Idempotente (teoría del anillo)

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En matemáticas, elemento que iguala su cuadrado

En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, un elemento idempotente o simplemente idempotente de un anillo es un elemento a tal que a² = a. Es decir, el elemento es idempotente bajo la multiplicación del anillo. Entonces, inductivamente también se puede concluir que a = a² = a ³ = a⁴ =... = aⁿ para cualquier entero positivo n. Por ejemplo, un elemento idempotente de un anillo matricial es precisamente una matriz idempotente.

Para los anillos generales, los elementos idempotentes bajo multiplicación están involucrados en las descomposiciones de módulos y están conectados a las propiedades homológicas del anillo. En álgebra booleana, los principales objetos de estudio son los anillos en los que todos los elementos son idempotentes tanto en la suma como en la multiplicación.

Ejemplos

Cocientes de Z

Se puede considerar el anillo de números enteros módulo n donde n no tiene cuadrados. Según el teorema del resto chino, este anillo influye en el producto de anillos de números enteros módulo p donde p es primo. Ahora bien, cada uno de estos factores es un campo, por lo que está claro que los factores' sólo los idempotentes serán 0 y 1. Es decir, cada factor tiene dos idempotentes. Entonces, si hay m factores, habrá 2^m idempotentes.

Podemos comprobar esto para los enteros mod 6, R = Z/6Z. Como 6 tiene dos factores primos (2 y 3), debería tener 2² idempotentes.

0² (mod 6)

1² 1 ngel 1 (mod 6)

2² ngel 4 ngel 4 (mod 6)

3² 9 ngel 3 (mod 6)

4² ngel 16 ngel 4 (mod 6)

5² ngel 25 ngel 1 (mod 6)

A partir de estos cálculos, 0, 1, 3 y 4 son idempotentes de este anillo, mientras que 2 y 5 no lo son. Esto también demuestra las propiedades de descomposición que se describen a continuación: debido a que 3 + 4 = 1 (mod 6), hay una descomposición en anillo 3Z /6Z ⊕ 4Z/6Z. En 3Z/6Z la identidad es 3+6Z y en 4Z/6 Z la identidad es 4+6Z.

Cociente de anillo polinómico

Dado un anillo $R$ y un elemento ${displaystyle fin R}$ tales que ${displaystyle f^{2}neq 0}$ , entonces el anillo cociente

{displaystyle R/(f^{2}-f)}

tiene el idempotent $f$ . Por ejemplo, esto podría aplicarse a ${displaystyle xin mathbb {Z} [x]}$ , o cualquier polinomio ${displaystyle fin k[x_{1},ldotsx_{n}]}$ .

Idempotentes en anillos de cuaterniones divididos

Hay una catenoide de idempotentes en el anillo del cuaternión dividido.

Tipos de idempotentes en anillo

Una lista parcial de tipos importantes de idempotentes incluye:

Dos idempotents a y b se llaman ortogonal si ab = ba = 0. Si a es idempotente en el anillo R (con unidad), entonces lo es b = 1 − a; además, a y b son ortogonales.
Un idempotente a dentro R se llama central idempotente si ax = xa para todos x dentro R, eso es, si a está en el centro de R.
A trivial idempotent se refiere a cualquiera de los elementos 0 y 1, que son siempre idempotente.
A primitivo idempotente de un anillo R es un idempotente no cero a tales que aR es indecomposible como derecho R-módulo; es decir, tal aR no es una suma directa de dos submodules no cero. Equivalentemente, a es un Ídempotente primitivo si no puede ser escrito como a = e + f, donde e y f son idempotentes ortogonales no cero en R.
A Ídempotente local es un idempotente a tales que aRa es un anillo local. Esto implica que aR es directamente indecomposible, por lo que los idempotents locales también son primitivos.
A derecho irreducible idempotente es un idempotente a para la cual aR es un módulo simple. Por la lema de Schur, Final_R()aR) aRa es un anillo de división, y por lo tanto es un anillo local, por lo que los idempotentes irreducibles derecha (y izquierda) son locales.
A primitivo central idempotent es un idempotente central a que no se puede escribir como la suma de dos idempotentes centrales no cero ortogonales.
Un idempotente a + I en el anillo cociente R/I se dice que modulo I si hay un idempotente b dentro R tales que b + I = a + I.
Un idempotente a de R se llama Idempotent completo si RaR = R.
A separabilidad idempotente; véase Álgebra estable.

