Ideal (teoría del anillo)

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Subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación

En la teoría de anillos, una rama del álgebra abstracta, un ideal de un anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de los números enteros, como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y la resta de números pares preserva la igualdad, y la multiplicación de un número par por cualquier número entero (par o impar) da como resultado un número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Se puede usar un ideal para construir un anillo de cociente de una manera similar a cómo, en la teoría de grupos, se puede usar un subgrupo normal para construir un grupo de cociente.

Entre los números enteros, los ideales corresponden uno a uno con los números enteros no negativos: en este anillo, cada ideal es un ideal principal que consiste en los múltiplos de un solo número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponder directamente a los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los números enteros, cuando se generalizan a los anillos, se adhieren más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos y el teorema chino del resto se puede generalizar a los ideales. Existe una versión de descomposición en factores primos únicos para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante en la teoría de números).

El concepto relacionado, pero distinto, de un ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría del anillo. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal, y los ideales habituales a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Historia

Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para servir como el "faltante" factores en anillos de números en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" es en el sentido de existir solo en la imaginación, en analogía con "ideal" objetos en geometría tales como puntos en el infinito. En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie, al que Dedekind había añadido muchos suplementos. Más tarde, la noción se extendió más allá de los anillos numéricos al establecimiento de anillos polinómicos y otros anillos conmutativos por parte de David Hilbert y especialmente de Emmy Noether.

Definiciones y motivación

Para un anillo arbitrario $(R,+,cdot)$ , vamos $(R,+)$ ser su grupo aditivo. Un subconjunto $I$ se llama ideal de $R$ si es un subgrupo aditivo $R$ que "absorbs multiplication de la izquierda por elementos de $R$ "; es decir, $I$ es un ideal izquierdo si satisface las dos condiciones siguientes:

$(I,+)$ es un subgrupo ${displaystyle (R,+),}$
Por todos $rin R$ y todos $xin I$ , el producto ${displaystyle rx}$ está dentro $I$ .

Un ideal correcto se define con la condición "r x ∈ I" reemplazado por "x r ∈ I". Un ideal de dos colas es un ideal izquierdo que también es un ideal derecho y, a veces, se le llama simplemente ideal. En el lenguaje de los módulos, las definiciones significan que un ideal izquierdo (resp. derecho, de dos lados) de R es un submódulo R de R cuando R se ve como un módulo izquierdo (resp. derecho, bi-) R. Cuando R es un anillo conmutativo, las definiciones de ideal izquierdo, derecho y de dos lados coinciden, y el término ideal se usa solo.

Para comprender el concepto de ideal, considere cómo surgen los ideales en la construcción de anillos de "módulo de elementos". Para ser concretos, veamos el anillo ℤ/nℤ de los números enteros módulo n dado el número entero n ∈ ℤ (tenga en cuenta que ℤ es un anillo conmutativo). La observación clave aquí es que obtenemos ℤ/nℤ tomando la línea de enteros ℤ y envolviéndola alrededor de sí misma para que se identifiquen varios enteros. Al hacerlo, debemos cumplir 2 requisitos:

1) n debe identificarse con 0 ya que n es congruente con 0 módulo n.

2) la estructura resultante debe volver a ser un anillo.

El segundo requisito nos obliga a realizar identificaciones adicionales (es decir, determina la forma precisa en que debemos envolver ℤ alrededor de sí mismo). La noción de un ideal surge cuando hacemos la pregunta:

¿Cuál es el conjunto exacto de enteros que nos vemos forzados a identificar con 0?

La respuesta es, como era de esperar, el conjunto nℤ = { nm | m ∈ ℤ } de todos los enteros congruentes con módulo 0 n. Es decir, debemos envolver ℤ alrededor de sí mismo infinitas veces para que los enteros..., n · (−2), n · (−1), n · (+1), n · (+2),... todos se alinearán con 0. Si observamos qué propiedades debe satisfacer este conjunto para garantizar que ℤ/ nℤ es un anillo, entonces llegamos a la definición de un ideal. De hecho, uno puede verificar directamente que nℤ es un ideal de ℤ.

