equivalencia en caso de falsedad P{displaystyle P} es sólo convencional, y por lo tanto la prueba formal de equivalencia es sólo parcial.

Esto también se puede expresar con una tabla de verdad:

Ejemplo

Un ejemplo: se nos da el hecho condicional de que si es un oso, entonces puede nadar. Luego, las 4 posibilidades en la tabla de verdad se comparan con ese hecho.

1. Si es un oso, entonces puede nadar — T
2. Si es un oso, entonces no puede nadar — F
3. Si no es un oso, entonces puede nadar — T porque no contradice nuestro hecho inicial.
4. Si no es un oso, entonces no puede nadar — T (como arriba)

Así, el hecho condicional puede ser convertido a ¬ ¬ PAlternativa Alternativa Q{displaystyle neg Pvee Q}, que es "no es un oso" o "puede nadar", Donde P{displaystyle P} es la declaración "es un oso" y Q{displaystyle Q} es la declaración "puede nadar".