Huesos de napier

Un conjunto de huesos de Napier

Un inusual conjunto del siglo XVIII de los huesos de Napier en los que los números están en cilindros giratorios en lugar de varillas de sección transversal cuadrada

Los huesos de Napier es un dispositivo de cálculo manual creado por John Napier de Merchiston, Escocia, para el cálculo de productos y cocientes de números. El método se basaba en la multiplicación reticular y también se denominaba rabdología, una palabra inventada por Napier. Napier publicó su versión en 1617. Fue impresa en Edimburgo y dedicada a su patrón Alexander Seton.

Usando las tablas de multiplicar incrustadas en las varillas, la multiplicación se puede reducir a operaciones de suma y la división a restas. El uso avanzado de las varillas puede extraer raíces cuadradas. Los huesos de Napier no son lo mismo que los logaritmos, con los que también se asocia el nombre de Napier, pero se basan en tablas de multiplicar diseccionadas.

El dispositivo completo suele incluir una placa base con borde; el usuario coloca las varillas de Napier dentro del borde para realizar multiplicaciones o divisiones. El borde izquierdo del tablero está dividido en nueve cuadrados, que contienen los números del 1 al 9. En el diseño original de Napier, las varillas están hechas de metal, madera o marfil y tienen una sección transversal cuadrada. Cada varilla tiene grabada una tabla de multiplicar en cada una de las cuatro caras. En algunos diseños posteriores, las varillas son planas y tienen grabadas dos tablas o solo una, y están hechas de plástico o cartón pesado. Un juego de tales huesos podría estar encerrado en un estuche de transporte.

La cara de una varilla está marcada con nueve cuadrados. Cada cuadrado, excepto el de arriba, está dividido en dos mitades por una línea diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. Los cuadrados contienen una tabla de multiplicar simple. El primero tiene un solo dígito, que Napier llamó el 'único'. Los otros contienen los múltiplos del sencillo, es decir, el doble del sencillo, el triple del sencillo y así sucesivamente hasta el noveno cuadrado que contiene nueve veces el número del cuadrado superior. Los números de un solo dígito se escriben en el triángulo inferior derecho dejando el otro triángulo en blanco, mientras que los números de dos dígitos se escriben con un dígito a cada lado de la diagonal.

Si las tablas se sostienen sobre varillas de un solo lado, se necesitan 40 varillas para multiplicar números de 4 dígitos; dado que los números pueden tener dígitos repetidos, se necesitan cuatro copias de la tabla de multiplicar para cada uno de los dígitos del 0 al 9. Si se utilizan barras cuadradas, las 40 tablas de multiplicar se pueden inscribir en 10 barras. Napier dio detalles de un esquema para organizar las tablas de modo que ninguna barra tenga dos copias de la misma tabla, lo que permite que cada número posible de cuatro dígitos se represente con 4 de las 10 barras. Un juego de 20 barras, que consta de dos copias idénticas de las 10 barras de Napier, permite el cálculo con números de hasta ocho dígitos, y un juego de 30 barras se puede utilizar para números de 12 dígitos.

Multiplicación

El tipo de multiplicación más simple, un número con varios dígitos por un número con un solo dígito, se realiza colocando barras que representan el número de varios dígitos en el marco contra el borde izquierdo. La respuesta se lee en la fila correspondiente al número de un solo dígito que está marcado a la izquierda del marco, con una pequeña suma requerida, como se explica en los ejemplos a continuación.

Al multiplicar un número de varios dígitos por otro número de varios dígitos, el número mayor se establece en las varillas del marco. El dispositivo de multiplicación por cada una de las cifras del número menor produce un resultado intermedio. Estos se anotan y el resultado final se calcula con lápiz y papel.

Para demostrar cómo usar los huesos de Napier para la multiplicación, a continuación se explican tres ejemplos de dificultad creciente.

Ejemplo 1: multiplicación por un número pequeño de un solo dígito

El primer ejemplo calcula 425 × 6.

Los huesos de Napier para 4, 2 y 5 se colocan en el tablero, en secuencia. Estos huesos muestran la cifra más grande que se multiplicará. Los números inferiores en cada columna, o hueso, son los dígitos que se encuentran en las tablas de multiplicar ordinarias para el entero correspondiente, colocados encima y debajo de una línea diagonal. (Por ejemplo, los dígitos que se muestran en la séptima fila del hueso 4 son 2 ⁄ 8, que representa 7 × 4 = 28). En el siguiente ejemplo para 425 × 6, los huesos se representan aquí como rojo (4), amarillo (2) y azul (5).

