Horizonte

Un horizonte al atardecer en High Desert, California, EE.UU.

El horizonte es la curva aparente que separa la superficie de un cuerpo celeste de su cielo cuando se ve desde la perspectiva de un observador en o cerca de la superficie del cuerpo relevante. Esta curva divide todas las direcciones de visualización en función de si se cruza con la superficie del cuerpo relevante o no.

El horizonte verdadero es una línea teórica, que solo se puede observar con algún grado de precisión cuando se encuentra a lo largo de una superficie relativamente suave como la de los océanos de la Tierra. En muchos lugares, esta línea está oscurecida por el terreno, y en la Tierra también puede estar oscurecida por formas de vida como árboles y/o construcciones humanas como edificios. La intersección resultante de dichas obstrucciones con el cielo se denomina horizonte visible. En la Tierra, al mirar un mar desde la orilla, la parte del mar más cercana al horizonte se llama offing.

El horizonte verdadero rodea al observador y normalmente se supone que es un círculo, dibujado en la superficie de un modelo perfectamente esférico del cuerpo celeste relevante, es decir, un pequeño círculo de la esfera osculadora local. Con respecto a la Tierra, el centro del horizonte verdadero está por debajo del observador y por debajo del nivel del mar. Su radio o distancia horizontal del observador varía ligeramente de un día a otro debido a la refracción atmosférica, que se ve muy afectada por las condiciones climáticas. Además, cuanto más alto estén los ojos del observador desde el nivel del mar, más lejos estará el horizonte del observador. Por ejemplo, en condiciones atmosféricas estándar, para un observador con el nivel de los ojos por encima del nivel del mar a 1,70 metros (5 pies 7 pulgadas), el horizonte está a una distancia de unos 5 kilómetros (3,1 millas). Cuando se observa desde puntos de vista muy altos, como una estación espacial, el horizonte está mucho más lejos y abarca un área mucho más grande de la superficie de la Tierra. En este caso, el horizonte ya no sería un círculo perfecto, ni siquiera una curva plana como una elipse, especialmente cuando el observador está por encima del ecuador, ya que la superficie de la Tierra se puede modelar mejor como un elipsoide achatado que como una esfera.

Etimología

La palabra horizonte deriva del griego ὁρίζων κύκλος (horízōn kýklos) 'círculo de separación', donde ὁρίζων proviene del verbo ὁρίζω (horízō) 'dividir, separar', que a su vez deriva del ὅρος (hóros) 'límite, punto de referencia'.

Apariencia y uso

Vista del océano con un barco en el horizonte (pequeño punto a la izquierda de la nave terrestre)

Históricamente, la distancia al horizonte visible ha sido durante mucho tiempo vital para la supervivencia y la navegación exitosa, especialmente en el mar, porque determinaba el rango máximo de visión de un observador y, por lo tanto, de comunicación, con todas las consecuencias obvias para la seguridad. y la transmisión de información que implicaba este rango. Esta importancia disminuyó con el desarrollo de la radio y el telégrafo, pero incluso hoy en día, cuando se vuela una aeronave bajo las reglas de vuelo visual, se utiliza una técnica llamada actitud de vuelo para controlar la aeronave, donde el piloto utiliza la relación visual entre la aeronave y el vuelo.;s nariz y el horizonte para controlar el avión. Los pilotos también pueden conservar su orientación espacial refiriéndose al horizonte.

En muchos contextos, especialmente en el dibujo en perspectiva, la curvatura de la Tierra no se tiene en cuenta y el horizonte se considera la línea teórica en la que convergen los puntos de cualquier plano horizontal (cuando se proyectan en el plano de la imagen) a medida que aumenta su distancia desde el observador. Para los observadores cerca del nivel del mar, la diferencia entre este horizonte geométrico (que asume un plano de tierra infinito perfectamente plano) y el horizonte verdadero (que asume una superficie esférica de la Tierra) es imperceptible a simple vista. Sin embargo, para alguien en una colina de 1000 m (3300 pies) mirando al mar, el horizonte real estará aproximadamente un grado por debajo de una línea horizontal.

