Impedancia característica

Una línea de transmisión dibujada como dos alambres negros. A una distancia x en la línea, hay phasor actual I(x) viajar a través de cada alambre, y hay una diferencia de tensión V(x) entre los alambres (tensión inferior menos tensión superior). Si Z0{displaystyle Z_{0} es impedancia característica de la línea, entonces V()x)/I()x)=Z0{displaystyle V(x)/I(x)=Z_{0} para una ola que se mueve hacia la derecha, o V()x)/I()x)=− − Z0{displaystyle V(x)/I(x)=-Z_{0} para una ola que se mueve hacia la izquierda.

Representación esquemática de un circuito donde una fuente se une a una carga con una línea de transmisión con impedancia característica Z0{displaystyle Z_{0}.

La impedancia característica o impedancia transitoria (generalmente escrita Z₀) de una línea de transmisión uniforme es la relación entre las amplitudes de voltaje y corriente de una sola onda que se propaga a lo largo de la línea; es decir, una onda que viaja en una dirección en ausencia de reflejos en la otra dirección. Alternativamente, y de manera equivalente, se puede definir como la impedancia de entrada de una línea de transmisión cuando su longitud es infinita. La impedancia característica está determinada por la geometría y los materiales de la línea de transmisión y, para una línea uniforme, no depende de su longitud. La unidad SI de impedancia característica es el ohmio.

La impedancia característica de una línea de transmisión sin pérdidas es puramente real, sin componente reactivo. La energía suministrada por una fuente en un extremo de dicha línea se transmite a través de la línea sin disiparse en la propia línea. Una línea de transmisión de longitud finita (sin pérdidas o con pérdidas) que termina en un extremo con una impedancia igual a la impedancia característica aparece ante la fuente como una línea de transmisión infinitamente larga y no produce reflejos.

Modelo de línea de transmisión

La impedancia característica Z()⋅ ⋅ ){displaystyle Z(omega)} de una línea de transmisión infinita a una frecuencia angular dada ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es la relación del voltaje y la corriente de una ola sinusoidal pura de la misma frecuencia que viaja a lo largo de la línea. Esta relación es también el caso de líneas de transmisión finitas hasta que la ola llegue al final de la línea. Generalmente, una onda se refleja de nuevo a lo largo de la línea en la dirección opuesta. Cuando la onda reflejada llega a la fuente, se refleja una vez más, añadiendo a la onda transmitida y cambiando la relación del voltaje y la corriente a la entrada, provocando que la relación de tensión-corriente ya no sea igual a la impedancia característica. Esta nueva relación incluyendo la energía reflejada se llama impedancia de entrada.

La impedancia de entrada de una línea infinita es igual a la impedancia característica ya que la onda transmitida nunca se refleja desde el final. Equivalentemente: La impedancia característica de una línea es aquella impedancia que, al terminar una longitud arbitraria de línea en su salida, produce una impedancia de entrada de igual valor. Esto es así porque no hay reflexión sobre una línea terminada en su propia impedancia característica.

Esquemática del modelo de Heaviside de un segmento infinitesimal de la línea de transmisión.

Al aplicar el modelo de línea de transmisión basado en las ecuaciones del telegrafista que se derivan a continuación, la expresión general para la impedancia característica de una línea de transmisión es:

Zo=R+j⋅ ⋅ LG+j⋅ ⋅ C{displaystyle Z_{text{o}={sqrt {fnMicroc {R+jomega L}{G+jomega C} }

dónde

R{displaystyle R. es la resistencia por longitud de unidad, considerando los dos conductores para ser en serie,

L{displaystyle L. es la inductancia por longitud de unidad,

G{displaystyle G. es la conducta de la longitud dieléctrica por unidad,

C{displaystyle C} es la capacitancia por longitud de unidad,

j{displaystyle j} es la unidad imaginaria, y

⋅ ⋅ {displaystyle omega } es la frecuencia angular.