Observación. También es necesario realizar identificaciones con elementos distintos de 0. Por ejemplo, los elementos en 1 + nℤ deben identificarse con 1, los elementos en 2 + nℤ debe identificarse con 2, y así sucesivamente. Esos, sin embargo, están determinados únicamente por nℤ ya que ℤ es un grupo aditivo.

Podemos hacer una construcción similar en cualquier anillo conmutativo R: comience con un arbitrario x ∈ R, y luego identificar con 0 todos los elementos del ideal xR = { x r: r ∈ R }. Resulta que el ideal xR es el ideal más pequeño que contiene x, llamado ideal generado por x. Más generalmente, podemos comenzar con un subconjunto arbitrario S ⊆ R, y luego identificar con 0 todos los elementos en el ideal generado por S: el ideal más pequeño (S) tal que S ⊆ (S). El anillo que obtenemos tras la identificación depende únicamente del ideal (S) y no del conjunto S con el que partimos. Es decir, si (S) = (T), los anillos resultantes serán los mismos.

Por lo tanto, un ideal I de un anillo conmutativo R captura canónicamente la información necesaria para obtener el anillo de elementos de R módulo a dado subconjunto S ⊆ R. Los elementos de I, por definición, son aquellos que son congruentes con cero, es decir, identificados con cero en el anillo resultante. El anillo resultante se denomina cociente de R por I y se denota R/I. Intuitivamente, la definición de ideal postula dos condiciones naturales necesarias para que I contenga todos los elementos designados como "ceros" por R/I:

I es un subgrupo aditivo de R: el cero 0 de R es un "cero" 0 I, y si x₁ ▪ I y x₂ ▪ I son "zeros", entonces x₁ − x₂ ▪ I es un "cero" también.
Cualquier r ▪ R multiplicado por un "cero" x ▪ I es un "cero" rx ▪ I.

Resulta que las condiciones anteriores también son suficientes para que I contenga todos los "ceros" necesarios: ningún otro elemento debe designarse como "cero" 34; para formar R/I. (De hecho, ningún otro elemento debe designarse como "cero" si queremos hacer la menor cantidad de identificaciones).

Observación. La construcción anterior todavía funciona usando ideales de dos colas incluso si R no es necesariamente conmutativo.

Ejemplos y propiedades

(En aras de la brevedad, algunos resultados se indican solo para los ideales de la izquierda, pero por lo general también son válidos para los ideales de la derecha con los cambios de notación apropiados).