En astronomía, el horizonte es el plano horizontal a través de los ojos del observador. Es el plano fundamental del sistema de coordenadas horizontales, el lugar geométrico de los puntos que tienen una altitud de cero grados. Si bien es similar en formas al horizonte geométrico, en este contexto un horizonte puede considerarse como un plano en el espacio, en lugar de una línea en un plano de imagen.

Distancia al horizonte

Ignorando el efecto de la refracción atmosférica, la distancia al horizonte real desde un observador cercano a la superficie de la Tierra es de aproximadamente

${fnMicrox {fnMicrosoft Sans Ser},}$

donde h es la altura sobre el nivel del mar y R es el radio de la Tierra.

La expresión se puede simplificar como:

${displaystyle dapprox k{sqrt {h},}$

donde la constante es igual a k=3,57 km/m^{½< /sup>}=1.22 mi/ft^½. En esta ecuación, se supone que la superficie de la Tierra es perfectamente esférica, con R igual a unos 6371 kilómetros (3959 mi).

Ejemplos

Suponiendo que no haya refracción atmosférica y una Tierra esférica con un radio R=6371 kilómetros (3959 mi):

• Para un observador de pie en el suelo con h = 1,70 metros (5 pies 7), el horizonte está a una distancia de 4,7 kilómetros (2,9 mi).
• Para un observador de pie en el suelo con h = 2 metros (6 pies 7), el horizonte está a una distancia de 5 kilómetros (3,1 mi).
• Para un observador de pie sobre una colina o torre de 30 metros (98 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de 19,6 kilómetros (12,2 mi).
• Para un observador de pie sobre una colina o torre de 100 metros (330 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de 36 kilómetros (22 millas).
• Para un observador situado en el techo del Burj Khalifa, a 828 metros (2.717 pies) del suelo, y a unos 834 metros (2.736 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de 103 kilómetros (64 millas).
• Para un observador en la cima del Monte Everest (8.848 metros (29.029 pies) en altitud), el horizonte está a una distancia de 336 kilómetros (209 mi).
• Para un observador a bordo de un avión de pasajeros comercial volando a una altitud típica de 35.000 pies (11,000 m), el horizonte está a una distancia de 369 kilómetros (229 milla).
• Para un piloto U-2, al volar a su techo de servicio 21.000 metros (69.000 pies), el horizonte está a una distancia de 517 kilómetros (321 milla).

Otros planetas

En los planetas terrestres y otros cuerpos celestes sólidos con efectos atmosféricos insignificantes, la distancia al horizonte para un "observador estándar" varía como la raíz cuadrada del radio del planeta. Así, el horizonte en Mercurio está al 62% de la distancia del observador que en la Tierra, en Marte la cifra es del 73%, en la Luna la cifra es del 52%, en Mimas la cifra es del 18%, y así sucesivamente.

Derivación

Base geométrica para calcular la distancia al horizonte, teorema tangente-secante

Distancia geométrica al horizonte, teorema pitagórico

Tres tipos de horizonte

Si se supone que la Tierra es una esfera sin características (en lugar de un esferoide achatado) sin refracción atmosférica, entonces la distancia al horizonte se puede calcular fácilmente.

El teorema de la tangente-secante establece que

${displaystyle mathrm {OC} ^{2}=mathrm {OA} times mathrm {OB} ,}$

Haga las siguientes sustituciones:

• d = OC = distancia al horizonte
• D = AB = diámetro de la Tierra
• h = OB = altura del observador sobre el nivel del mar
• D+h = OA = diámetro de la Tierra más altura del observador sobre el nivel del mar,

con d, D, y h todos medidos en las mismas unidades. La fórmula ahora se convierte en

${displaystyle d^{2}=h(D+h),!}$

o

${displaystyle d={sqrt {h}={sqrt {h(2R+h)}},}$

donde R es el radio de la Tierra.