La columna más a la izquierda, que precede a los huesos que se muestran en color, puede representar el hueso 1. (Debe entenderse un espacio en blanco o cero en la parte superior izquierda de cada dígito, separados por una línea diagonal, ya que 1 × 1 = 01, 1 × 2 = 02, 1 x 3 = 03, etc.) Se elige un número pequeño, normalmente del 2 al 9, para multiplicar el número grande. En este ejemplo, el número pequeño por el que se multiplica el mayor es 6. La fila horizontal en la que se encuentra este número es la única fila necesaria para realizar los cálculos restantes y ahora se puede ver de forma aislada.

Para el cálculo, los dígitos separados por líneas verticales (es decir, emparejados entre líneas diagonales, cruzando de un hueso al siguiente) se suman para formar los dígitos del producto. El número final (más a la derecha) en esa fila nunca requerirá suma, ya que siempre está aislado por la última línea diagonal y siempre será el dígito final del producto. En este ejemplo, hay cuatro dígitos, ya que hay cuatro grupos de valores óseos entre líneas diagonales. Los dígitos del producto aparecerán en el orden calculado de izquierda a derecha. Aparte del primer y último dígito, los dígitos del producto serán cada uno la suma de dos valores tomados de dos huesos diferentes.

Los valores de los huesos se suman, como se describió anteriormente, para encontrar los dígitos del producto. En este diagrama, el tercer dígito del producto de los huesos amarillo y azul tiene sus valores relevantes de color verde. Cada suma se escribe en el espacio de abajo. La secuencia de las sumas de izquierda a derecha produce la cifra de 2550. Por lo tanto, la solución para multiplicar 425 por 6 es 2550.

Ejemplo 2: multiplicación por un número mayor de un solo dígito

Al multiplicar por dígitos individuales más grandes, es común que al agregar una columna diagonal, la suma de los números da como resultado un número de 10 o más.

El segundo ejemplo calcula 6785 × 8.

Al igual que el Ejemplo 1, se colocan en el tablero los huesos correspondientes al número mayor. Para este ejemplo, los huesos 6, 7, 8 y 5 se colocaron en el orden correcto como se muestra a continuación.

En la primera columna se ubica el número por el cual se multiplica el número mayor. En este ejemplo, el número era 8. Solo se usará la fila 8 para los cálculos restantes, por lo que el resto del tablero se ha borrado para mayor claridad al explicar los pasos restantes.

Al igual que antes, se evalúa cada columna diagonal, comenzando por el lado derecho. Si la suma de una columna diagonal es igual a 10 o más, las "decenas" el lugar de esta suma debe transferirse y sumarse junto con los números en la columna izquierda adyacente como se muestra a continuación.

Después de evaluar cada columna diagonal, los números calculados se leen de izquierda a derecha para producir una respuesta final; en este ejemplo, se produjo 54280.

Por lo tanto: la solución para multiplicar 6785 por 8 es 54280.

Ejemplo 3: multiplicación por un número de varios dígitos

El tercer ejemplo calcula 825 × 913.

Los huesos correspondientes al número principal se colocan en el tablero. Para este ejemplo, los huesos 8, 2 y 5 se colocaron en el orden correcto como se muestra a continuación.

Para multiplicar por un número de varios dígitos, se revisan varias filas. Para este ejemplo, las filas de 9, 1 y 3 se han eliminado del tablero para mayor claridad.

Cada fila se evalúa individualmente y cada columna diagonal se agrega como se explica en los ejemplos anteriores. Las sumas se leen de izquierda a derecha, produciendo los números necesarios para los cálculos de suma de mano larga que siguen. Para este ejemplo, la fila 9, la fila 1 y la fila 3 se evaluaron por separado para producir los resultados que se muestran a continuación.

Comenzando con el dígito más a la derecha del segundo número, las sumas se colocan en las filas en orden secuencial, como se ve de derecha a izquierda, una debajo de la otra, utilizando un 0 como marcador de posición.

 2475 8250
 742500

Las filas y los marcadores de posición se suman para producir una respuesta final.

 2475
8250
+ 742500 753225

En este ejemplo, la respuesta final producida fue 753225. Por lo tanto: La solución para multiplicar 825 por 913 es 753225.