Cualquier a idempotente no trivial es un divisor cero (porque ab = 0 sin a ni b es cero, donde b = 1 − a). Esto muestra que los dominios integrales y los anillos de división no tienen tales idempotentes. Los anillos locales tampoco tienen tales idempotentes, pero por una razón diferente. El único idempotente contenido en el radical de Jacobson de un anillo es {0}.

Anillos caracterizados por idempotentes

Un anillo en el que Todos los elementos son idempotent se llama anillo booleano. Algunos autores utilizan el término "aro ideal" para este tipo de anillo. En tal anillo, la multiplicación es conmutativa y cada elemento es su propio inverso aditivo.
Un anillo es semisimple si y sólo si cada derecho (o cada izquierda) ideal es generado por un idempotente.
Un anillo es regular von Neumann si y sólo si cada derecho generado finitamente (o cada izquierda generada finitamente) ideal es generado por un idempotente.
Un anillo para el que el aniquilador r.Ann(S) cada subconjunto S de R es generado por un idempotente se llama un anillo Baer. Si la condición sólo tiene para todos los subconjuntos de un soloton REntonces el anillo es un anillo correcto de Rickart. Ambos tipos de anillos son interesantes incluso cuando carecen de una identidad multiplicativa.
Un anillo en el que todos los idempotentes son centrales se llama un Anillo abeliano. Tales anillos no necesitan ser conmutativos.
Un anillo es directamente irreducible si y sólo si 0 y 1 son los únicos idempotentes centrales.
Un anillo R puede ser escrito como e₁R ⊕ e₂R ⊕ e_nR con cada e_i un idempotente local si y sólo si R es un anillo semiperfecto.
Un anillo se llama OSE ring o Lift/rad anillo si todos los idempotentes de R levantar modulo el radical Jacobson.
Un anillo satisface la condición de cadena ascendente en las manantiales directas derechas si y sólo si el anillo satisface la condición de cadena descendente en las manguitos directos izquierdos si y sólo si cada conjunto de idempotentes ortogonales pares es finito.
Si a es idempotente en el anillo R, entonces aRa es otra vez un anillo, con identidad multiplicativa a. El anillo aRa a menudo se conoce como anillo de esquina de R. El anillo de esquina surge naturalmente desde el anillo de endomorfismos Final_R()aR) aRa.

Papel en las descomposiciones

Los idempotentes de R tienen una conexión importante con la descomposición de los módulos R. Si M es un módulo R y E = End_R(M) es su anillo de endomorfismos, entonces A ⊕ B = M si y sólo si hay un idempotente único e en E tal que A = e(M) y B = (1 − e)(M). Claramente entonces, M es directamente indescomponible si y sólo si 0 y 1 son los únicos idempotentes en E.

En el caso de que M = R el anillo de endomorfismo End_R(R) = R, donde cada endomorfismo surge como multiplicación por la izquierda por un elemento de anillo fijo. Con esta modificación de notación, A ⊕ B = R como módulos derechos si y solo si existe un idempotente único e tal que eR = A y (1 − e)R = B. Así, toda suma directa de R es generada por un idempotente.

Si a es un idempotente central, entonces el anillo de la esquina aRa = Ra es un anillo con identidad multiplicativa a. Así como los idempotentes determinan las descomposiciones directas de R como módulo, los idempotentes centrales de R determinan las descomposiciones de R como suma directa de anillos.. Si R es la suma directa de los anillos R₁,..., R_n, entonces los elementos de identidad de los anillos R_i son idempotentes centrales en R, ortogonal por pares, y su suma es 1. Por el contrario, dados los idempotentes centrales a₁,..., a_n en R que son ortogonales por pares y tienen suma 1, entonces R es la suma directa de los anillos Ra ₁,..., Ra_n. Entonces, en particular, cada idempotente central a en R da lugar a una descomposición de R como una suma directa de los anillos de las esquinas aRa. y (1 − a)R(1 − a). Como resultado, un anillo R es directamente indescomponible como anillo si y sólo si la identidad 1 es centralmente primitiva.