La misma ecuación también se puede derivar usando el teorema de Pitágoras. En el horizonte, la línea de visión es tangente a la Tierra y también es perpendicular al radio de la Tierra. Esto establece un triángulo rectángulo, con la suma del radio y la altura como hipotenusa. Con

• d = distancia al horizonte
• h = altura del observador sobre el nivel del mar
• R = radio de la Tierra

referirse a la segunda figura a la derecha conduce a lo siguiente:

${displaystyle (R+h)}=R^{2}+d^{2},!$

${displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2},!$

${displaystyle d={sqrt {h(2R+h)},}$

La fórmula exacta anterior se puede expandir como:

${displaystyle ♪♪$

donde R es el radio de la Tierra (R y h deben estar en las mismas unidades). Por ejemplo, si un satélite está a una altura de 2000 km, la distancia al horizonte es de 5430 kilómetros (3370 mi); despreciar el segundo término entre paréntesis daría una distancia de 5048 kilómetros (3137 mi), un error del 7 %.

Aproximación

Gráficos de distancias al verdadero horizonte en la Tierra para una determinada altura h. s está a lo largo de la superficie de la Tierra, d es la distancia recta, y ~d es la distancia recta aproximada asumiendo h Se realizó el radio de la Tierra, 6371 km. En la imagen SVG, arrastre sobre un gráfico para destacarlo.

Si el observador está cerca de la superficie de la tierra, entonces es válido ignorar h en el término (2R + h), y la fórmula se convierte en-

${displaystyle d={sqrt {2Rh},}$

Usando kilómetros para d y R, y metros para h, y tomando el radio de la Tierra como 6371 km, la distancia a el horizonte es

${displaystyle dapprox {2cdot 6371cdot {h/1000}approx 3.570{sqrt {h},}$.

Usando unidades imperiales, con d y R en millas terrestres (como se usa comúnmente en tierra) y h en pies, la distancia al horizonte es

${displaystyle dapprox {2cdot 3963cdot {h/5280}}approx {fnK}fnh}próx 1.22{sqrt {h}}$.

Si d está en millas náuticas y h en pies, el factor constante es aproximadamente 1,06, que está lo suficientemente cerca de 1 como para que a menudo se ignore, dando:

${displaystyle dapprox {h}$

Estas fórmulas se pueden usar cuando h es mucho más pequeño que el radio de la Tierra (6371 km o 3959 mi), incluidas todas las vistas desde la cima de cualquier montaña, aviones o globos de gran altitud. Con las constantes dadas, tanto las fórmulas métricas como las imperiales tienen una precisión del 1% (consulte la siguiente sección para saber cómo obtener una mayor precisión). Si h es significativo con respecto a R, como sucede con la mayoría de los satélites, entonces la aproximación ya no es válida y se requiere la fórmula exacta.

Medidas relacionadas

Distancia de arco

Otra relación implica la distancia del gran círculo s a lo largo del arco sobre la superficie curva de la Tierra hasta el horizonte; esto es más directamente comparable a la distancia geográfica en un mapa.

Se puede formular en términos de γ en radianes,

${displaystyle s=Rgamma ,}$

entonces

${displaystyle cos gamma = 'cos {frac {fnh}={fnMic}.$

Resolviendo para s da

${displaystyle S=Rcos ^{-1}{frac {R},}$

La distancia s también se puede expresar en términos de la distancia de la línea de visión d; de la segunda figura a la derecha,

${displaystyle tan gamma ={frac {d} {R},}$

sustituyendo γ y reorganizando da

${displaystyle S=Rtan ^{-1}{frac {d}{ R},}$

Las distancias d y s son casi iguales cuando la altura del objeto es insignificante en comparación con el radio (es decir, h ≪ R).

Ángulo cenital

Ángulo zenith máximo para observador elevado en atmósfera esférica homogénea

Cuando el observador está elevado, el ángulo cenital del horizonte puede ser superior a 90°. El ángulo cenital máximo visible se produce cuando el rayo es tangente a la superficie de la Tierra; del triángulo OCG en la figura de la derecha,

${displaystyle cos gamma ={frac {R}{R+h}}$

Donde ${displaystyle h}$ es la altura del observador sobre la superficie y ${displaystyle gamma }$ es el dip angular del horizonte. Está relacionado con el ángulo del horizonte zenith ${displaystyle z}$ por:

${displaystyle z=gamma ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Para una altura no negativa ${displaystyle h}$, el ángulo ${displaystyle z}$ es siempre ≥ 90°.