En un anillo R, el conjunto R forma un ideal de dos caras R llamado ideal. A menudo también se denota $(1)$ ya que es precisamente el ideal de dos caras generado (ver abajo) por la unidad ${displaystyle 1_{R}}$ . Además, el conjunto ${displaystyle {0_{R}}}$ consistiendo sólo en la identidad aditiva 0_R forma un ideal de dos caras llamado cero y es denotado por $(0)$ . Cada ideal (izquierda, derecha o dos caras) contiene el ideal cero y está contenido en la unidad ideal.
Un ideal (izquierda, derecha o dos caras) que no es la unidad ideal se llama un ideal (como es un subconjunto adecuado). Nota: un ideal izquierdo ${mathfrak {a}}$ es apropiado si y sólo si no contiene un elemento de unidad, ya que si ${displaystyle uin {mathfrak {a}}}$ es un elemento unidad, entonces ${displaystyle r=(ru^{-1})uin {mathfrak {a}}}$ para todos $rin R$ . Típicamente hay un montón de ideales adecuados. De hecho, si R es un campo de tiro, entonces ${displaystyle (0),(1)}$ son sus únicos ideales y por el contrario: es decir, un anillo no cero R es un campo de tiro si ${displaystyle (0),(1)}$ son los únicos ideales izquierdo (o derecho). (Proof: si $x$ es un elemento no cero, luego el ideal izquierdo principal $Rx$ (véase infra) no es cero y por lo tanto ${displaystyle Rx=(1)}$ i.e., ${displaystyle yx=1}$ para algunos no cero $y$ . Igualmente, ${displaystyle zy=1}$ para algunos no cero $z$ . Entonces... ${displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$ .)
Los enteros incluso forman un ideal en el anillo $mathbb {Z}$ de todos los enteros; generalmente es denotado por $2{mathbb {Z}}$ . Esto se debe a que la suma de cualquier entero es incluso, y el producto de cualquier entero con un entero incluso es incluso. Del mismo modo, el conjunto de todos los enteros divisibles por un entero fijo n es un ideal denotado $nmathbb {Z}$ .
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio x² + 1 es un ideal en el anillo de todos los polinomios.
El conjunto de todos n-por-n matrices cuya última fila es cero forma un ideal adecuado en el anillo de todos n-por-n matrices. No es un ideal izquierdo. El conjunto de todos n-por-n matrices cuya última columna es cero forma un ideal izquierdo pero no un ideal derecho.
El anillo $C({mathbb {R}})$ de todas las funciones continuas f desde $mathbb {R}$ a $mathbb {R}$ debajo de la multiplicación puntiaguda contiene el ideal de todas las funciones continuas f tales que f1) 0. Otro ideal en $C({mathbb {R}})$ es dada por las funciones que desaparecen por argumentos suficientemente grandes, es decir, esas funciones continuas f para el cual existe un número L ■ 0 tal que f()x) = 0 cada vez que.xSilencio L.
Un anillo se llama un anillo simple si no es cero y no tiene ideales de dos caras más que ${displaystyle (0),(1)}$ . Por lo tanto, un campo de sierra es simple y un simple anillo conmutativo es un campo. El anillo de matriz sobre un campo de costura es un anillo simple.
Si $f:Rto S$ es un homomorfismo de anillo, luego el núcleo ${displaystyle ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ es un ideal de dos caras $R$ . Por definición, ${displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ , y por lo tanto si $S$ no es el anillo cero (también ${displaystyle 1_{S}neq 0_{S}}$ ), entonces ${displaystyle ker(f)}$ es un ideal adecuado. Más generalmente, para cada ideal izquierdo I de S, la imagen previa ${displaystyle f^{-1}(I)}$ es un ideal izquierdo. Si I es un ideal izquierdo R, entonces $f(I)$ es un ideal izquierdo de la subring $f(R)$ de SA menos que f es subjetivo, $f(I)$ no ser un ideal S; ver también #Extensión y contracción de un ideal debajo.
correspondencia ideal: Dado un homomorfismo anillo subjetivo $f:Rto S$ , hay una correspondencia bijetivista que preserve la orden entre la izquierda (resp. derecha, dos caras) ideales de $R$ que contiene el núcleo $f$ y la izquierda (resp. derecha, dos caras) ideales de $S$ : la correspondencia es dada por ${displaystyle Imapsto f(I)}$ y la imagen previa ${displaystyle Jmapsto f^{-1}(J)}$ . Además, para anillos conmutativos, esta correspondencia bijetiva limita a ideales primos, ideales máximos e ideales radicales (ver la sección Tipos de ideales para las definiciones de estos ideales).
(Para aquellos que conocen los módulos) Si M es una izquierda R- Mobiliario y $Ssubset M$ un subconjunto, luego el aniquilador ${displaystyle operatorname {Ann} _{R}(S)={rin Rmid rs=0,sin S}}$ de S es un ideal izquierdo. Dados ideales ${mathfrak {a}},{mathfrak {b}}$ de un anillo conmutativo R, el R-Aniquilador de ${displaystyle ({mathfrak {b}}+{mathfrak {a}})/{mathfrak {a}}}$ es un ideal R llamado el cociente ideal ${mathfrak {a}}$ por ${mathfrak {b}}$ y es denotado por ${displaystyle ({mathfrak {a}}:{mathfrak {b}})}$ ; es una instancia de idealizador en álgebra conmutativa.
Vamos ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i},iin S}$ ser un cadena ascendente de ideales izquierdos en un anillo Ri.e., $S$ es un conjunto totalmente ordenado y ${displaystyle {mathfrak {a}}_{i}subset {mathfrak {a}}_{j}}$ para cada uno $<math alttext="{displaystyle ii.j{displaystyle i donej} <img alt="i$ . Entonces el sindicato ${displaystyle textstyle bigcup _{iin S}{mathfrak {a}}_{i}}$ es un ideal izquierdo R. (Nota: este hecho sigue siendo cierto incluso si R sin la unidad 1.)
El hecho anterior junto con la lema de Zorn demuestra lo siguiente: si ${displaystyle Esubset R}$ es un subconjunto posiblemente vacío y ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}subset R}$ es un ideal izquierdo que se descompone E, entonces hay un ideal que es maximal entre los ideales que contienen ${mathfrak {a}}_{0}$ y desgarrar E. (De nuevo esto es válido si el anillo R carece de unidad 1.) Cuando ${displaystyle Rneq 0}$ , tomar ${displaystyle {mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ y ${displaystyle E={1}}$ , en particular, existe un ideal izquierdo que es maximal entre los ideales izquierdos adecuados (a menudo simplemente llamado un ideal izquierdo maximal); vea el teorema de Krull para más.
Una unión arbitraria de ideales no necesita ser un ideal, pero lo siguiente sigue siendo cierto: dado un subconjunto posiblemente vacío X de R, hay el más pequeño ideal izquierdo que contiene X, llamado el ideal izquierdo generado por X y es denotado por ${displaystyle RX}$ . Tal ideal existe ya que es la intersección de todos los ideales izquierdos que contienen X. Equivalentemente, ${displaystyle RX}$ es el conjunto de todas las combinaciones (finito) izquierda R-linear de elementos de X sobre R:
${displaystyle RX={r_{1}x_{1}+dots +r_{n}x_{n}mid nin mathbb {N}r_{i}in R,x_{i}in X}.}$