Esta expresión se extiende a DC dejando ⋅ ⋅ {displaystyle omega } tiende a 0.

Un aumento de energía en una línea de transmisión finita verá una impedancia Zo{displaystyle Z_{text{o}} antes de cualquier reflexión que regrese; por lo tanto impedancias es un nombre alternativo impedancia característica. Aunque se asume una línea infinita, ya que todas las cantidades son por longitud de unidad, las partes "por longitud" de todas las unidades cancelan, y la impedancia característica es independiente de la longitud de la línea de transmisión.

Los fasores de tensión y corriente en la línea están relacionados por la impedancia característica como:

V()+)I()+)=Zo=− − V()− − )I()− − ){displaystyle {frac {fnK}{I_{(+)}}=Z_{text{o}=-{frac {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}} {cH}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}

donde los subíndices (+) y (-) marcan las constantes separadas para las ondas que viajan hacia adelante (+) y hacia atrás (-).

Derivación

Usando la ecuación del telegrafista

Considere una sección de la línea de transmisión para la derivación de la impedancia característica. El voltaje a la izquierda sería V y en el lado derecho sería V + dV. Esta figura debe ser utilizada tanto para los métodos derivados.

Las ecuaciones diferenciales que describen la dependencia del voltaje y la corriente en el tiempo y el espacio son lineales, por lo que una combinación lineal de soluciones es de nuevo una solución. Esto significa que podemos considerar soluciones con una dependencia temporal ej⋅ ⋅ t{displaystyle e^{jomega t}} – hacerlo es funcionalmente equivalente a la resolución de los coeficientes Fourier para tensión y amplitudes actuales en alguna frecuencia angular fija ⋅ ⋅ .{displaystyle omega .} Hacerlo hace que la dependencia del tiempo se destaque, dejando una ecuación diferencial ordinaria para los coeficientes, que será fáser, dependiendo de la posición (espacio). Además, los parámetros pueden generalizarse para ser dependientes de la frecuencia.

Dejar

V()x,t)↑ ↑ V()x)e+j⋅ ⋅ t{displaystyle V(x,t)equiv V(x) e^{+jomega t}

y

I()x,t)↑ ↑ I()x)e+j⋅ ⋅ t{displaystyle I(x,t)equiv I(x) e^{+jomega t}

Tome la dirección positiva para V{displaystyle V} y I{displaystyle Yo... en el bucle para ser el reloj.

Encontramos que

dV=− − ()R+j⋅ ⋅ L)Idx=− − Z.Idx{displaystyle mathrm {d} V=-(R+jomega L) I mathrm {d} x=-Z' I mathrm {d} x }

y

dI=− − ()G+j⋅ ⋅ C)Vdx=− − Y.Vdx{displaystyle mathrm {d} I=-(G+jomega C) V mathrm {d} x=-Y' V\mathrm {d} x }

o

dVdx=− − Z.I{displaystyle {frac {m}V}{mhm}=-Z'qquad y dIdx=− − Y.V{displaystyle qquad {m} {m} {m} {m}}=-Y' V}

dónde

Z.↑ ↑ R+j⋅ ⋅ L{displaystyle Z'equiv R+jomega Lqquad} y Y.↑ ↑ G+j⋅ ⋅ C.{displaystyle qquad Y'equiv G+jomega C~.}

Estas dos ecuaciones de primer orden se desacoplan fácilmente mediante una segunda diferenciación, con los resultados:

d2Vdx2=Z.Y.V{displaystyle {frac {mathrm} {cH00} {m}}=Z'Y' V}

y

d2Idx2=Z.Y.I{displaystyle {frac {mathrm} {fn} {fn}}}=Z'Y' I}

Note que ambos V{displaystyle V} y I{displaystyle Yo... satisfacer la misma ecuación.

