Imagen de interacción

En la mecánica cuántica, la imagen de interacción (también conocida como la representación de interacción o Dirac Imagen después de Paul Dirac, quien lo presentó) es Una representación intermedia entre la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg. Mientras que en las otras dos imágenes, el vector de estado o los operadores llevan dependencia del tiempo, en la imagen de interacción llevan parte de la dependencia del tiempo de los observables. La imagen de interacción es útil para tratar los cambios en las funciones de onda y los observables debido a las interacciones. La mayoría de los cálculos teóricos de campo utilizan la representación de interacción porque construyen la solución a la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución al problema de partículas libres más algunas partes de interacción desconocidas.

Ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes momentos, que se mantienen en la imagen de interacción, no necesariamente se mantienen en la imagen de Schrödinger o Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan los operadores en una imagen con los operadores análogos en los demás.

La imagen de interacción es un caso especial de transformación unitaria aplicada a los vectores hamiltonianos y estatales.

Definición

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base (transformación unitaria) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos la imagen hamiltoniana de Schrödinger en dos partes:

Cualquier posible elección de piezas producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes normalmente se elegirán de modo que H_0,S se entienda bien y se pueda resolver exactamente., mientras que H_1,S contiene algunas perturbaciones más difíciles de analizar en este sistema.

Si el Hamiltonian tiene explícito tiempo-dependencia (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), por lo general será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con H_1,S, salir H_0,S tiempo-independiente. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si hay es un contexto en el que tiene sentido tener H_0,S ser dependiente del tiempo, entonces uno puede proceder reemplazando ${displaystyle mathrm {e} ^{pm mathrm {i} ¿Qué?$ por el operador de tiempo-evolución correspondiente en las definiciones siguientes.

Vectores de estado

Vamos. ${displaystyle Нpsi _{text{S}(t)rangle =mathrm {e} ^{-mathrm {i} ¿Qué?$ ser el vector estatal dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Un vector de estado en el cuadro de interacción, ${displaystyle ← _{I}(t)rangle }$, se define con una transformación unitaria adicional dependiente del tiempo.

Operadores

Un operador en la imagen de interacción se define como

Tenga en cuenta que A_S(t) normalmente no dependerá de t y se puede reescribir simplemente como A_S. Solo depende de t si el operador tiene una "dependencia temporal explícita", por ejemplo, debido a su dependencia sobre un campo eléctrico externo aplicado y variable en el tiempo. Otro ejemplo de dependencia temporal explícita puede ocurrir cuando A_S(t) es una matriz de densidad (ver más abajo).

Operadora hamiltoniana

Para el operador ${displaystyle H_{0}$ en sí mismo, el cuadro de interacción y el cuadro Schrödinger coinciden:

${displaystyle ¿Qué? ¿Qué? Sí.$

Esto se ve fácilmente a través del hecho de que los operadores se comunican con funciones diferentes de ellos mismos. Este operador en particular se puede llamar ${displaystyle H_{0}$ sin ambigüedad.

Para la perturbación Hamiltonian ${displaystyle H_{1,{I}}}$, sin embargo,

${displaystyle ¿Qué? ¿Qué?$

donde la perturbación de la interacción-imagen hamiltoniana se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [H_1,S, H_0,S] = 0.

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano H_0,S(t) dependiente del tiempo, pero el Los exponenciales deben ser reemplazados por el propagador unitario para la evolución generada por H_0,S(t), o más explícitamente con un tiempo- integral exponencial ordenada.

Matriz de densidad

Se puede mostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, dejemos que ρ_I y ρ< sub>S sean las matrices de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger respectivamente. Si existe probabilidad p_n de estar en el estado físico |ψ _n⟩, entonces

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}}f}f}f}f}f}f}fnKf}fnKfnKfnKfnKf}fnKfnKfnKfnKcH0}fnKf}fnKfnKfnKfnKf}fnKfnKcH0fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKcH0}f}fnKf}fnK }left uponpsi _{n,{text{S}} {t)rightrangle leftlangle psi _{n,{text{S}} {t)right sobre la vidamathrm {e} } {m} {m} {m} ¿Qué? ¿Qué? No. }.$

Evolución del tiempo

Evolución temporal de los estados

Al transformar la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción se obtiene

${displaystyle mathrm {i} hbar {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} - ¿Qué?$

que establece que en la imagen de interacción, un estado cuántico se evoluciona por la parte de interacción del hamiltoniano como se expresa en la imagen de interacción. Se da una prueba en Fetter y Walecka.

