Ideal máximo

En matemáticas, más específicamente en teoría de anillos, un ideal máximo es un ideal que es máximo (con respecto a la inclusión de conjuntos) entre todos los ideales propios. En otras palabras, I es un ideal maximal de un anillo R si no hay otros ideales contenidos entre I y R.

Los ideales maximales son importantes porque los cocientes de anillos por ideales maximales son anillos simples, y en el caso especial de anillos unitales conmutativos también son campos.

En la teoría del anillo no conmutativo, un ideal derecho máximo se define de manera análoga como un elemento máximo en el conjunto de ideales derechos propios y, de manera similar, un ideal izquierdo máximo es definido como un elemento máximo del conjunto de ideales propios de la izquierda. Dado que un ideal maximal de un solo lado A no es necesariamente de dos lados, el cociente R/A no es necesariamente un anillo, pero es un módulo simple sobre R. Si R tiene un ideal derecho máximo único, entonces R se conoce como un anillo local, y el ideal derecho máximo es también el ideal izquierdo máximo único y el ideal bilateral máximo único del anillo, y es de hecho el radical de Jacobson J(R).

Es posible que un anillo tenga un único ideal máximo de dos lados y, sin embargo, carezca de ideales máximos únicos de un lado: por ejemplo, en el anillo de matrices cuadradas de 2 por 2 sobre un campo, el ideal cero es un máximo de dos ideal bilateral, pero hay muchos ideales rectos máximos.

Definición

Hay otras formas equivalentes de expresar la definición de ideales máximos unilaterales y máximos bilaterales. Dado un anillo R y un ideal propio I de R (es decir, I ≠ R), I es un ideal maximal de R si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• No existe otro ideal adecuado J de R así I ⊊ J.
• Para cualquier ideal J con I ⊆ J, o J = I o J = R.
• El anillo cociente R/I es un anillo simple.

Hay una lista análoga para los ideales unilaterales, para los cuales solo se darán las versiones de la mano derecha. Para un ideal recto A de un anillo R, las siguientes condiciones son equivalentes a que A sea un ideal recto maximal de R:

• No existe otro ideal adecuado B de R así A ⊊ B.
• Para cualquier ideal adecuado B con A ⊆ B, o B = A o B = R.
• El módulo de cociente R/A es un derecho simple R- Bien.

Los ideales máximos de derecha/izquierda/dos caras son la noción dual de los ideales mínimos.

Ejemplos

• Si F es un campo, entonces el único ideal maximal es {0}.
• En el anillo Z de enteros, los ideales máximos son los ideales principales generados por un número primo.
• Más generalmente, todos los ideales noceros son maximal en un dominio ideal principal.
• El ideal ${displaystyle (2,x)}$ es un ideal maximal en anillo ${displaystyle mathbb {Z} [x]$. Generalmente, los ideales máximos de ${displaystyle mathbb {Z} [x]$ son de la forma ${displaystyle (p,f(x)}$ Donde ${displaystyle p}$ es un número primo y ${displaystyle f(x)}$ es un polinomio en ${displaystyle mathbb {Z} [x]$ que es un modulo irreducible ${displaystyle p}$.
• Cada ideal principal es un ideal máximo en un anillo booleano, es decir, un anillo que consta de sólo elementos idempotentes. De hecho, cada ideal primario es maximal en un anillo conmutativo ${displaystyle R.$ cuando existe un entero ${displaystyle n confía1}$ tales que ${displaystyle x^{n}=x}$ para cualquier ${displaystyle xin R}$.
• Los ideales máximos del anillo polinomio ${displaystyle mathbb {C} [x]$ son ideales principales generados por ${displaystyle x-c}$ para algunos ${displaystyle cin mathbb {C}$.
• Más generalmente, los ideales máximos del anillo polinomio K[x₁,... x_n] sobre un campo algebraicamente cerrado K son los ideales de la forma ()x₁−a₁,... x_n−a_n). Este resultado es conocido como el débil Nullstellensatz.

