Imagen de Schrödinger

En física, la Imagen de Schrödinger o Representación de Schrödinger es una formulación de mecánica cuántica en la que los vectores estatales evolucionan en el tiempo, pero los operadores (observables y otros) son principalmente constantes con respecto al tiempo (una excepción es el Hamiltonian que puede cambiar si el potencial V{displaystyle V} cambios). Esto difiere de la imagen de Heisenberg que mantiene constantes los estados mientras los observables evolucionan en el tiempo, y de la imagen de interacción en la que los estados y los observables evolucionan en el tiempo. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg están relacionadas como transformaciones activas y pasivas y las relaciones de conmutación entre operadores se conservan en el pasaje entre las dos imágenes.

En la imagen de Schrödinger, el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. La evolución para un sistema cuántico cerrado es provocada por un operador unitario, el operador de evolución del tiempo. Por el tiempo la evolución de un vector estatal Silencio↑ ↑ ()t0).. {displaystyle Нованияpsi (t_{0})rangle } a la vez t₀ a un vector de estado Silencio↑ ↑ ()t).. {displaystyle Нованыхpsi (t)rangle } a la vez t, el operador de tiempo-evolución es comúnmente escrito U()t,t0){displaystyle U(t,t_{0}}, y uno tiene

Silencio↑ ↑ ()t).. =U()t,t0)Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle Silenciopsi (t)rangle =U(t,t_{0})Sobrevivirpsi (t_{0}rangle.}

En el caso donde el hamiltoniano H del sistema no varía con el tiempo, el operador de evolución temporal tiene la forma

U()t,t0)=e− − iH⋅ ⋅ ()t− − t0)/▪ ▪ ,{displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iHcdot (t-t_{0}/hbar }}

donde el exponente se evalúa mediante su serie de Taylor.

El cuadro Schrödinger es útil cuando se trata de un Hamiltonian independiente H; es decir, ∂ ∂ tH=0{displaystyle partial _{t}H=0}.

Fondo

En la mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema cuántico-mecánico está representado por una función de onda de valor complejo ↑()x, t). Más abstractamente, el estado puede ser representado como un vector estatal, o ket, Silencio↑ ↑ .. {displaystyle TENED rangle }. Este ket es un elemento de un Hilbert espacio, un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador cuántico-mecánico es una función que toma un ket Silencio↑ ↑ .. {displaystyle TENED rangle } y devuelve otro barril Silencio↑ ↑ ... {displaystyle TENSI 'rangle }.

Las diferencias entre las imágenes de Schrödinger y Heisenberg de la mecánica cuántica giran en torno a cómo lidiar con sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema Debe ser llevado por alguna combinación de los vectores estatales y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado Silencio↑ ↑ .. {displaystyle TENED rangle } para el cual el valor de expectativa del impulso, .. ↑ ↑ Silenciop^ ^ Silencio↑ ↑ .. {displaystyle langle psi tención{hat {p}, oscila sinusoidalmente en el tiempo. Se puede preguntar si esta oscilación sinusoidal debe reflejarse en el vector estatal Silencio↑ ↑ .. {displaystyle TENED rangle }, el operador de impulso p^ ^ {displaystyle {hat {}}}, o ambos. Las tres opciones son válidas; la primera da la imagen de Schrödinger, la segunda la imagen de Heisenberg, y la tercera la imagen de interacción.

El operador de evolución temporal

Definición

El operador de evolución temporal U(t, t₀) se define como el operador que actúa en el ket en el momento t₀ para producir el ket en algún otro momento t:

Silencio↑ ↑ ()t).. =U()t,t0)Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle Silenciopsi (t)rangle =U(t,t_{0})Sobrevivirpsi (t_{0}rangle.}

Para sujetadores,

.. ↑ ↑ ()t)Silencio=.. ↑ ↑ ()t0)SilencioU† † ()t,t0).{displaystyle langle psi (t) arrest=langle psi (t_{0}) habitU^{dagger }(t,t_{0}). }

Propiedades

Unitarity

El operador de evolución temporal debe ser unitario. Porque la norma de la ket estatal no debe cambiar con el tiempo. Eso es,

.. ↑ ↑ ()t)Silencio↑ ↑ ()t).. =.. ↑ ↑ ()t0)SilencioU† † ()t,t0)U()t,t0)Silencio↑ ↑ ()t0).. =.. ↑ ↑ ()t0)Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle langle psi (t) arrestpsi (t)rangle =langle psi (t_{0}) habitU^{dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0}) arrestpsi (t_{0})rangle =langle psi (t_{0})

Por lo tanto,

U† † ()t,t0)U()t,t0)=I.{displaystyle U^{dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0}=I.}

Identidad

Cuando t= t₀, U es el operador de identidad, ya que

Silencio↑ ↑ ()t0).. =U()t0,t0)Silencio↑ ↑ ()t0).. .{displaystyle Silenciopsi (t_{0})rangle =U(t_{0},t_{0}) durablepsi (t_{0})rangle.}