Objetos sobre el horizonte

Distancia geométrica del horizonte

Para calcular la mayor distancia D_BL a la que un observador B puede ver la parte superior de un objeto L por encima del horizonte, simplemente sume las distancias al horizonte desde cada de los dos puntos:

D_BL = D_B + D_L

Por ejemplo, para un observador B con una altura de h_B=1,70 m parado en el suelo, el horizonte es D< sub>B=4,65 km de distancia. Para una torre con una altura de h_L=100 m, la distancia al horizonte es D_L=35,7 km. Por lo tanto, un observador en una playa puede ver la parte superior de la torre siempre que no esté a más de D_BL=40,35 km de distancia. Por el contrario, si un observador en un bote (h_B=1.7 m) puede ver las copas de los árboles en un orilla cercana (h_L=10 m), los árboles probablemente miden D< sub>BL=16 km de distancia.

Refiriéndose a la figura de la derecha, y utilizando la aproximación anterior, la parte superior del faro será visible para un vigía en un nido de cuervos en la parte superior de un mástil del barco si

${displaystyle D_{mathrm {cH00} seleccion3.57,({sqrt {h_{mathrm {B} - ¿Qué?$

donde D_BL está en kilómetros y h_B y h< sub>L están en metros.

Una vista a través de una bahía de 20 km en la costa de España. Observe la curvatura de la Tierra ocultando la base de los edificios en la orilla remota.

Un barco que se aleja, más allá del horizonte

Como otro ejemplo, supongamos que un observador, cuyos ojos están a dos metros del nivel del suelo, usa binoculares para mirar un edificio distante que sabe que consta de treinta pisos, cada uno de 3,5 metros de altura. Cuenta los pisos que puede ver y descubre que solo hay diez. Entonces, veinte pisos o 70 metros del edificio están ocultos para él por la curvatura de la Tierra. A partir de esto, puede calcular su distancia desde el edificio:

${displaystyle Dapprox 3.57({sqrt {2}+{sqrt {70}}}}$

que llega a unos 35 kilómetros.

De manera similar, es posible calcular cuánto de un objeto distante es visible sobre el horizonte. Supongamos que el ojo de un observador está a 10 metros sobre el nivel del mar y observa un barco que se encuentra a 20 km de distancia. Su horizonte es:

${displaystyle 3.57{sqrt {10}}$

kilómetros de él, lo que equivale a unos 11,3 kilómetros. El barco está a otros 8,7 km de distancia. La altura de un punto en el barco que es apenas visible para el observador está dada por:

${displaystyle happrox left({frac {8.7}{3.57}right)^{2}$

que llega a casi exactamente seis metros. Por lo tanto, el observador puede ver esa parte del barco que está a más de seis metros sobre el nivel del agua. La parte de la nave que está por debajo de esta altura está oculta para él por la curvatura de la Tierra. En esta situación, se dice que el barco está con el casco hacia abajo.

Efecto de la refracción atmosférica

Debido a la refracción atmosférica, la distancia al horizonte visible es mayor que la distancia basada en un cálculo geométrico simple. Si la superficie del suelo (o del agua) está más fría que el aire que está sobre ella, se forma una capa densa y fría de aire cerca de la superficie, lo que hace que la luz se refracte hacia abajo a medida que viaja y, por lo tanto, hasta cierto punto, rodee la superficie. curvatura de la Tierra. Ocurre lo contrario si el suelo está más caliente que el aire que lo cubre, como sucede a menudo en los desiertos, produciendo espejismos. Como compensación aproximada por la refracción, los topógrafos que miden distancias superiores a 100 metros restan un 14 % del error de curvatura calculado y se aseguran de que las líneas de visión estén al menos a 1,5 metros del suelo, para reducir los errores aleatorios creados por la refracción.

