Ideal principal

En matemáticas, específicamente la teoría del anillo, a ideal es un ideal I{displaystyle Yo... en un anillo R{displaystyle R. que se genera por un solo elemento a{displaystyle a} de R{displaystyle R. a través de la multiplicación por cada elemento R.{displaystyle R. El término también tiene otro significado similar en la teoría del orden, donde se refiere a un (orden) ideal en una pose P{displaystyle P} generado por un solo elemento x▪ ▪ P,{displaystyle xin P,} que es decir el conjunto de todos los elementos menos o igual a x{displaystyle x} dentro P.{displaystyle P.}

El resto de este artículo aborda el concepto de teoría de anillos.

Definiciones

• a ideal izquierdo de R{displaystyle R. es un subconjunto de R{displaystyle R. dado por Ra={}ra:r▪ ▪ R}{displaystyle Ra={ra:rin R. para algunos elementos a,{displaystyle a,}
• a ideal de R{displaystyle R. es un subconjunto de R{displaystyle R. dado por aR={}ar:r▪ ▪ R}{displaystyle aR={ar:rin R. para algunos elementos a,{displaystyle a,}
• a ideal de dos caras de R{displaystyle R. es un subconjunto de R{displaystyle R. dado por RaR={}r1as1+...... +rnasn:r1,s1,...... ,rn,sn▪ ▪ R}{displaystyle RaR={1}as_{1}+ldots ¿Qué? R. para algunos elementos a,{displaystyle a,} es decir, el conjunto de todas las sumas finitas de elementos de la forma ras.{displaystyle ras.}

Si bien esta definición de ideal principal de dos colas puede parecer más complicada que las otras, es necesario asegurarse de que el ideal permanezca cerrado bajo la suma.

Si R{displaystyle R. es un anillo comunicativo con identidad, entonces las tres nociones anteriores son todas iguales. En ese caso, es común escribir el ideal generado por a{displaystyle a} como .. a.. {displaystyle langle arangle } o ()a).{displaystyle (a).}

Ejemplos de ideal no principal

No todos los ideales son principales. Por ejemplo, considere el anillo conmutativo C[x,Sí.]{displaystyle mathbb {C} [x,y]} de todos los polinomios en dos variables x{displaystyle x} y Sí.,{displaystyle y,} con coeficientes complejos. El ideal .. x,Sí... {displaystyle langle x,yrangle } generados por x{displaystyle x} y Sí.,{displaystyle y,} que consiste en todos los polinomios en C[x,Sí.]{displaystyle mathbb {C} [x,y]} que tienen cero para el término constante, no es el principal. Para ver esto, supongamos que p{displaystyle p} era un generador .. x,Sí... .{displaystyle langle x,yrangle.} Entonces... x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} ambos serían divisibles p,{displaystyle p,} que es imposible a menos p{displaystyle p} es una constante no cero. Pero cero es la única constante .. x,Sí... ,{displaystyle langle x,yrangle} Así que tenemos una contradicción.

En el anillo Z[− − 3]={}a+b− − 3:a,b▪ ▪ Z},{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-3}]={a+b{sqrt {-3}a,bin mathbb {Z}} los números donde a+b{displaystyle a+b} es incluso un ideal no principal. Este ideal forma una celosa hexagonal regular en el plano complejo. Considerar ()a,b)=()2,0){displaystyle (a,b)=(2,0)} y ()1,1).{displaystyle (1,1).} Estos números son elementos de este ideal con la misma norma (dos), pero debido a que las únicas unidades en el anillo son 1{displaystyle 1} y − − 1,{displaystyle -1. no son asociados.

Definiciones relacionadas

Un anillo en el que todo ideal es principal se llama principal, o anillo ideal principal. Un dominio ideal principal (PID) es un dominio integral en el que todo ideal es principal. Cualquier PID es un dominio de factorización único; la prueba normal de factorización única en los números enteros (el llamado teorema fundamental de la aritmética) se cumple en cualquier PID.

