Igualdad (matemáticas)

En matemáticas, igualdad es una relación entre dos cantidades o, más generalmente, dos expresiones matemáticas, afirmando que las cantidades tienen el mismo valor, o que las expresiones representan el mismo objeto matemático. La igualdad entre A y B se escribe A = B, y pronunciado A es igual a B. El símbolo "=" se llama "signo igual". Dos objetos que no son iguales se dice que son distintos.

Por ejemplo:

• x=Sí.{displaystyle x=y} significa que x y Sí. denota el mismo objeto.
• La identidad ()x+1)2=x2+2x+1{displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1} significa que si x es cualquier número, entonces las dos expresiones tienen el mismo valor. Esto también puede interpretarse como decir que los dos lados del signo igual representan la misma función.
• {}x▪ ▪ P()x)}={}x▪ ▪ Q()x)}{displaystyle {xmid P(x)}={xmid Q(x)} si P()x).. Q()x).{displaystyle P(x)Leftrightarrow Q(x).} Esta aserción, que utiliza la notación del constructor de conjuntos, significa que si los elementos satisfacen la propiedad P()x){displaystyle P(x)} son los mismos que los elementos que satisfacen Q()x),{displaystyle Q(x),} entonces los dos usos de la notación de configuración definen el mismo conjunto. Esta propiedad se expresa a menudo como "dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales". Es uno de los axiomas habituales de la teoría del conjunto, llamado axioma de la extensiónalidad.

Etimología

La etimología de la palabra es del latín aequālis (“igual”, “como”, “comparable”, “similar”) de aequus (“igual”, “nivel”, “justo”, “justo”).

Propiedades básicas

Estas tres últimas propiedades hacen de la igualdad una relación de equivalencia. Originalmente se incluyeron entre los axiomas de Peano para números naturales. Aunque las propiedades simétricas y transitivas a menudo se consideran fundamentales, se pueden deducir de las propiedades de sustitución y reflexivas.

Igualdad como predicado

Cuando A y B no están completamente especificados o dependen de algunas variables, la igualdad es una proposición, que puede ser verdadera para algunos valores y falsa para otros valores. La igualdad es una relación binaria (es decir, un predicado de dos argumentos) que puede producir un valor de verdad (falso o verdadero) a partir de sus argumentos. En programación informática, su cálculo a partir de las dos expresiones se conoce como comparación.

Identidades

Cuando A y B puede ser visto como funciones de algunas variables, entonces A=B significa que A y B definir la misma función. Tal igualdad de funciones a veces se llama identidad. Un ejemplo es ()x+1)()x+1)=x2+2x+1.{displaystyle left(x+1right)left(x+1right)=x^{2}+2x+1.} A veces, pero no siempre, una identidad está escrita con una barra triple: ()x+1)()x+1)↑ ↑ x2+2x+1.{displaystyle left(x+1right)left(x+1right)equiv x^{2}+2x+1.}

Ecuaciones

Una ecuación es un problema de encontrar valores de algunas variables, llamadas desconocidos, para lo cual la igualdad especificada es verdadera. El término "ecuación" también puede referirse a una relación de igualdad que sólo se satisface por los valores de las variables que uno está interesado. Por ejemplo, x2+Sí.2=1{displaystyle x^{2}+y^{2}=1} es ecuación del círculo de la unidad.

No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad u otro uso de la relación de igualdad: uno tiene que adivinar una interpretación adecuada a partir de la semántica de las expresiones y el contexto. Se afirma que una identidad es verdadera para todos los valores de las variables en un dominio determinado. Una "ecuación" a veces puede significar una identidad, pero la mayoría de las veces, especifica que un subconjunto del espacio variable es el subconjunto donde la ecuación es verdadera.

Igualdad aproximada

Hay algunos sistemas lógicos que no tienen ninguna noción de igualdad. Esto refleja la indecidibilidad de la igualdad de dos números reales, definida por fórmulas que involucran los números enteros, las operaciones aritméticas básicas, el logaritmo y la función exponencial. En otras palabras, no puede existir ningún algoritmo para decidir tal igualdad.

La relación binaria "es aproximadamente igual" (denotado por el símbolo .. {displaystyle approx }) entre números reales u otras cosas, incluso si se define más precisamente, no es transitivo (ya que muchas pequeñas diferencias pueden añadir a algo grande). Sin embargo, la igualdad casi en todas partes es transitivo.

Una igualdad cuestionable bajo prueba puede indicarse con el símbolo ≟.

