Identidad jacobi

En matemáticas, la identidad de Jacobi es una propiedad de una operación binaria que describe cómo el orden de evaluación, la colocación de paréntesis en un producto múltiple, afecta el resultado de la operación. Por el contrario, para operaciones con la propiedad asociativa, cualquier orden de evaluación da el mismo resultado (no se necesitan paréntesis en un producto múltiple). La identidad lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi.

El producto cruzado a× × b{displaystyle atimes b} y la operación del soporte Lie [a,b]{displaystyle [a,b]} ambos satisfacen la identidad Jacobi. En la mecánica analítica, la identidad Jacobi está satisfecha por los corchetes Poisson. En la mecánica cuántica, está satisfecha por los operadores en un espacio de Hilbert y equivalentemente en la formulación espacial fase de la mecánica cuántica por el soporte Moyal.

Definición

Vamos +{displaystyle +} y × × {displaystyle times } ser dos operaciones binarias, y dejar 0{displaystyle 0} ser el elemento neutral +{displaystyle +}. El Identidad de Jacobi es

x× × ()Sí.× × z)+Sí.× × ()z× × x)+z× × ()x× × Sí.)=0.{displaystyle xtimes (ytimes z) + ytimes (ztimes x) + ztimes (xtimes y) = 0.}

Observe el patrón en las variables del lado izquierdo de esta identidad. En cada expresión posterior de la forma a× × ()b× × c){displaystyle atimes (btimes c)}, las variables x{displaystyle x}, Sí.{displaystyle y} y z{displaystyle z} son permutados según el ciclo x↦ ↦ Sí.↦ ↦ z↦ ↦ x{displaystyle xmapsto ymapsto zmapsto x}. Alternativamente, podemos observar que los triples ordenados ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)}, ()Sí.,z,x){displaystyle (y,z,x)} y ()z,x,Sí.){displaystyle (z,x,y)}, son las permutaciones uniformes del triple ordenado ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)}.

Forma de soporte del conmutador

El ejemplo más simple de un álgebra de Lie se construye desde el anillo (asociativo) n× × n{displaystyle ntimes n} matrices, que pueden ser considerados como movimientos infinitesimales de un n- espacio vectorial dimensional. La operación × es el conmutador, que mide el fracaso de la conmutación en la multiplicación de matriz. En lugar de X× × Y{displaystyle Xtimes Y}, la notación del corchete Lie se utiliza:

[X,Y]=XY− − YX.{displaystyle [X, Y]=XY-YX.}

En esa notación, la identidad de Jacobi es:

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0{displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y] = 0}

Eso se comprueba fácilmente mediante cálculos.

Más generalmente, si A es un álgebra asociativa y V es un subespacio A que se cierra bajo la operación del soporte: [X,Y]=XY− − YX{displaystyle [X,Y]=XY-YX] pertenece V para todos X,Y▪ ▪ V{displaystyle X,Yin V}, la identidad Jacobi continúa manteniendo V. Así, si una operación binaria [X,Y]{displaystyle [X, Y] satisfice la identidad Jacobi, se puede decir que se comporta como si fuera dada por XY− − YX{displaystyle XY-YX en algún álgebra asociativa incluso si no se define de esa manera.

Usando la propiedad antisimetría [X,Y]=− − [Y,X]{displaystyle [X,Y]=- [Y,X], la identidad Jacobi puede ser reescrita como una modificación de la propiedad asociativa:

[[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]− − [Y,[X,Z]].{displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]~.}

Si [X,Z]{displaystyle [X,Z]} es la acción del movimiento infinitesimal X on Z, que se puede decir como:

La acción de Y seguido X (operador) [X,[Y,⋅ ⋅ ]]{displaystyle [X, [Y,cdot]}), menos la acción de X seguido Y (operador) ()[Y,[X,⋅ ⋅ ]]{displaystyle ([Y,[X,cdot]}), es igual a la acción de [X,Y]{displaystyle [X, Y], (operador [[X,Y],⋅ ⋅ ]{displaystyle [[X,Y],cdot]).

También hay una plétora de identidades Jacobi calificadas que implican anticommutadores {}X,Y}{displaystyle {X,Y}}, tales como:

[{}X,Y},Z]+[{}Y,Z},X]+[{}Z,X},Y]=0,[{}X,Y},Z]+{}[Z,Y],X}+{}[Z,X],Y}=0.{displaystyle [{X,Y},Z]+[{Y,Z},X]+[{Z,X},Y]=0,qquad [{X,Y},Z]+{Z,Y],X}+{[Z,X],Y}=0.}

Forma adjunta

Los ejemplos más comunes de la identidad Jacobi provienen de la multiplicación entre corchetes [x,Sí.]{displaystyle [x,y]} sobre álgebras Lie y anillos Lie. La identidad Jacobi está escrita como:

[x,[Sí.,z]]+[z,[x,Sí.]]+[Sí.,[z,x]]=0.{displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]+[y,[z,x]=0.}

Debido a que la multiplicación entre corchetes es antisimétrica, la identidad Jacobi admite dos reformulaciones equivalentes. Definir el operador adjunto adx:Sí.↦ ↦ [x,Sí.]{displaystyle operatorname {ad} _{x}:ymapsto [x,y]}, la identidad se convierte en:

adx⁡ ⁡ [Sí.,z]=[adx⁡ ⁡ Sí.,z]+[Sí.,adx⁡ ⁡ z].{displaystyle operatorname {ad} _{x}[y,z]=[operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,operatorname {ad} _{x}z].}

Por lo tanto, la identidad de Jacobi para álgebras de Lie establece que la acción de cualquier elemento en el álgebra es una derivación. Esa forma de la identidad de Jacobi también se usa para definir la noción de álgebra de Leibniz.

Otro reordenamiento muestra que la identidad de Jacobi es equivalente a la siguiente identidad entre los operadores de la representación adjunta:

ad[x,Sí.]=[adx,adSí.].{displaystyle operatorname {ad} _{x,y]}=[operatorname {ad} _{x},operatorname {ad} _{y}].}

Allí, el soporte en el lado izquierdo es la operación del álgebra original, el soporte a la derecha es el conmutador de la composición de los operadores, y la identidad declara que ad{displaystyle mathrm {ad} mapa enviar cada elemento a su acción conjunta es un homomorfismo de álgebra Lie.

Identidades relacionadas

La identidad de Hall-Witt es la identidad análoga para la operación del conmutador en un grupo.

La siguiente identidad se deriva de la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi y se cumple en el álgebra de Lie arbitraria:

[x,[Sí.,[z,w]]]+[Sí.,[x,[w,z]]]+[z,[w,[x,Sí.]]]+[w,[z,[Sí.,x]]]=0.{displaystyle [x,[y,[z,w]]]+[y,[x,[w,]]]+[z,[w,[x,y]]]+[w,[z,[y,x]]=0.}