Típico horizonte del desierto

Si la Tierra fuera un mundo sin aire como la Luna, los cálculos anteriores serían precisos. Sin embargo, la Tierra tiene una atmósfera de aire, cuya densidad e índice de refracción varían considerablemente dependiendo de la temperatura y la presión. Esto hace que el aire refracte la luz en diferentes grados, afectando la apariencia del horizonte. Por lo general, la densidad del aire justo por encima de la superficie de la Tierra es mayor que su densidad en altitudes mayores. Esto hace que su índice de refracción sea mayor cerca de la superficie que en altitudes más altas, lo que hace que la luz que viaja aproximadamente horizontalmente se refracte hacia abajo. Esto hace que la distancia real al horizonte sea mayor que la distancia calculada con fórmulas geométricas. Con condiciones atmosféricas estándar, la diferencia es de alrededor del 8%. Esto cambia el factor de 3,57, en las fórmulas métricas utilizadas anteriormente, a alrededor de 3,86. Por ejemplo, si un observador está parado en la orilla del mar, con los ojos a 1,70 m sobre el nivel del mar, de acuerdo con las fórmulas geométricas simples dadas por encima del horizonte, debería estar a 4,7 km de distancia. En realidad, la refracción atmosférica permite al observador ver 300 metros más lejos, alejando el horizonte real 5 km del observador.

Esta corrección se puede aplicar, y a menudo se aplica, como una aproximación bastante buena cuando las condiciones atmosféricas están cerca del estándar. Cuando las condiciones son inusuales, esta aproximación falla. La refracción se ve muy afectada por los gradientes de temperatura, que pueden variar considerablemente de un día a otro, especialmente sobre el agua. En casos extremos, generalmente en primavera, cuando el aire cálido se superpone al agua fría, la refracción puede permitir que la luz siga la superficie de la Tierra durante cientos de kilómetros. Ocurren condiciones opuestas, por ejemplo, en los desiertos, donde la superficie está muy caliente, por lo que el aire caliente de baja densidad está debajo del aire más frío. Esto hace que la luz se refracte hacia arriba, provocando efectos de espejismo que hacen que el concepto de horizonte pierda sentido. Por lo tanto, los valores calculados para los efectos de la refracción en condiciones inusuales son solo aproximados. Sin embargo, se han hecho intentos para calcularlos con mayor precisión que la simple aproximación descrita anteriormente.

Fuera del rango de longitud de onda visual, la refracción será diferente. Para el radar (por ejemplo, para longitudes de onda de 300 a 3 mm, es decir, frecuencias entre 1 y 100 GHz), el radio de la Tierra se puede multiplicar por 4/3 para obtener un radio efectivo dando un factor de 4,12 en la fórmula métrica, es decir, el horizonte del radar será 15% más allá del horizonte geométrico o 7% más allá del visual. El factor 4/3 no es exacto, ya que en el caso visual la refracción depende de las condiciones atmosféricas.

Método de integración: Sweer

Si se conoce el perfil de densidad de la atmósfera, la distancia d al horizonte viene dada por

${displaystyle ¿Qué?$

donde R_E es el radio de la Tierra, ψ es el buzamiento del horizonte y δ es la refracción del horizonte. El buzamiento se determina de manera bastante simple a partir de

${displaystyle cos psi ={frac {fnK} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}} {fnK}}}} {f}}}}}} {fnK}} {f}}}}}} {f}} {f}}} {fnKf}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}\\\\\\\f}}}}}}}}}}\\\f}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\fn}}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} },}$

donde h es la altura del observador sobre la Tierra, μ es el índice de refracción del aire a la altura del observador y < i>μ₀ es el índice de refracción del aire en la superficie de la Tierra.

La refracción se debe encontrar por integración de

${displaystyle delta = {fnK} {fnMicroc {fnh}mu}. ♪♪$

Donde ${displaystyle phi ,!}$ es el ángulo entre el rayo y una línea a través del centro de la Tierra. Los ángulos ↑ y ${displaystyle phi ,!}$ relacionados por

${displaystyle phi =90{circ }-psi ,}$

Método simple: Young

Un enfoque mucho más simple, que produce esencialmente los mismos resultados que la aproximación de primer orden descrita anteriormente, usa el modelo geométrico pero usa un radio R′ = 7 /6 R_E. La distancia al horizonte es entonces

${displaystyle D={sqrt {2R^{prime - Sí.$

Tomando el radio de la Tierra como 6371 km, con d en km y h en m,

${displaystyle dapprox 3.86{sqrt {h},}$

con d en mi y h en pies,

${displaystyle dapprox 1.32{sqrt {h},}$

Los resultados del método de Young son bastante similares a los del método de Sweer y son lo suficientemente precisos para muchos propósitos.