Desde Z.Y.{displaystyle Z'Y'} es independiente de x{displaystyle x} y t{displaystyle t}, puede ser representado por una única constante − − k2.{displaystyle -k^{2}.} (El signo menos está incluido para mayor comodidad.) Es decir:

− − k2↑ ↑ Z.Y.{displaystyle - ¿Qué? Z'Y'

entonces

jk=± ± Z.Y.{displaystyle j k=pm {fnMicrosoft Sans Serif}}

Podemos escribir la ecuación anterior como

k=± ± ⋅ ⋅ ()L− − jR/⋅ ⋅ )()C− − jG/⋅ ⋅ )=± ± ⋅ ⋅ LC()1− − jR⋅ ⋅ L)()1− − jG⋅ ⋅ C){displaystyle k=pm omega {sqrt {left(L-jR/omega right)left(C-jG/omega right) }=pm omega {sqrt {LC}}{sqrt {left(1-j{frac {R}mega L}right)left(1-j{frac {G}{omega C}right) }

que es correcto para cualquier línea de transmisión en general. Y para líneas de transmisión típicas, que se construyen cuidadosamente desde alambre con baja resistencia a la pérdida R{displaystyle R} y pequeña conducta de fuga de aislamiento G{displaystyle G }; además, utilizado para altas frecuencias, la reacción inductiva ⋅ ⋅ L{displaystyle omega L } y la admisión capacitiva ⋅ ⋅ C{displaystyle omega C } ambos serán grandes, así que la constante k{displaystyle k } está muy cerca de ser un número real:

k.. ± ± ⋅ ⋅ LC.{displaystyle kapprox pm omega {sqrt {LC }~}

Con esta definición k,{displaystyle k} la posición o x{displaystyle x }- La parte dependiente aparecerá como ± ± jkx{displaystyle pm j k x } en las soluciones exponenciales de la ecuación, similar a la parte dependiente del tiempo +j⋅ ⋅ t,{displaystyle +j\omega t} así que la solución lee

V()x)=v()+)e− − jkx+v()− − )e+jkx{displaystyle V(x)=v_{(+)} e^{-jkx}+v_{(-)}e^{+jkx}

Donde v()+){displaystyle v_{(+)} y v()− − ){displaystyle v_{(-)} son las constantes de la integración para el movimiento hacia adelante (+) y las ondas hacia atrás (−), como en la sección anterior. Cuando recombine la parte dependiente del tiempo obtenemos la solución completa:

V()x,t)=V()x)e+j⋅ ⋅ t=v()+)e− − jkx+j⋅ ⋅ t+v()− − )e+jkx+j⋅ ⋅ t.{displaystyle V(x,t)~=~V(x) e^{+jomega t}~=~v_{(+)} e^{-jkx+jomega t}+v_{(-)}e^{+jkx+jomega t}

Desde la ecuación I{displaystyle Yo... es la misma forma, tiene una solución de la misma forma:

I()x)=i()+)e− − jkx+i()− − )e+jkx,{displaystyle I(x)=i_{(+)} E^{-jkx}+i_{-)} e^{+jkx}

Donde i()+){displaystyle i_{(+)} y i()− − ){displaystyle i_{(-)} son una vez más constantes de integración.

Las ecuaciones anteriores son la solución de onda para V{displaystyle V} y I{displaystyle Yo.... Para ser compatibles, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales originales, una de las cuales es

dVdx=− − Z.I.{displaystyle {fnMicroc {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Sustitución de soluciones V{displaystyle V} y I{displaystyle Yo... en la ecuación anterior, tenemos

ddx[v()+)e− − jkx+v()− − )e+jkx]=− − ()R+j⋅ ⋅ L)[i()+)e− − jkx+i()− − )e+jkx]{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}ccH}cccHFF} e^ {cH}ccH00}ccH00}ccH00}cH00}ccH00}cccH00}cH00}cH00}cccH00}cccH00}cH00}cH00}ccH00}ccH00}cccH00}cH00}cccccccccccccccccH00cccH00}ccH00}cH00}ccH00}ccH00}ccH00}cccH

o

− − jkv()+)e− − jkx+jkv()− − )e+jkx=− − ()R+j⋅ ⋅ L)i()+)e− − jkx− − ()R+j⋅ ⋅ L)i()− − )e+jkx{displaystyle -jk v_{(+)} e^{-jkx}+jk v_{(-)} e^{+jkx}=-(R+jomega L) i_{(+)} e^{-jkx}-(R+jomega L) i_{(-)}e^{+k}