Clausura

Evolución del tiempo t₀ a t puede ser visto como una evolución del tiempo de dos pasos, primero desde t₀ a un tiempo intermedio t₁, y luego de t₁ a la hora final t. Por lo tanto,

U()t,t0)=U()t,t1)U()t1,t0).{displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}). }

Ecuación diferencial para el operador de evolución temporal

Eliminamos el índice t₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t₀ = 0 y escríbalo como U(t). La ecuación de Schrödinger es

i▪ ▪ ∂ ∂ ∂ ∂ tSilencio↑ ↑ ()t).. =HSilencio↑ ↑ ()t).. ,{displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}Sobrevivirpsi (t)rangle =H sobrevivirpsi (t)rangle}

Silencio↑ ↑ ()t).. =U()t)Silencio↑ ↑ ()0).. {displaystyle Никованы (t)rangle =U(t)

i▪ ▪ ∂ ∂ ∂ ∂ tU()t)Silencio↑ ↑ ()0).. =HU()t)Silencio↑ ↑ ()0).. .{displaystyle ihbar {partial overpartial t}U(t)tenciónpsi (0)rangle =HU(t) perpetuapsi (0)rangle.}

Desde Silencio↑ ↑ ()0).. {displaystyle TENED (0)rangle } es un ket constante (el ket del estado en t = 0), y como la ecuación anterior es verdadera para cualquier cet constante en el espacio Hilbert, el operador de evolución del tiempo debe obedecer la ecuación

i▪ ▪ ∂ ∂ ∂ ∂ tU()t)=HU()t).{displaystyle ihbar {frac {partial }U(t)=HU(t). }

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución a la ecuación anterior es

U()t)=e− − iHt/▪ ▪ .{displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }

Dado que H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse mediante su serie de Taylor:

e− − iHt/▪ ▪ =1− − iHt▪ ▪ − − 12()Ht▪ ▪ )2+⋯ ⋯ .{displaystyle e^{-iHt/hbar }=1-{frac {IHt}{hbar {fnMicrosoft Sans Serif}

Por lo tanto,

Silencio↑ ↑ ()t).. =e− − iHt/▪ ▪ Silencio↑ ↑ ()0).. .{displaystyle Silenciopsi (t)rangle =e^{-iHt/hbar } eternapsi (0)rangle.}

Note que Silencio↑ ↑ ()0).. {displaystyle TENED (0)rangle } es un barril arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un eigenstat del Hamiltonian, con eigenvalue E:

Silencio↑ ↑ ()t).. =e− − iEt/▪ ▪ Silencio↑ ↑ ()0).. .{displaystyle Silenciopsi (t)rangle =e^{-iEt/hbar } eternapsi (0)rangle.}

Los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios: solo adquieren un factor de fase general a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

U()t)=exp⁡ ⁡ ()− − i▪ ▪ ∫ ∫ 0tH()t.)dt.),{displaystyle U(t)=exp left({-{-{frac {i}{hbar }int _{0}^{t}H(t'),dt'}right),}

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no se conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

U()t)=Texp⁡ ⁡ ()− − i▪ ▪ ∫ ∫ 0tH()t.)dt.),{displaystyle U(t)=mathrm {T} exp left({-{-{frac {i}{hbar }int _{0} {t} {t'},dt'}right),}}

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un sistema de referencia giratorio, que a su vez es girado por el propagador. Dado que la rotación ondulatoria ahora la asume el propio sistema de referencia, una función de estado no perturbada parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg.

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H_S, donde H_0,S es el hamiltoniano libre,

Evolución de:	Imagen v t e )
	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interacción (I)
estado Ket	Silencio↑ ↑ S()t).. =e− − iHSt/▪ ▪ Silencio↑ ↑ S()0).. {displaystyle TEN _{rm}(t)rangle =e^{-iH_{rm} {fnMicrosoft Sans Serif}	constante	Silencio↑ ↑ I()t).. =eiH0,St/▪ ▪ Silencio↑ ↑ S()t).. {displaystyle Нpsi _{rm}(t)rangle =e^{iH_{0,mathrm {S} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}
Observable	constante	AH()t)=eiHSt/▪ ▪ ASe− − iHSt/▪ ▪ {displaystyle A_{rm}(t)=e^{iH_{rm {S}~t/hbar. No.	AI()t)=eiH0,St/▪ ▪ ASe− − iH0,St/▪ ▪ {displaystyle A_{rm}(t)=e^{iH_{0,mathrm {S}~t/hbar }A_{rm} {S}e^{-iH_{0,mathrm {S} ~ t/hbar }
Matriz de densidad	*** *** S()t)=e− − iHSt/▪ ▪ *** *** S()0)eiHSt/▪ ▪ {displaystyle rho _{rm {S}(t)=e^{-iH_{rm} {S}~t/hbar }rho _{rm {S}(0)e^{iH_{rm No.	constante	*** *** I()t)=eiH0,St/▪ ▪ *** *** S()t)e− − iH0,St/▪ ▪ {displaystyle rho _{rm}(t)=e^{iH_{0,mathrm {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}(t)e^{-iH_{0,mathrm {S} ~ t/hbar }