Icosidodecaedro truncado

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Arquitecto sólido

Truncated icosidodecahedron
(Haga clic aquí para el modelo giratorio)
Tipo	Arquitecto sólido Uniform polyhedron
Elementos	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
Caras por lados	30{4}+20{6}+12{10}
Notación de Conway	b D o taD
Símbolos de Schläfli	tr{5,3} or $tbegin{Bmatrix} 5 \ 3 end{Bmatrix}$
Símbolos de Schläfli	t_0,1,2{5,3}
Signatura Wythoff	2 3 5
Coxeter diagrama
Grupo de Symmetry	Ih, H₃, [5,3], (*532), orden 120
Grupo de rotación	I, [5,3]⁺, (532), orden 60
Ángulo Dihedral	6-10: 142,62° 4-10: 148,28° 4-6: 159.095°
Referencias	U₂₈, C₃₁, W₁₆
Propiedades	Convexo semiregular zonohedron
Caras de colores	4.6.10 (Vertex figure)
Disdyakis triacontahedron (poliedro dual)	Cifras netas

En geometría, un icosidodecaedro truncado, icosidodecaedro rombitruncado, gran rombicosidodecaedro, dodecaedro omnitruncado o El icosaedro omnitruncado es un sólido de Arquímedes, uno de los trece sólidos convexos, isogonales y no prismáticos construidos por dos o más tipos de caras poligonales regulares.

Tiene 62 caras: 30 cuadrados, 20 hexágonos regulares y 12 decágonos regulares. Tiene la mayor cantidad de aristas y vértices de todos los sólidos platónicos y de Arquímedes, aunque el dodecaedro chato tiene más caras. De todos los poliedros transitivos de vértice, ocupa el mayor porcentaje (89,80 %) del volumen de una esfera en la que está inscrito, superando por muy poco al dodecaedro chato (89,63 %) y al rombicosidodecaedro pequeño (89,23 %), y superando por poco a el icosaedro truncado (86,74%); también tiene, con mucho, el mayor volumen (206,8 unidades cúbicas) cuando la longitud de su arista es igual a 1. De todos los poliedros transitivos de vértice que no son prismas ni antiprismas, tiene la mayor suma de ángulos (90 + 120 + 144 = 354 grados) en cada vértice; solo un prisma o antiprisma con más de 60 lados tendría una suma mayor. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual (equivalente a una simetría rotacional de 180°), el icosidodecaedro truncado es un 15-zonoedro.

Nombres

El nombre icosidodecedro truncado, dado originalmente por Johannes Kepler, es engañoso. Una truncación real de un icosidodecahedro tiene rectángulos en lugar de cuadrados. Este poliedro no uniforme es topológicamente equivalente al sólido arquímico.

Los nombres intercambiables alternativos son:

Truncated icosidodecahedron (Johannes Kepler)
Rhombitruncated icosidodecahedron (Magnus Wenninger)
Gran rhombicosidodecahedron (Robert Williams, Peter Cromwell)
Dodecaedro omnitruncado o icosahedron (Norman Johnson)

Icosidodecahedron y su truncación

El nombre gran rombicosidodecaedro hace referencia a la relación con el (pequeño) rombicosidodecaedro (compárese con la sección Disección).
Hay un poliedro uniforme no convexo con un nombre similar, el gran rombicosidodecaedro no convexo.

Área y volumen

El área superficial A y el volumen V del icosidodecaedro truncado de longitud de arista a son:

{displaystyle {begin{aligned}A&=30left(1+{sqrt {3}}+{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}right)a^{2}&&approx 174.292,0303a^{2}.\V&=left(95+50{sqrt {5}}right)a^{3}&&approx 206.803,399a^{3}.end{aligned}}}

Si se construyera un conjunto de los 13 sólidos de Arquímedes con todas las longitudes de los bordes iguales, el icosidodecaedro truncado sería el más grande.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un icosidodecaedro truncado con longitud de arista 2φ − 2, centrado en el origen, son todas las permutaciones pares de:

(±1φ±1φ± 3 +φ)),

(±2φ±φ±(1 + 2φ)),

(±1φ±φ²±(−1 + 3φ)),

(±(2)φ± 2, 2 +φ)) y

(±φ±3, ±2φ),

donde φ = 1 + √5/2 es la proporción áurea.

Disección

El icosidodecaedro truncado es el casco convexo de un rombicosidodecaedro con paralelepípedos sobre sus 30 cuadrados, cuya relación entre la altura y la base es $φ$ . El resto de su espacio se puede dividir en cúpulas no uniformes, a saber, 12 entre pentágonos interiores y decágonos exteriores y 20 entre triángulos interiores y hexágonos exteriores.

Una disección alternativa también tiene un núcleo rombicosidodecaédrico. Tiene 12 rotondas pentagonales entre pentágonos interiores y decágonos exteriores. La parte restante es un poliedro toroidal.

imágenes de disección
Estas imágenes muestran el rhombicosidodecedro (violeta) y el icosidodecedro truncado (verde). Si sus longitudes de borde son 1, la distancia entre los cuadrados correspondientes es $φ$ . El poliedro toroidal que permanece después del núcleo y doce rotundas se cortan

Proyecciones ortogonales

El icosidodecaedro truncado tiene siete proyecciones ortogonales especiales, centradas en un vértice, en tres tipos de aristas y tres tipos de caras: cuadrada, hexagonal y decagonal. Los dos últimos corresponden a los planos A₂ y H₂ de Coxeter.

Proyecciones ortogonales
Centrado por	Vertex	Edge 4-6	Edge 4 a 10	Edge 6 a 10	Cara cuadrado	Cara hexagon	Cara decagon
Sólido
Wireframe
Projective simetría	[2]⁺	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Doble imagen

Teselas esféricas y diagramas de Schlegel

El icosidodecaedro truncado también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando ángulos pero no áreas o longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Los diagramas de Schlegel son similares, con una proyección en perspectiva y bordes rectos.

Proyección ortográfica	Proyecciones estereográficas
	Decagon-centered	Hexagon-centered	Centrado en la plaza

Variaciones geométricas

Dentro de la simetría icosaédrica existen variaciones geométricas ilimitadas del icosidodecaedro truncado con caras isogonales. El dodecaedro truncado, el rombicosidodecaedro y el icosaedro truncado como casos límite degenerados.

Gráfico icosidodecaédrico truncado

En el campo matemático de la teoría de grafos, un grafo icosidodecaedro truncado (o gran grafo rombicosidodecaedro) es el grafo de vértices y aristas del icosidodecaedro truncado, uno de los sólidos de Arquímedes. Tiene 120 vértices y 180 aristas, y es un grafo de Arquímedes cúbico y con simetría cero.

Gráficos del diagrama de Schlegel
Simetría 3 veces	Simetría doble

Poliedros y mosaicos relacionados


Bowtie icosahedron y dodecahedron contienen dos caras trapezoidales en lugar de la plaza.

Family of uniform icosahedral polyhedra
Simetría: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Este poliedro puede considerarse miembro de una secuencia de patrones uniformes con figura de vértice (4.6.2p) y diagrama de Coxeter-Dynkin . Para pLos miembros de la secuencia son poliedros omnitruncados (zonohedrones), mostrados a continuación como revestimientos esféricos. Para pØ 6, son tilings del plano hiperbólico, empezando por el azulejo triheptagonal truncado.

n32 mutación de simetría de los revestimientos omnímicos: 4.6.2n* v t e
Sym. *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Hiperb compacto.		Paraco.	Hiperbólico no consumado
Sym. *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Gráficos
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duales
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

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