Isolating distinct powers of e{displaystyle e} y combinando poderes idénticos, vemos que para que la ecuación anterior se mantenga para todos los valores posibles de x{displaystyle x } Debemos tener:

Para los coeficientes de e− − jkx:− − jkv()+)=− − ()R+j⋅ ⋅ L)i()+){displaystyle e^{-jkx}quad {text{: }quad -j k v_{(+)}=-(R+jomega L) i_{(+)}

Para los coeficientes de e+jkx:+jkv()− − )=− − ()R+j⋅ ⋅ L)i()− − ){displaystyle e^{+jkx}quad {text{: }quad +j k v_{(-)}=-(R+jomega L) i_{(-)}

Desde jk=()R+j⋅ ⋅ L)()G+j⋅ ⋅ C){displaystyle jk={sqrt {(R+jomega L)(G+jomega C) }} }

+v()+)i()+)=R+j⋅ ⋅ Ljk=R+j⋅ ⋅ LG+j⋅ ⋅ C↑ ↑ Zo{displaystyle +{frac {v_{(+)}{i_{(+)}={frac {R+jomega L}{sqrt {frac} {fnMicroc} {R+jomega L}{G+jomega C} }equiv Z_{text{o} }

− − v()− − )i()− − )=R+j⋅ ⋅ Ljk=R+j⋅ ⋅ LG+j⋅ ⋅ C↑ ↑ Zo{displaystyle ~{frac {c}{i_{(-)}={frac}}={frac {R+jomega L}{sqrt {frac} {fnMicroc} {R+jomega L}{G+jomega C} }equiv Z_{text{o} }

por lo tanto, para soluciones válidas se requiere

v()+)=+Zoi()+)yv()− − )=− − Zoi()− − ){displaystyle v_{(+)}=+Z_{text{o} i_{(+)}quad {text{ and }quad v_{(-)}=-Z_{text{o} i...

Se puede ver que la constante Zo{displaystyle Z_{text{o}}, definido en las ecuaciones anteriores tiene las dimensiones de impedancia (ratio de tensión a corriente) y es una función de constantes primarias de la línea y frecuencia de operación. Se llama la "impedancia característica" de la línea de transmisión, y convencionalmente denotado por Zo{displaystyle Z_{text{o}}.

Zo=R+j⋅ ⋅ LG+j⋅ ⋅ C=LC1− − j()R⋅ ⋅ L)1− − j()G⋅ ⋅ C){displaystyle Z_{text{o}quad = 'quad {sqrt {{frac {R+jomega L}{G+jomega {fnK} {fnMicroc {f} {fnK}}} {fnK}} {sqrt {\fnfn} {fnf} {fnK} {fnMicroc} {f} {fnK}} {f}} {fnK}f}}}f}f}f}f}}}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}fnKf}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}fn}fnKf}f}f}f}f}}}}f}fn

que contiene generalmente, para cualquier línea de transmisión. Para líneas de transmisión funcionales, con cualquiera R{displaystyle R} y G{displaystyle G } ambos muy pequeños, o con ⋅ ⋅ {displaystyle omega } muy alto, o todo lo anterior, obtenemos

Zo.. LC{displaystyle Z_{text{o}approx {fnMicroc} {L} {C}f}

por lo tanto, la impedancia característica suele estar muy cerca de ser un número real. Los fabricantes fabrican cables comerciales para aproximarse mucho a esta condición en una amplia gama de frecuencias.