(ya que tal lazo es el ideal izquierdo más pequeño que contiene X.) Un ideal derecho (resp. bisided) generado por X se define de la manera similar. Para "dos lados", uno tiene que usar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,
${displaystyle RXR={r_{1}x_{1}s_{1}+dots +r_{n}x_{n}s_{n}mid nin mathbb {N}r_{i}in R,s_{i}in R,x_{i}in X}.,}$

Un ideal izquierdo (resp. derecha, dos caras) generado por un solo elemento x se llama la izquierda principal (resp. derecha, dos caras) ideal generado por x y es denotado por $Rx$ (Resp. ${displaystyle xR,RxR}$ ). El principal ideal de dos caras $RxR$ a menudo también se denota $(x)$ . Si ${displaystyle X={x_{1},dotsx_{n}}}$ es un conjunto finito, entonces ${displaystyle RXR}$ también está escrito como $(x_{1},dotsx_{n})$ .
En el anillo $mathbb {Z}$ de enteros, cada ideal puede ser generado por un solo número (también $mathbb {Z}$ es un dominio ideal principal), como consecuencia de la división euclidiana (o alguna otra manera).
Hay una correspondencia bijetiva entre ideales y relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura del anillo) en el anillo: Dado un ideal I de un anillo R, vamos x ~ Sí. si x − Sí. ▪ I. Entonces ~ es una relación de congruencia en R. Por el contrario, dada una relación de congruencia ~ en R, vamos I = x Silencio x ~ 0 }. Entonces... I es un ideal R.

Tipos de ideales

Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se discute en detalle en los artículos respectivos.

Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillos y permiten definir anillos de factores. Se estudian diferentes tipos de ideales porque se pueden usar para construir diferentes tipos de anillos de factores.