Trabajando de forma inductiva, se puede intentar descomponer 1 en una suma de elementos centralmente primitivos. Si 1 es centralmente primitivo, hemos terminado. Si no, es una suma de idempotentes ortogonales centrales, que a su vez son primitivos o sumas de más idempotentes centrales, y así sucesivamente. El problema que puede ocurrir es que esto continúe sin fin, produciendo una familia infinita de idempotentes ortogonales centrales. La condición "R no contiene conjuntos infinitos de idempotentes ortogonales centrales" es un tipo de condición de finitud en el anillo. Se puede lograr de muchas maneras, como exigir que el anillo sea exactamente noetheriano. Si una descomposición R = c₁R ⊕ c₂R ⊕... ⊕ c_n R existe con cada c_i un idempotente centralmente primitivo, entonces R es una suma directa de los anillos de las esquinas c_iRc_i, cada uno de los cuales es irreducible en anillo.

Para álgebras asociativas o álgebras de Jordan sobre un campo, la descomposición de Peirce es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de elementos idempotentes conmutantes.

Relación con las involuciones

Si a es un idempotente del anillo de endomorfismo End_R(M), entonces el endomorfismo f = 1 − 2a es una involución del módulo R de M. Es decir, f es un homomorfismo de módulo R tal que f² es el endomorfismo de identidad de M.

Un elemento idempotente a de R y su involución asociada f da lugar a dos involuciones del módulo R >, dependiendo de ver R como un módulo izquierdo o derecho. Si r representa un elemento arbitrario de R, f puede verse como un homomorfismo de módulo R derecho r ↦ fr de modo que ffr = r , o f también se puede ver como un homomorfismo del módulo R izquierdo r ↦ rf, donde rff = r.

Este proceso se puede revertir si 2 es un elemento invertible de R: si b es una involución, entonces 2⁻¹(1 − b) y 2⁻¹(1 + b) son idempotentes ortogonales, correspondientes a a y 1 − a. Así, para un anillo en el que 2 es invertible, los elementos idempotentes corresponden a involuciones de manera uno a uno.

Categoría de módulos R

Elevar idempotentes también tiene consecuencias importantes para la categoría de módulos R. Todos los idempotentes levantan el módulo I si y sólo si cada R suma directa de R/I tiene una cobertura proyectiva como un módulo R. Los idempotentes siempre levantan ideales y anillos de módulo nulo para los cuales R es I-ádicamente completo.

El levantamiento es más importante cuando I = J(R), el radical de Jacobson de R. Otra caracterización más de los anillos semiperfectos es que son anillos semilocales cuyos idempotentes elevan el módulo J(R).

Enrejado de idempotentes

Se puede definir un orden parcial en los idempotentes de un anillo de la siguiente manera: si a y b son idempotentes, escribimos a ≤ b si y sólo si ab = ba = un. Con respecto a este orden, 0 es el idempotente más pequeño y 1 el más grande. Para idempotentes ortogonales a y b, a + b también es idempotente, y tenemos a ≤ a + b y b ≤ a + b. Los átomos de este orden parcial son precisamente los idempotentes primitivos. (Lam 2001, p. 323)

Cuando el orden parcial anterior se restringe a los idempotentes centrales de R, se puede dar una estructura reticular, o incluso una estructura de álgebra booleana. Para dos idempotentes centrales e y f el complemento ¬e = 1 − e>span> y el join y el meet están dados por

e Alternativa f = e + f − ef

e ∧ f = ef.

El orden ahora se convierte en simplemente e ≤ f si y sólo si eR ⊆ fR, y la unión y cumple con satisfacer (e ∨ f)R = eR + fR y (e ∧ f) R = eR ∩ fR = (eR)(fR). Se muestra en (Goodearl 1991, p. 99) que si R es regular de von Neumann y autoinyectivo recto, entonces la red es una red completa.

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