Enfoque alternativo

Seguimos un enfoque publicado por Tim Healy. La línea es modelada por una serie de segmentos diferenciales con series diferenciales ()Rdx,Ldx){displaystyle left(R\mathrm {d} x,L\mathrm {d} xright) } y shunt ()Cdx,Gdx){displaystyle left(Cmathrm {d} x,G\mathrm {d} xright) } elementos (como se muestra en la figura anterior). La impedancia característica se define como la relación del voltaje de entrada a la corriente de entrada de una longitud semiinfinita de la línea. Llamamos a esta impedancia Zo.{fnMicrosoft Sans Serif} Es decir, la impedancia mirando a la línea de la izquierda es Zo.{fnMicrosoft Sans Serif} Pero, por supuesto, si bajamos por la línea una longitud diferencial dx,{displaystyle mathrm {d} x} la impedancia en la línea sigue siendo Zo.{fnMicrosoft Sans Serif} Por lo tanto podemos decir que la impedancia que mira en la línea de la izquierda es igual a Zo{displaystyle Z_{mathrm}} en paralelo con Cdx{displaystyle Cmathrm {d} x } y Gdx,{displaystyle Gmathrm {d} x} todo lo cual es en serie con Rdx{displaystyle Rmathrm {d} x } y Ldx.{displaystyle Lmathrm {d} x.} Por lo tanto:

Zo=()R+j⋅ ⋅ L)dx+1()G+j⋅ ⋅ C)dx+1Zo{displaystyle Z_{mathrm {o}=(R+jomega L) mathrm {d} x+{frac {1}{~(G+jomega C)mathrm {d} x+{frac {1}{\\fn0}{fn0}{fn0}{fn0}}}} {f}}}}}{f}f}fnfn9}fn9}fn9}fn9fn9}}fn9}fn9fn9}fn9}fn9}fn9fn9fn9}fn4fn9fn9fn4fn1}}fn1}fn4fnh00}fn1}fn9fn1}fn9fn4fnfnh00}}}}}fn ¿Qué?

Zo=()R+j⋅ ⋅ L)dx+ZoZo()G+j⋅ ⋅ C)dx+1{displaystyle Z_{mathrm {o}=(R+jomega L) mathrm {d} x+{frac {\ Z_{mathrm {o} }{Z_{\mathrm {o}ggf}ccccH00}cH00}cH0}cH0}

Zo+Zo2()G+j⋅ ⋅ C)dx=()R+j⋅ ⋅ L)dx+Zo()G+j⋅ ⋅ C)dx()R+j⋅ ⋅ L)dx+Zo################################################################################################################################################################################################################################################################

El añadido Zo{displaystyle Z_{mathrm}} los términos cancelan, dejando

Zo2()G+j⋅ ⋅ C)dx=()R+j⋅ ⋅ L)dx+Zo()G+j⋅ ⋅ C)()R+j⋅ ⋅ L)()dx)2{displaystyle Z_{mathrm {o} {2} (G+jomega C)\\mathrm {d} x=(R+jomega L)mathrm {d} x+Z_{mathrm {o} (G+jomega C) (R+jomega L)}d xhrm}

El primer poder dx{displaystyle mathrm {d} x } los términos son el más alto orden restante. Dividir el factor común de dx,{displaystyle mathrm {d} x} y dividir por el factor ()G+j⋅ ⋅ C),{displaystyle (G+jomega C)} nosotros

Zo2=()R+j⋅ ⋅ L)()G+j⋅ ⋅ C)+Zo()R+j⋅ ⋅ L)()dx).{displaystyle Z_{mathrm {o} {2}={frac {(R+jomega L)}{ (G+jomega C) [R+jomega L) (mathrm {d} x)}

En comparación con los factores dx{displaystyle mathrm {d} x } dividido, el último término, que todavía lleva un factor restante dx,{displaystyle mathrm {d} x} es infinitesimal relativo al otro, ahora términos finitos, por lo que podemos dejarlo caer. Eso conduce a

Zo=± ± R+j⋅ ⋅ LG+j⋅ ⋅ C.{displaystyle Z_{mathrm}=pm {sqrt {fnMicroc} # R+jomega L }{G+jomega C} }

Invertir el signo ± aplicado a la raíz cuadrada tiene el efecto de invertir la dirección del flujo de corriente.