Relación con equivalencia, congruencia e isomorfismo

Vista como una relación, la igualdad es el arquetipo del concepto más general de una relación de equivalencia en un conjunto: aquellas relaciones binarias que son reflexivas, simétricas y transitivas. La relación de identidad es una relación de equivalencia. Por el contrario, sea R una relación de equivalencia, y denotemos por x^R la clase de equivalencia de x, que consta de todos los elementos z tales que x R z. Entonces la relación x R y es equivalente a la igualdad x^R = y^R. De ello se deduce que la igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto S en el sentido de que es la relación que tiene las clases de equivalencia más pequeñas (cada clase se reduce a un solo elemento).

En algunos contextos, la igualdad se distingue claramente de equivalencia o isomorfismo. Por ejemplo, se puede distinguir fracciones desde números racionales, este último es clases de equivalencia de fracciones: las fracciones 1/2{displaystyle 1/2} y 2/4{displaystyle 2/4} son diferentes como fracciones (como diferentes cadenas de símbolos) pero "representan" el mismo número racional (el mismo punto en una línea número). Esta distinción da lugar a la noción de un conjunto de cocientes.

Del mismo modo, los conjuntos

{}A,B,C}{displaystyle {text{A}},{text{B},{text{C}}}} y {}1,2,3}{displaystyle {1,2,3}}

no son conjuntos iguales (el primero consta de letras, mientras que el segundo consta de números), pero ambos son conjuntos de tres elementos y, por lo tanto, isomorfos, lo que significa que hay una biyección entre ellos. Por ejemplo

A↦ ↦ 1,B↦ ↦ 2,C↦ ↦ 3.{displaystyle {text{A}mapsto 1,{text{B}mapsto 2,{text{C}mapsto 3.}

Sin embargo, hay otras opciones de isomorfismo, como

A↦ ↦ 3,B↦ ↦ 2,C↦ ↦ 1,{displaystyle {text{A}mapsto 3,{text{B}mapsto 2,{text{C}mapsto 1,}

y estos conjuntos no se pueden identificar sin hacer esa elección: cualquier declaración que los identifique "depende de la elección de identificación". Esta distinción, entre igualdad e isomorfismo, es de fundamental importancia en la teoría de categorías y es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

En algunos casos, se puede considerar que iguales dos objetos matemáticos que son sólo equivalentes para las propiedades y la estructura que se consideran. La palabra congruencia (y el símbolo asociado .. {displaystyle cong }) se utiliza con frecuencia para este tipo de igualdad, y se define como el conjunto cociente de las clases de isomorfismo entre los objetos. En la geometría, por ejemplo, se dice que dos formas geométricas son iguales o congruentes cuando se puede mover a coincidir con la otra, y la relación igualdad/congruencia son las clases de isomorfismo de isometrías entre formas. Del mismo modo a los isomorfismos de conjuntos, la diferencia entre isomorfismos e igualdad/congruencia entre tales objetos matemáticos con propiedades y estructura fue una motivación para el desarrollo de la teoría de la categoría, así como para la teoría del tipo homotopy y fundaciones univalent.

Definiciones lógicas

Leibniz caracterizó la noción de igualdad de la siguiente manera:

Dados x y Sí., x = Sí. si y sólo si, dada cualquier predicación P, P()xSi y sólo si P()Sí.).

Igualdad en teoría de conjuntos

La igualdad de conjuntos se axiomatiza en la teoría de conjuntos de dos maneras diferentes, dependiendo de si los axiomas se basan en un lenguaje de primer orden con o sin igualdad.

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden con igualdad

En lógica de primer orden con igualdad, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos que contienen los mismos elementos son el mismo conjunto.

• Axioma lógico: x = Sí. ⇒ z, (z ▪ x. z ▪ Sí.)
• Axioma lógico: x = Sí. ⇒ z, (x ▪ z. Sí. ▪ z)
• Teoría de conjunto axioma: (z, (z ▪ x. z ▪ Sí.) ⇒ x = Sí.

La incorporación de la mitad del trabajo en la lógica de primer orden puede considerarse una mera cuestión de conveniencia, como señaló Lévy.

"La razón por la que tomamos cálculo predicado de primer orden igualdad es cuestión de conveniencia; por esto salvamos el trabajo de definir la igualdad y probar todas sus propiedades; esta carga es ahora asumida por la lógica."

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden sin igualdad

En la lógica de primer orden sin igualdad, dos conjuntos se definen como iguales si contienen los mismos elementos. Entonces el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos iguales están contenidos en los mismos conjuntos.

• Definición de teoría de conjunto: "x = Sí." significa 'z, (z ▪ x. z ▪ Sí.)
• Set theory axiom: x = Sí. ⇒ z, (x ▪ z. Sí. ▪ z)