División

La división se realiza de manera similar. Para dividir 46785399 entre 96431, se colocan las barras del divisor (96431) en el tablero, como se muestra en el siguiente gráfico. Usando el ábaco, todos los productos del divisor del 1 al 9 se encuentran leyendo los números mostrados. Tenga en cuenta que el dividendo tiene ocho dígitos, mientras que los productos parciales (salvo el primero) tienen seis. Entonces, los dos dígitos finales de 46785399, a saber, el '99', se ignoran temporalmente, dejando el número 467853. Luego, se encuentra el mayor producto parcial que es menor que el dividendo truncado. En este caso, 385724. Hay que anotar dos cosas, como se ve en el diagrama: dado que 385724 está en el '4' fila del ábaco, un '4' se marca hacia abajo como el dígito más a la izquierda del cociente; también se escribe el producto parcial, alineado a la izquierda, bajo el dividendo original. Se restan los dos términos, lo que deja 8212999. Se repiten los mismos pasos: el número se trunca a seis dígitos, se elige el producto parcial inmediatamente menor que el número truncado, el número de fila se escribe como el siguiente dígito del cociente y el producto parcial se resta de la diferencia encontrada en la primera repetición. El proceso se muestra en el diagrama. El ciclo se repite hasta que el resultado de la resta sea menor que el divisor. El número que queda es el resto.

Entonces, en este ejemplo, lo que queda es un cociente de 485 con un resto de 16364. El proceso generalmente se detiene aquí y la respuesta usa la forma fraccionaria 485+16364/96431.

Para mayor precisión, se continúa el ciclo para encontrar tantos lugares decimales como se requiera. Se marca un punto decimal después del último dígito del cociente y se agrega un cero al resto que deja 163640. El ciclo continúa, cada vez que se agrega un cero al resultado después de la resta.

Extracción de raíces cuadradas

Para sacar la raíz cuadrada se utiliza un hueso adicional que se diferencia de los demás por tener tres columnas. La primera columna tiene los primeros nueve números cuadrados, la segunda tiene los primeros nueve números pares y la última tiene los números del 1 al 9.

Para encontrar la raíz cuadrada de 46785399, sus dígitos se agrupan de dos en dos comenzando desde la derecha para que se vea así:

46785399

Nota: Un número con un número impar de dígitos como 85399 se agruparía como 085399

El grupo más a la izquierda se elige primero, en este caso 46. Se elige el cuadrado más grande en el hueso de la raíz cuadrada menor que 46, que es 36 de la sexta fila. El primer dígito de la solución es 6, ya que se eligió la sexta fila.

Luego, el número en la segunda columna de la sexta fila en el hueso de la raíz cuadrada, 12, se coloca en la pizarra.

El valor de la primera columna de la sexta fila, 36, se resta de 46, lo que deja 10.

El siguiente grupo de dígitos, 78, se agrega junto al 10; esto deja el resto 1078.

En esta etapa, el tablero y los cálculos intermedios deberían verse así:

 √46 78 53 99 = 6
− 3610 78

Los números de cada fila se "leen", ignorando la segunda y la tercera columna del hueso de la raíz cuadrada; estos se registran. (Por ejemplo, la sexta fila se lee como: 0⁄6 1⁄2 3⁄6 → 756).

Al igual que en la multiplicación que se muestra antes, los números se leen de derecha a izquierda y se suman los números diagonales de arriba a derecha a izquierda-abajo (6 + 0 = 6; 3 + 2 = 5; 1 + 6 = 7).

Se encuentra el número más grande menor que el resto actual, 1078 (de la octava fila).

 √46 78 53 99 = 68− 3610 78
− 10 24 54

Como antes, se agrega 8 para obtener el siguiente dígito de la raíz cuadrada y el valor de la octava fila, 1024, se resta del resto actual, 1078, para obtener 54. La segunda columna de la octava fila en la cuadrado Se lee el hueso raíz, 16, y se coloca el número en la pizarra de la siguiente manera.

El número actual en el tablero es 12. El primer dígito de 16 se suma a 12 y el segundo dígito de 16 se agrega al resultado. Por lo tanto, el tablero debe configurarse para:

12 + 1 = 13 → Apéndice 6 → 136

Nota: Si la segunda columna del hueso de la raíz cuadrada tiene sólo un dígito, esto se adjunta al número actual en el tablero.

El tablero y los cálculos intermedios ahora se ven así.

 √46 78 53 99 = 68
− 3610 78
− 10 2454 53

Una vez más, se encuentra la fila con el mayor valor menor que el resto parcial actual, 5453. Esta vez, es la tercera fila con 4089.

 √46 78 53 99 = 683− 3610 78
− 10 2454 53
− 40 89 13 64

El siguiente dígito de la raíz cuadrada es 3. Se repiten los mismos pasos anteriores y se resta 4089 del resto actual, 5453, para obtener 1364 como resto siguiente. Cuando se reorganiza el tablero, la segunda columna del hueso de la raíz cuadrada es 6, un solo dígito. Entonces, se agrega 6 al número actual en el tablero, 136, para dejar 1366 en el tablero.