Línea sin pérdidas

El análisis de líneas sin pérdidas proporciona una aproximación precisa para líneas de transmisión reales que simplifica las matemáticas consideradas en el modelado de líneas de transmisión. Una línea sin pérdidas se define como una línea de transmisión que no tiene resistencia de línea ni pérdida dieléctrica. Esto implicaría que los conductores actúan como conductores perfectos y el dieléctrico actúa como un dieléctrico perfecto. Para una línea sin pérdidas, tanto R como G son cero, por lo que la ecuación para la impedancia característica derivada anteriormente se reduce a:

Zo=LC.{displaystyle Z_{text{o}={sqrt {fnMicroc {L} {C}}~}~}

En particular, Zo{displaystyle Z_{text{o}} no depende más de la frecuencia. La expresión anterior es totalmente real, ya que el término imaginario j ha cancelado, implicando que Zo{displaystyle Z_{text{o}} es puramente resistivo. Para una línea sin pérdidas terminada en Zo{displaystyle Z_{text{o}}, no hay pérdida de corriente a través de la línea, y por lo tanto el voltaje permanece igual a lo largo de la línea. El modelo de línea sin pérdidas es una aproximación útil para muchos casos prácticos, como líneas de transmisión de baja pérdida y líneas de transmisión con alta frecuencia. Para ambos casos, R y G son mucho más pequeños que ⋅L y ⋅C, respectivamente, y puede ser ignorado.

Las soluciones a las ecuaciones de transmisión de línea larga incluyen partes incidentes y reflejadas del voltaje y la corriente:

V=Vr+IrZc2eγ γ x+Vr− − IrZc2e− − γ γ x{displaystyle V={frac {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fnh}}}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}\\\cH}}}}\cH0}}}}}}}\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\c}\c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cHc}c}c}c}c}cHc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}} x}+{frac {fnh}-I_{c} {2}e^{-gamma} #

I=Vr/Zc+Ir2eγ γ x− − Vr/Zc− − Ir2e− − γ γ x{displaystyle I={frac {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh} {fnh}}}} {fn}}}}}}} {fnfn}}}} {fnf}}}}} x}-{frac [V_{r}/Z_{c}-I_{r} {2}e^{-gamma} #

Impedancia de sobretensión de carga

En la transmisión de energía eléctrica, la impedancia característica de una línea de transmisión se expresa en términos de la carga de impedancia transitoria (SIL), o carga natural, siendo la carga de potencia en el que no se produce ni se absorbe potencia reactiva:

SIL=VLL2Z0{fnMicrosoft}={fnMicroc {{V_{mathrm {LL} } {2} {Z_{0}}}

en que VLL{displaystyle V_{mathrm {}}} es el voltaje de línea a línea RMS en voltios.

Con carga por debajo de su SIL, el voltaje en la carga será mayor que el voltaje del sistema. Por encima de él, el voltaje de carga está deprimido. El efecto Ferranti describe la ganancia de voltaje hacia el extremo remoto de una línea de transmisión con carga muy ligera (o extremo abierto). Los cables subterráneos normalmente tienen una impedancia característica muy baja, lo que da como resultado un SIL que suele exceder el límite térmico del cable.

Ejemplos prácticos

La impedancia característica de los cables coaxiales (coax) suele elegirse para ser 50 Ω para aplicaciones de RF y microondas. El coaxial para aplicaciones de video suele ser 75 Ω por su menor pérdida.