Ideal máximo: Un ideal adecuado I se llama maximal ideal si no existe otro ideal adecuado J con I un subconjunto adecuado J. El anillo factor de un ideal maximal es un anillo simple en general y es un campo para anillos conmutativos.
Minimal ideal: Un ideal no cero se llama mínimo si no contiene otro ideal no cero.
Prime ideal: Un ideal adecuado I se llama ideal si para cualquier a y b dentro R, si ab está dentro I, entonces al menos uno de a y b está dentro I. El anillo factor de un ideal primario es un anillo principal en general y es un dominio integral para anillos conmutativos.
Ideal radical o semiprime ideal: Un ideal adecuado I se llama radical o semiprime si para cualquier a dentro R, si aⁿ está dentro I para algunos n, entonces a está dentro I. El anillo factor de un ideal radical es un anillo semiprime para anillos generales, y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
Ideal primario: Un ideal I se llama ideal si para todos a y b dentro R, si ab está dentro I, entonces al menos uno de a y bⁿ está dentro I para algún número natural n. Cada ideal primario es primario, pero no transversalmente. Un ideal primario semiprime es primo.
Principal ideal: Un ideal generado por uno elemento.
Generado finito ideal: Este tipo de ideal se genera finitamente como módulo.
Primitivo ideal: Un ideal primitivo izquierdo es el aniquilador de un simple módulo izquierdo.
Ideal irreducible: Se dice que un ideal es irreducible si no puede ser escrito como una intersección de ideales que lo contienen adecuadamente.
Ideales aproximados: Dos ideales $mathfrak{i}, mathfrak{j}$ se dice que comaximal si $x + y = 1$ para algunos $x in mathfrak{i}$ y $y in mathfrak{j}$ .
Ideal ordinario: Este término tiene múltiples usos. Vea el artículo para una lista.
Nil ideal: Un ideal es un nil ideal si cada uno de sus elementos es nilpotent.
Nilpotent ideal: Algo de poder es cero.
Parámetro ideal: un ideal generado por un sistema de parámetros.

Otros dos términos importantes que usan "ideal" no siempre son ideales de su anillo. Ver sus respectivos artículos para más detalles:

Marco ideal: Esto generalmente se define cuando R es un dominio conmutativo con campo cociente K. A pesar de sus nombres, los ideales fraccionados son R submódulos K con una propiedad especial. Si el ideal fraccional está contenido completamente en R, entonces es realmente un ideal R.
Invertible ideal: Normalmente un ideal invertible A se define como un ideal fraccional para el cual hay otro ideal fraccional B tales que AB = BA = R. Algunos autores también pueden aplicar "invertible ideal" a los ideales de anillo ordinario A y B con AB = BA = R en anillos distintos de dominios.

Operaciones ideales

La suma y el producto de los ideales se definen como sigue. Para ${mathfrak {a}}$ y ${mathfrak {b}}$ , izquierda (resp. derecha) ideales de un anillo R, su suma es

$mathfrak{a}+mathfrak{b}:={a+b mid a in mathfrak{a} mbox{ and } b in mathfrak{b}}$ ,

que es una izquierda (resp. derecha) ideal, y, si ${mathfrak {a}},{mathfrak {b}}$ son dos caras,

$mathfrak{a} mathfrak{b}:={a_1b_1+ dots + a_nb_n mid a_i in mathfrak{a} mbox{ and } b_i in mathfrak{b}, i=1, 2, dots, n; mbox{ for } n=1, 2, dots},$

i.e. el producto es el ideal generado por todos los productos de la forma ab con a dentro ${mathfrak {a}}$ y b dentro ${mathfrak {b}}$ .

Nota ${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}}$ es la izquierda más pequeña (resp. derecha) ideal que contiene ambos ${mathfrak {a}}$ y ${mathfrak {b}}$ (o el sindicato) ${displaystyle {mathfrak {a}}cup {mathfrak {b}}}$ ), mientras el producto $mathfrak{a}mathfrak{b}$ está contenida en la intersección ${mathfrak {a}}$ y ${mathfrak {b}}$ .

La ley distributiva sostiene ideales de dos caras ${displaystyle {mathfrak {a}},{mathfrak {b}},{mathfrak {c}}}$ ,

${displaystyle {mathfrak {a}}({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}{mathfrak {c}}}$ ,
${displaystyle ({mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}){mathfrak {c}}={mathfrak {a}}{mathfrak {c}}+{mathfrak {b}}{mathfrak {c}}}$ .

Si un producto es reemplazado por una intersección, se cumple una ley distributiva parcial:

${displaystyle {mathfrak {a}}cap ({mathfrak {b}}+{mathfrak {c}})supset {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}+{mathfrak {a}}cap {mathfrak {c}}}$

donde se mantiene la igualdad ${mathfrak {a}}$ contiene ${mathfrak {b}}$ o ${mathfrak {c}}$ .