Evolución temporal de los operadores

Si el operador a _s es independiente del tiempo (es decir, no tiene dependencia de tiempo explícita "; ver arriba), entonces el correspondiente La evolución del tiempo para a _i ( t ) es dada por

${displaystyle mathrm {i} hbar {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}A_{text{I}(t)=[A_{text{I}(t),H_{0,{text{S}}].$

En la imagen de interacción los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano H' = H₀.

Evolución temporal de la matriz de densidad

La evolución de la matriz de densidad en la imagen de interacción es

${displaystyle mathrm {}hbar {frac {mathrm {d}{mathrm {d}}rho _{text{I}}(t)=[H_{1,{text{I} {}(t),rho _{text{I}} {} t)}}} {} {f} {f} {f}} {f}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

en coherencia con la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción.

Valores de expectativa

Para un operador general ${displaystyle A}$, el valor de expectativa en el cuadro de interacción se da por

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Usando la expresión de matriz de densidad para el valor esperado, obtendremos

${displaystyle langle A_{text{I}(t)rangle =operatorname {Tr} {big (}rho _{text{I}(t),A_{text{I} {i}(t){big)}}}}}$

ecuación de Schwinger - Tomonaga

El término representación de interacción fue inventada por Schwinger. En esta nueva representación mixta, el vector de estado ya no es constante en general, pero es constante si no hay acoplamiento entre los campos. El cambio de representación conduce directamente a la ecuación de Tomonaga -Schwinger:

${displaystyle ihc{frac {partial Psi [sigma]}{partial sigma (x)}}={hat {H}}(x)Psi (sigma)}$

${displaystyle {hat {H}(x)=-{frac {1}{c}j_{mu }(x)A^{mu }(x)}$

Donde el Hamiltoniano en este caso es la interacción QED Hamiltonian, pero también puede ser una interacción genérica, y ${displaystyle sigma }$ es una superficie espacial que está pasando por el punto ${displaystyle x}$. El derivado representa formalmente una variación sobre esa superficie dada ${displaystyle x}$ fijo. Es difícil dar una interpretación formal matemática precisa de esta ecuación.

Este enfoque se llama el ' diferencial y campo ' enfoque de Schwinger, a diferencia del ' integral y de partículas ' Enfoque de los diagramas de Feynman.

La idea central es que si la interacción tiene una pequeña constante de acoplamiento (es decir, en el caso del electromagnetismo del orden de la estructura fina constante) los términos perturbativos sucesivos serán las potencias de la constante de acoplamiento y, por lo tanto, más pequeñas.

use

El propósito de la imagen de interacción es derivar toda la dependencia del tiempo debido a h ₀ a los operadores, lo que les permite evolucionar libremente y dejando solo H _{1, i} para controlar la evolución temporal de los vectores estatales.

La imagen de interacción es conveniente cuando se considera el efecto de un pequeño término de interacción, h _{1, s} , que se agrega al hamiltoniano de un sistema resuelto, H _{0, s} . Al utilizar la imagen de interacción, se puede usar la teoría de perturbación dependiente del tiempo para encontrar el efecto de h _{1, i} , por ejemplo, en la derivación de Fermi ' s Golden Regla, o la serie Dyson en la teoría de campo cuántico: en 1947, Shin ' Ichirō Tomonaga y Julian Schwinger apreciaron que la teoría de perturbación covariante podría formularse elegantemente en la imagen de interacción, ya que los operadores de campo pueden evolucionar en el tiempo como campos libres, incluso en La presencia de interacciones, ahora tratada perturbativamente en una serie de Dyson.

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo h _s , donde h _{0, s} es el hamiltoniano libre,

Evolución de:	Imagen v t e )
	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interaction (I)
Estado Ket	${displaystyle TEN _{rm}(t)rangle =e^{-iH_{rm} {fnMicrosoft Sans Serif}$	constante	${fnMicrosoft Sans Serif}(t)rangle =e^{iH_{0,mathrm {S} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$
Observable	constante	${displaystyle A_{rm}(t)=e^{iH_{rm {S}~t/hbar. No.$	${displaystyle A_{rm}(t)=e^{iH_{0,mathrm {S}~t/hbar }A_{rm} {S}e^{-iH_{0,mathrm {S}~t/hbar}$
Matriz de densidad	${displaystyle rho _{rm {S}(t)=e^{-iH_{rm {S}~t/hbar }rho _{rm {S}(0)e^{iH_{rm} No.$	constante	${displaystyle rho _{rm}(t)=e^{iH_{0,mathrm {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}(t)e^{-iH_{0,mathrm {S}~t/hbar}$