136 → apéndice 6 → 1366

 √46 78 53 99 = 683
− 3610 78
− 10 2454 53
− 40 8913 64 99

El proceso se repite de nuevo. Ahora, el valor más grande en el tablero más pequeño que el resto actual, 136499, es 123021 de la novena fila.

Con frecuencia, no es necesario encontrar el valor de cada fila para obtener la respuesta. La fila que tiene la respuesta se puede adivinar mirando el número en los primeros huesos y comparándolo con los primeros dígitos del resto. Pero los diagramas muestran el valor de todas las filas para que sea comprensible.

9 se agrega al resultado y 123021 se resta del resto actual.

 √46 78 53 99 = 6839− 3610 78
− 10 2454 53
− 40 8913 64 99
− 12 30 21 1 34 78

Si se han usado todos los dígitos y queda un resto, entonces la parte entera está resuelta, pero aún se necesita encontrar un bit fraccionario.

Si se resuelve la parte entera, el resultado actual al cuadrado (6839² = 46771921) debe ser el cuadrado perfecto más grande menor que 46785899.

Esta idea se usa más adelante para comprender cómo funciona la técnica, pero se pueden generar más dígitos.

De manera similar a encontrar la parte fraccionaria en una división larga, se agregan dos ceros al resto para obtener el nuevo resto 1347800. La segunda columna de la novena fila del hueso de la raíz cuadrada es 18 y el número actual en el tablero es 1366.

1366 + 1 → 1367 → apéndice 8 → 13678

se calcula para establecer 13678 en el tablero.

El tablero y los cálculos intermedios ahora se ven así.

 √46 78 53 99.00 = 6839.
− 3610 78
− 10 2454 53
− 40 8913 64 99
− 12 30 211 34 78 00

La novena fila con 1231101 es el valor más grande más pequeño que el resto, por lo que el primer dígito de la parte fraccionaria de la raíz cuadrada es 9.

 √46 78 53 99.00 = 6839.9− 3610 78
− 10 2454 53
− 40 8913 64 99
− 12 30 211 34 78 00
− 1 23 11 01 11 66 99

El valor de la novena fila se resta del resto y se agregan algunos ceros más para obtener el nuevo resto 11669900. La segunda columna de la novena fila es 18 con 13678 en el tablero, por lo que

13678 + 1 → 13679 → apéndice 8 → 136798

se calcula para establecer 136798 en el tablero.

 √46 78 53 99.00 00 = 6839.9
− 3610 78
− 10 2454 53
− 40 8913 64 99
− 12 30 211 34 78 00
− 1 23 11 0111 66 99 00

Los pasos se pueden continuar para encontrar tantos dígitos como se necesiten y si se logra la precisión necesaria. Si el resto se convierte en cero, esto significa que se encontró la raíz cuadrada exacta.

Redondeando hacia arriba

Habiendo encontrado el número deseado de dígitos, es fácil determinar si necesita o no redondear hacia arriba; es decir, cambiando el último dígito. No es necesario encontrar otro dígito para ver si es igual o mayor que 5. Se agrega 25 a la raíz y se compara con el resto; si es menor o igual que el resto, el siguiente dígito será al menos cinco y será necesario redondear hacia arriba. En el ejemplo anterior, 6839925 es menor que 11669900, por lo que la raíz debe redondearse a 6840.0.

Para encontrar la raíz cuadrada de un número que no es un número entero, digamos 54782.917, todo es igual, excepto que los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal se agrupan en dos.

Entonces 54782.917 se agruparía como

054782.9170

Entonces la raíz cuadrada se puede encontrar usando el proceso mencionado anteriormente.

Modificación diagonal

Durante el siglo XIX, los huesos de Napier se transformaron para que fueran más fáciles de leer. Las varillas se hicieron con un ángulo de unos 65° para que los triángulos que había que sumar quedaran alineados. En este caso, en cada cuadrado de la varilla la unidad está a la derecha y la decena (o el cero) a la izquierda.

Las varillas se hicieron de manera que las líneas verticales y horizontales fueran más visibles que la línea donde se tocaban las varillas, lo que facilitaba la lectura de los dos componentes de cada dígito del resultado. Por lo tanto, en la imagen queda inmediatamente claro que:

987654321 × 5 = 4938271605

Gobernantes Genaille–Lucas

En 1891, Henri Genaille inventó una variante de los huesos de Napier que se conoció como gobernantes Genaille-Lucas. Al representar el acarreo gráficamente, los resultados de problemas simples de multiplicación se pueden leer directamente, sin cálculos mentales intermedios.

El siguiente ejemplo calcula 52749 × 4 = 210996.