Observación: La suma y la intersección de ideales es nuevamente un ideal; con estas dos operaciones de unión y encuentro, el conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma una red modular completa. La red no es, en general, una red distributiva. Las tres operaciones de intersección, suma (o unión) y producto convierten el conjunto de ideales de un anillo conmutativo en un cuanto.

Si ${mathfrak {a}},{mathfrak {b}}$ son ideales de un anillo conmutativo R, entonces ${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}}$ en los dos casos siguientes (al menos)

${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}=(1)}$
${mathfrak {a}}$ se genera por elementos que forman un modulo de secuencia regular ${mathfrak {b}}$ .

(Más generalmente, la diferencia entre un producto y una intersección de ideales es medida por el functor Tor: ${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{mathfrak {a}},R/{mathfrak {b}})=({mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}})/{mathfrak {a}}{mathfrak {b}}.}$ )

Un dominio integral se llama un dominio Dedekind si para cada par de ideales ${displaystyle {mathfrak {a}}subset {mathfrak {b}}}$ , hay un ideal ${mathfrak {c}}$ tales que ${displaystyle {mathfrak {mathfrak {a}}}={mathfrak {b}}{mathfrak {c}}}$ . Se puede demostrar entonces que cada no cero ideal de un dominio Dedekind puede ser escrito únicamente como un producto de ideales maximales, una generalización del teorema fundamental de la aritmética.

Ejemplos de operaciones ideales

In $mathbb {Z}$ tenemos

${displaystyle (n)cap (m)=operatorname {lcm} (n,m)mathbb {Z} }$

desde entonces ${displaystyle (n)cap (m)}$ es el conjunto de enteros que son divisibles por ambos $n$ y $m$ .

Vamos ${displaystyle R=mathbb {C} [x,y,z,w]}$ y dejar ${displaystyle {mathfrak {a}}=(z,w),{mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{mathfrak {c}}=(x+z,w)}$ . Entonces,

${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ y ${displaystyle {mathfrak {a}}+{mathfrak {c}}=(z,w,x+z)}$
${displaystyle {mathfrak {a}}{mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
${displaystyle {mathfrak {a}}{mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {b}}={mathfrak {a}}{mathfrak {b}}}$ mientras ${displaystyle {mathfrak {a}}cap {mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})neq {mathfrak {a}}{mathfrak {c}}}$

En el primer cálculo, vemos el patrón general para tomar la suma de dos ideales finitamente generados, es el ideal generado por la unión de sus generadores. En los tres últimos observamos que los productos y las intersecciones concuerdan siempre que los dos ideales se intersecan en el ideal cero. Estos cálculos se pueden verificar usando Macaulay2.

Radical de un anillo

Los ideales aparecen naturalmente en el estudio de los módulos, especialmente en forma de radical.

Para la simplicidad, trabajamos con anillos conmutativos pero, con algunos cambios, los resultados también son verdaderos para anillos no conmutativos.

Vamos R ser un anillo comunicativo. Por definición, un ideal primitivo R es el aniquilador de un R-module simple (nozero). El radical Jacobson ${displaystyle J=operatorname {Jac} (R)}$ de R es la intersección de todos los ideales primitivos. Equivalentemente,

${displaystyle J=bigcap _{{mathfrak {m}}{text{ maximal ideals}}}{mathfrak {m}}.}$

De hecho, si $M$ es un módulo simple y x es un elemento no cero en M, entonces ${displaystyle Rx=M}$ y ${displaystyle R/operatorname {Ann} (M)=R/operatorname {Ann} (x)simeq M}$ , que significa ${displaystyle operatorname {Ann} (M)}$ es un ideal maximal. Por el contrario, si ${mathfrak {m}}$ es un ideal maximal, entonces ${mathfrak {m}}$ es el aniquilador del simple R- Mobiliario $R/{mathfrak {m}}$ . También hay otra caracterización (la prueba no es difícil):

${displaystyle J={xin Rmid 1-yx,{text{ is a unit element for every }}yin R}.}$

Para un anillo no-necesariamente-commutante, es un hecho general que ${displaystyle 1-yx}$ es un elemento unidad si y sólo si ${displaystyle 1-xy}$ es (ver el enlace) y por lo tanto esta última caracterización muestra que el radical se puede definir tanto en términos de ideales primitivos izquierdo y derecho.