Curvatura del horizonte

La curvatura del horizonte se ve fácilmente en esta fotografía de 2008, tomada de un transbordador espacial a una altitud de 226 km (140 mi).

Desde un punto sobre la superficie de la Tierra, el horizonte aparece ligeramente convexo; es un arco circular. La siguiente fórmula expresa la relación geométrica básica entre esta curvatura visual ${displaystyle kappa }$, la altitud ${displaystyle h}$, y el radio de la Tierra ${displaystyle R.$:

${displaystyle kappa ={sqrt {left(1+{frac {h} {R}right)} {2}}}$

La curvatura es el recíproco del radio angular de la curvatura en radianes. Una curvatura de 1,0 aparece como un círculo de un radio angular de 57,3° que corresponde a una altitud de aproximadamente 2640 km (1640 mi) sobre la superficie de la Tierra. A una altitud de 10 km (6,2 mi; 33 000 pies), la altitud de crucero de un avión comercial típico, la curvatura matemática del horizonte es de aproximadamente 0,056, la misma curvatura del borde del círculo con un radio de 10 m que se ve desde 56 cm directamente sobre el centro del círculo. Sin embargo, la curvatura aparente es menor que la debida a la refracción de la luz por la atmósfera y el oscurecimiento del horizonte por las altas capas de nubes que reducen la altitud sobre la superficie visual.

Puntos de fuga

Dos puntos en el horizonte están en las intersecciones de las líneas que extienden los segmentos que representan los bordes del edificio en primer plano. La línea de horizonte coincide aquí con la línea en la parte superior de las puertas y ventanas.

El horizonte es una característica clave del plano pictórico en la ciencia de la perspectiva gráfica. Suponiendo que el plano de la imagen se encuentra vertical al suelo, y P es la proyección perpendicular del punto del ojo O en el plano de la imagen, el horizonte se define como la línea horizontal que pasa por P. El punto P es el punto de fuga de las líneas perpendiculares a la imagen. Si S es otro punto en el horizonte, entonces es el punto de fuga de todas las líneas paralelas a OS. Pero Brook Taylor (1719) indicó que el plano del horizonte determinado por O y el horizonte era como cualquier otro plano:

El término de Horizontal Line, por ejemplo, es apto para limitar las Nociones de un Aprendedor al Plano del Horizonte, y para hacerle imaginar, que ese Plane disfruta de algunos Privilegios particulares, que hacen las Figuras en él más fácil y más conveniente para ser descrito, por los medios de esa Línea Horizontal, que las Figuras en cualquier otro plano;... Pero en este libro no hago ninguna diferencia entre el Plano del Horizonte, y cualquier otro Plano...

La peculiar geometría de la perspectiva donde las líneas paralelas convergen en la distancia, estimuló el desarrollo de la geometría proyectiva que postula un punto en el infinito donde las líneas paralelas se encuentran. En su libro Geometry of an Art (2007), Kirsti Andersen describió la evolución del dibujo en perspectiva y la ciencia hasta 1800, señalando que los puntos de fuga no tienen por qué estar en el horizonte. En un capítulo titulado "Horizon", John Stillwell relató cómo la geometría proyectiva ha llevado a la geometría de incidencia, el estudio abstracto moderno de la intersección de líneas. Stillwell también se aventuró en los fundamentos de las matemáticas en una sección titulada "¿Cuáles son las leyes del álgebra?" El "álgebra de puntos", dada originalmente por Karl von Staudt derivando los axiomas de un campo, fue deconstruida en el siglo XX, dando lugar a una amplia variedad de posibilidades matemáticas. Estados Stillwell

Este descubrimiento de hace 100 años parece capaz de volver las matemáticas al revés, aunque todavía no ha sido completamente absorbido por la comunidad matemática. No sólo desafía la tendencia de convertir la geometría en álgebra, sugiere que tanto la geometría como el álgebra tienen una base más simple que el pensamiento anterior.