Identidad Binet-Cauchy

En álgebra, la identidad Binet-Cauchy, que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y Augustin-Louis Cauchy, afirma que

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$$

${\textstyle \mathbb {R} {\fn}$

La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior

Cuando n = 3, el primer y segundo término del lado derecho se convierten en las magnitudes al cuadrado de los productos punto y cruz, respectivamente; en n dimensiones, estas se convierten en las magnitudes de los productos de puntos y cuñas. podemos escribirlo

$${\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)}$$

$${\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,}$$

$${\displaystyle (a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}$$

En el caso especial a = c y b = d, la fórmula produce

$${\displaystyle Silencioa\wedge b sometida^{2}= sometidaa sometida^{2} b perpetua.$$

Cuando tanto a como b son vectores unitarios, obtenemos la relación habitual

$${\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi }$$

Este es un caso especial del producto interno en el álgebra exterior de un espacio vectorial, que se define en elementos descomponibles en cuña como el determinante de Gram de sus componentes.

Notación de Einstein

Existe una relación entre los símbolos de Levi-Civita y el delta de Kronecker generalizado.

$${\displaystyle {\frac {1}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda ¿Qué? ¿Por qué? _{\lambda _{1}\cdots \lambda ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$$

El ${\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}$ forma de la identidad Binet-Cauchy se puede escribir como

$${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }{\alpha \beta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ }~c^{\gamma }d^{\delta }$$

Prueba

Ampliando el último trimestre,

$${\displaystyle {\begin{aligned} ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$$

$${\displaystyle =\sum - ¿Por qué? ¿Qué? - ¿Por qué? ¿Qué?$$

Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por i.

Generalización

Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy-Binet, establece lo siguiente: Supongamos que A es una matriz m×n y B es una matriz n×< soy matriz. Si S es un subconjunto de {1,..., n} con elementos m, escribimos A_S para la matriz m×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S . De manera similar, escribimos B_S para la matriz m×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S. Entonces el determinante del producto matricial de A y B satisface la identidad

$${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\subset \{1,\ldotsn\} \atop ←S habit=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}$$

Obtenemos la identidad original como caso especial configurando

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fn}\fn}}\quad B={\begin{pmatrix}c_{1} {1}\\\\vdots >\c_{n} {n}\end{pmatrix}}}$$