El siguiente hecho simple pero importante (la lema de Nakayama) está incorporado a la definición de un radical Jacobson: si M es un módulo tal que ${displaystyle JM=M}$ , entonces M no admite un submodulo maximal, ya que si hay un submodulo maximal ${displaystyle Lsubsetneq M}$ , ${displaystyle Jcdot (M/L)=0}$ y así ${displaystyle M=JMsubset Lsubsetneq M}$ Una contradicción. Dado que un módulo no generado finitamente admite un submodulo maximal, en particular, uno tiene:

Si ${displaystyle JM=M}$ y M se genera finitamente, entonces ${displaystyle M=0.}$

Un ideal maximal es un ideal primo y entonces uno tiene

${displaystyle operatorname {nil} (R)=bigcap _{{mathfrak {p}}{text{ prime ideals }}}{mathfrak {p}}subset operatorname {Jac} (R)}$

donde la intersección a la izquierda se llama nilradical de R. Como resulta, ${displaystyle operatorname {nil} (R)}$ es también el conjunto de elementos nilpotentes de R.

Si R es un anillo Artiniano, entonces ${displaystyle operatorname {Jac} (R)}$ es nilpotente y ${displaystyle operatorname {nil} (R)=operatorname {Jac} (R)}$ . (Proof: first note the DCC implies ${displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ para algunos n. Si (DCC) ${displaystyle {mathfrak {a}}supsetneq operatorname {Ann} (J^{n})}$ es un ideal adecuadamente mínimo sobre este último, entonces ${displaystyle Jcdot ({mathfrak {a}}/operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ . Eso es, ${displaystyle J^{n}{mathfrak {a}}=J^{n+1}{mathfrak {a}}=0}$ , una contradicción.)

Extensión y contracción de un ideal

Vamos A y B ser dos anillos conmutativos, y dejar f: A → B ser un homomorfismo de anillo. Si ${mathfrak {a}}$ es un ideal en A, entonces $f({mathfrak {a}})$ no ser un ideal en B (por ejemplo, tome f ser la inclusión del anillo de los enteros Z en la esfera de los fundamentos Q). El extensión ${mathfrak {a}}^{e}$ de ${mathfrak {a}}$ dentro B se define como el ideal en B generados por $f({mathfrak {a}})$ . Explícitamente,

${mathfrak {a}}^{e}={Big {}sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}in {mathfrak {a}},y_{i}in B{Big }}$

Si ${mathfrak {b}}$ es un ideal B, entonces $f^{{-1}}({mathfrak {b}})$ es siempre un ideal A, llamado el contracción ${mathfrak {b}}^{c}$ de ${mathfrak {b}}$ a A.

Sumas f: A → B es un homomorfismo de anillo, ${mathfrak {a}}$ es un ideal en A, ${mathfrak {b}}$ es un ideal en B, entonces:

${mathfrak {b}}$ es el mejor B $Rightarrow$ ${mathfrak {b}}^{c}$ es el mejor A.
${mathfrak {a}}^{{ec}}supseteq {mathfrak {a}}$
${mathfrak {b}}^{{ce}}subseteq {mathfrak {b}}$

Es falso, en general, que ${mathfrak {a}}$ ser primo (o maximal) en A implica que ${mathfrak {a}}^{e}$ es primo (o maximal) en B. Muchos ejemplos clásicos de este origen de la teoría de números algebraicos. Por ejemplo, la incrustación ${mathbb {Z}}to {mathbb {Z}}leftlbrack irightrbrack$ . In $B={mathbb {Z}}leftlbrack irightrbrack$ , el elemento 2 factores como $2=(1+i)(1-i)$ donde (uno puede mostrar) $1+i,1-i$ unidades en B. Así que... $(2)^{e}$ no es el mejor B (y por lo tanto no maximal, también). De hecho, $(1pm i)^{2}=pm 2i$ muestra que $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ , $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ , y por consiguiente $(2)^{e}=(1+i)^{2}$ .