Propiedades

• Un ideal importante del anillo llamado el radical Jacobson se puede definir usando ideales de derecha máxima (o izquierda máxima).
• Si R es un anillo comunicativo unitario con un ideal m, entonces k = R/m es un campo si y sólo si m es un ideal maximal. En ese caso, R/m es conocido como el campo de residuos. Este hecho puede fallar en anillos no uniformes. Por ejemplo, ${displaystyle 4mathbb {Z}$ es un ideal máximo en ${displaystyle 2mathbb {Z}$, pero ${displaystyle 2Mathbb {Z} {Z}$ no es un campo.
• Si L es un ideal de izquierda maximal, entonces R/L es una simple izquierda R- Bien. A la inversa en anillos con unidad, cualquier simple izquierda R- El módulo surge así. Incidentalmente esto muestra que una colección de representantes de izquierda simple R-modules es en realidad un conjunto ya que se puede poner en correspondencia con parte del conjunto de ideales de izquierda maximal de R.
• Teorema de Krull (1929): Cada anillo unitario no cero tiene un ideal máximo. El resultado también es cierto si "ideal" es reemplazado por " ideal derecho" o "izquierda ideal". En términos más generales, es cierto que cada módulo generado sin cero tiene un submodulo máximo. Suppose I es un ideal que no R (respectivamente, A es un ideal adecuado que no R). Entonces... R/I es un anillo de unidad (respectivamente, R/A es un módulo de generación finita), por lo que los teoremas anteriores se pueden aplicar al cociente para concluir que hay un ideal máximo (respectivamente, ideal derecho máximo) de R que contiene I (respectivamente, A).
• El teorema de Krull puede fallar por anillos sin unidad. Un anillo radical, es decir, un anillo en el que el radical Jacobson es todo el anillo, no tiene módulos simples y por lo tanto no tiene ideales máximos a la derecha o a la izquierda. Vea ideales regulares para posibles maneras de evitar este problema.
• En un anillo comunicativo con unidad, cada ideal maximal es un ideal excelente. El contrario no siempre es cierto: por ejemplo, en cualquier dominio integral no campo el ideal cero es un ideal primario que no es maximal. Anillos conmutativos en los que los ideales primos son máximos se conocen como anillos de dimensión cero, donde la dimensión utilizada es la dimensión Krull.
• Un ideal máximo de un anillo nomutativo podría no ser primo en el sentido comunicativo. Por ejemplo, vamos ${displaystyle M_{ntimes n}(mathbb {Z})}$ ser el anillo de todos ${displaystyle ntimes n}$ matrices sobre ${displaystyle mathbb {Z}$. Este anillo tiene un ideal máximo ${displaystyle M_{ntimes n}(pmathbb {Z})}$ para cualquier primo ${displaystyle p}$, pero esto no es un ideal excelente desde (en el caso ${displaystyle n=2}$)${displaystyle A={text{diag}(1,p)}$ y ${displaystyle B={text{diag}(p,1)}$ no están ${displaystyle M_{ntimes n}(pmathbb {Z})}$, pero ${displaystyle AB=pI_{2}in M_{ntimes n}(pmathbb {Z}$. Sin embargo, ideales máximos de anillos nomutantes son primo en el sentido generalizado abajo.

Generalización

Para un módulo R A, un submódulo máximo M de A es un submódulo M ≠ A que satisface la propiedad de que para cualquier otro submódulo N, M ⊆ N ⊆ A implica N = M o N = A. De manera equivalente, M es un submódulo maximal si y solo si el módulo cociente A/M es un módulo simple. Los ideales rectos máximos de un anillo R son exactamente los submódulos máximos del módulo R_R.

A diferencia de los anillos con unidad, un módulo distinto de cero no necesariamente tiene submódulos máximos. Sin embargo, como se señaló anteriormente, los módulos distintos de cero generados finitamente tienen submódulos máximos, y también los módulos proyectivos tienen submódulos máximos.

Al igual que con los anillos, uno puede definir el radical de un módulo utilizando submódulos máximos. Además, los ideales maximales se pueden generalizar definiendo un subbimódulo máximo M de un bimódulo B como un subbimódulo propio de M que no está contenido en ningún otro sub-bimódulo propio de M. Los ideales maximales de R son entonces exactamente los sub-bimódulos máximos del bimódulo _RR_{< i>R}.