Ejemplos de ideal principal

Los principales ideales en Z{displaystyle mathbb {Z} son de la forma .. n.. =nZ.{displaystyle langle nrangle =nmathbb {Z} De hecho, Z{displaystyle mathbb {Z} es un dominio ideal principal, que se puede mostrar como sigue. Suppose I=.. n1,n2,...... .. {displaystyle I=langle n_{1},n_{2},ldots rangle } Donde n1ل ل 0,{displaystyle n_{1}neq 0,} y considerar los homomorfismos subjetivos Z/.. n1.. → → Z/.. n1,n2.. → → Z/.. n1,n2,n3.. → → ⋯ ⋯ .{displaystyle mathbb {Z} /langle n_{1}rangle rightarrow mathbb {Z} /langle n_{1},n_{2}rangle rightarrow mathbb {Z} /langle n_{1},n_{2},n_{3}rangle rightarrow cdots.} Desde Z/.. n1.. {displaystyle mathbb {Z} /langle n_{1}rangle } es finito, para lo suficientemente grande k{displaystyle k} tenemos Z/.. n1,n2,...... ,nk.. =Z/.. n1,n2,...... ,nk+1.. =⋯ ⋯ .{displaystyle mathbb {Z} /langle n_{1},n_{2},ldotsn_{k}rangle =mathbb {Z} /langle n_{1},n_{2},ldotsn_{k+1}rangle =cdots.} Así I=.. n1,n2,...... ,nk.. ,{displaystyle I=langle n_{1},n_{2},ldotsn_{k}rangle} que implica I{displaystyle Yo... siempre se genera finitamente. Desde el ideal .. a,b.. {displaystyle langle a,brangle } generado por cualquier entero a{displaystyle a} y b{displaystyle b} es exactamente .. gcd⁡ ⁡ ()a,b).. ,{displaystyle langle mathop {mathrm {gcd} (a,b)rangle} por inducción en el número de generadores se sigue que I{displaystyle Yo... es el director.

Sin embargo, todos los anillos tienen ideales principales, es decir, cualquier ideal generado por exactamente un elemento. Por ejemplo, el ideal .. x.. {displaystyle langle xrangle } es un ideal principal C[x,Sí.],{displaystyle mathbb {C} [x,y],} y .. − − 3.. {displaystyle langle {sqrt {-3}rangle } es un ideal principal Z[− − 3].{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-3}].} De hecho, {}0}=.. 0.. {displaystyle {0}=langle 0rangle } y R=.. 1.. {displaystyle R=langle 1rangle } son ideales principales de cualquier anillo R.{displaystyle R.

Propiedades

Cualquier dominio de Euclidean es un PID; el algoritmo utilizado para calcular los divisores más comunes se puede utilizar para encontrar un generador de cualquier ideal. Más generalmente, cualquier dos ideales principales en un anillo conmutativo tiene un divisor común más grande en el sentido de la multiplicación ideal. En los principales dominios ideales, esto nos permite calcular los mayores divisores comunes de elementos del anillo, hasta la multiplicación por una unidad; definimos gcd()a,b){displaystyle gcd(a,b)} para ser cualquier generador del ideal .. a,b.. .{displaystyle langle a,brangle.}

Para un dominio Dedekind R,{displaystyle R,} también podemos preguntar, dado un ideal no principal I{displaystyle Yo... de R,{displaystyle R,} si hay alguna extensión S{displaystyle S. de R{displaystyle R. tal que el ideal de S{displaystyle S. generados por I{displaystyle Yo... es el principal (se dice más flojamente, I{displaystyle Yo... se convierte en el principal dentro S{displaystyle S.). Esta pregunta surgió en relación con el estudio de anillos de enteros algebraicos (que son ejemplos de dominios de Dedekind) en la teoría de números, y condujo al desarrollo de la teoría de campo de clases por Teiji Takagi, Emil Artin, David Hilbert, y muchos otros.

El teorema ideal principal de la teoría del campo de clase establece que cada anillo entero R{displaystyle R. (i.e. the ring of integers of some number field) is contained in a larger integer ring S{displaystyle S. que tiene la propiedad cada uno ideal R{displaystyle R. se convierte en un ideal principal S.{displaystyle S.} En este teorema podemos tomar S{displaystyle S. ser el anillo de los enteros del campo de clases de Hilbert R{displaystyle R.; es decir, la extensión abeliana máxima unramificada (es decir, la extensión Galois cuyo grupo Galois es abeliano) del campo de la fracción de la R,{displaystyle R,} y esto está determinado por R.{displaystyle R.

El principal teorema ideal de Krull dice que si R{displaystyle R. es un anillo noetheriano y I{displaystyle Yo... es un ideal principal y adecuado R,{displaystyle R,} entonces I{displaystyle Yo... tiene altura a la mayoría.