Por otro lado, si f es subjetivo y ${displaystyle {mathfrak {a}}supseteq ker f}$ entonces:

${mathfrak {a}}^{{ec}}={mathfrak {a}}$ y ${mathfrak {b}}^{{ce}}={mathfrak {b}}$ .
${mathfrak {a}}$ es un ideal excelente en A $Leftrightarrow$ ${mathfrak {a}}^{e}$ es un ideal excelente en B.
${mathfrak {a}}$ es un ideal máximo en A $Leftrightarrow$ ${mathfrak {a}}^{e}$ es un ideal máximo en B.

Remark# K ser una extensión de campo L, y dejar B y A ser los anillos de enteros de K y L, respectivamente. Entonces... B es una extensión integral A, y lo dejamos f ser el mapa de inclusión desde A a B. El comportamiento de un ideal primario ${mathfrak {a}}={mathfrak {p}}$ de A bajo extensión es uno de los problemas centrales de la teoría del número algebraico.

Lo siguiente a veces es útil: un ideal primario ${mathfrak {p}}$ es una contracción de un ideal primario si y sólo si ${displaystyle {mathfrak {p}}={mathfrak {p}}^{ec}}$ . (Prof.: Asumiendo este último, nota ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}=B_{mathfrak {p}}Rightarrow {mathfrak {p}}^{e}}$ intersects ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$ Una contradicción. Ahora, los ideales principales de ${displaystyle B_{mathfrak {p}}}$ corresponde a los B que están descompuestos ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$ . Por lo tanto, hay un ideal primo ${mathfrak {q}}$ de B, disyuntiva de ${displaystyle A-{mathfrak {p}}}$ , tal que ${displaystyle {mathfrak {q}}B_{mathfrak {p}}}$ es un óptimo contenido ${displaystyle {mathfrak {p}}^{e}B_{mathfrak {p}}}$ . Uno entonces comprueba que ${mathfrak {q}}$ mentiras ${mathfrak {p}}$ . El contrario es obvio.)

Generalizaciones

Los ideales se pueden generalizar a cualquier objeto monoide ${displaystyle (R,otimes)}$ , donde $R$ es el objeto donde se ha olvidado la estructura monoide. A ideal de $R$ es un subobjeto $I$ que "absorbs multiplication de la izquierda por elementos de $R$ "; es decir, $I$ es un ideal si satisface las dos condiciones siguientes:

$I$ es un subobjeto $R$
Por todos ${displaystyle rin (R,otimes)}$ y todos ${displaystyle xin (I,otimes)}$ , el producto ${displaystyle rotimes x}$ está dentro ${displaystyle (I,otimes)}$ .

A ideal se define con la condición " ${displaystyle rotimes xin (I,otimes)}$ "sustituido por " ${displaystyle xotimes rin (I,otimes)}$ ". A ideal de dos caras es un ideal izquierdo que es también un ideal derecho, y a veces se llama simplemente un ideal. Cuando $R$ es un objeto monoide conmutativo respectivamente, las definiciones de izquierda, derecha y dos caras coinciden, y el término ideal se usa solo.

Un ideal también se puede considerar como un tipo específico de R-module. Si lo consideramos $R$ como una izquierda $R$ -módulo (por multiplicación izquierda), luego un ideal izquierdo $I$ es realmente sólo un submodulo izquierdo $R$ . En otras palabras, $I$ es un ideal izquierdo (derecha) $R$ si y sólo si es una izquierda (derecha) $R$ -módulo que es un subconjunto $R$ . $I$ es un ideal de dos caras si es un sub- $R$ -Bimodule of $R$ .

Ejemplo: Si lo dejamos $R={mathbb {Z}}$ , un ideal $mathbb {Z}$ es un grupo abeliano que es un subconjunto de $mathbb {Z}$ , es decir. ${displaystyle mmathbb {Z} }$ para algunos $min {mathbb {Z}}$ . Así que estos dan todos los ideales de $mathbb {Z}$ .

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