Homomorfismo

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En álgebra, un homomorfismo es un mapa que conserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos, dos anillos o dos espacios vectoriales). La palabra homomorfismo proviene del idioma griego antiguo: ὁμός (homos) que significa "igual" y μορφή (morphe) que significa "forma" o "forma". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en las matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich que significa "similar" a ὁμός que significa "mismo". El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925).

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan mapas lineales, y su estudio es objeto de álgebra lineal.

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo, a muchas otras estructuras que no tienen un conjunto subyacente o no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías.

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo, endomorfismo y automorfismo, etc. (ver más abajo). Cada uno de ellos se puede definir de una manera que se puede generalizar a cualquier clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo es un mapa entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (que es del mismo nombre), que preserva las operaciones de las estructuras. Esto significa un mapa ${displaystyle f:Ato B}$ entre dos sets ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ equipado con la misma estructura que, si ${displaystyle cdot }$ es una operación de la estructura (supuesta aquí, para simplificación, para ser una operación binaria), entonces

{displaystyle f(xcdot y)=f(x)cdot f(y)}

para cada par ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ de elementos de ${displaystyle A}$ . Uno dice a menudo que ${displaystyle f}$ preserva la operación o es compatible con la operación.

Formally, un mapa ${displaystyle f:Ato B}$ preserva una operación ${displaystyle mu }$ de la aridad k, definido en ambos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ si

{displaystyle f(mu _{A}(a_{1},ldotsa_{k})=mu _{B}(f(a_{1}),ldotsf(a_{k})})}

para todos los elementos ${displaystyle a_{1}, a_{k}$ dentro ${displaystyle A}$ .

Las operaciones que deben ser preservadas por un homomorfismo incluyen operaciones 0-arias, es decir, las constantes. En particular, cuando el tipo de estructura requiere un elemento de identidad, el elemento de identidad de la primera estructura debe mapearse con el elemento de identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

Un homomorfismo semigrupo es un mapa entre semigrupos que preserva la operación semigrupo.
Un homomorfismo monoide es un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y mapea el elemento de identidad del primer monoide al del segundo monoide (el elemento de identidad es una operación 0-ary).
Un homomorfismo de grupo es un mapa entre grupos que preserva la operación del grupo. Esto implica que el homomorfismo grupo mapea el elemento de identidad del primer grupo al elemento de identidad del segundo grupo, y mapea el inverso de un elemento del primer grupo al inverso de la imagen de este elemento. Así, un homomorfismo semigrupo entre grupos es necesariamente un homomorfismo grupal.
Un homomorfismo de anillo es un mapa entre anillos que preserva la adición del anillo, la multiplicación del anillo y la identidad multiplicativa. Si la identidad multiplicativa debe ser preservada depende de la definición anillo en uso. Si la identidad multiplicativa no se conserva, uno tiene un homomorfismo rng.
Un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales; es decir, un homomorfismo de grupo entre espacios vectoriales que preserva la estructura de grupo abeliano y la multiplicación escalar.
Un homomorfismo módulo, también llamado mapa lineal entre módulos, se define de forma similar.
Un homomorfismo álgebra es un mapa que conserva las operaciones de álgebra.

Una estructura algebraica puede tener más de una operación y se requiere un homomorfismo para conservar cada operación. Por lo tanto, un mapa que conserva solo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino solo un homomorfismo de la subestructura obtenida al considerar solo las operaciones conservadas. Por ejemplo, un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y no el elemento de identidad, no es un homomorfismo monoide, sino solo un homomorfismo de semigrupo.

La notación de las operaciones no necesita ser la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para la suma y los números reales positivos forman un grupo para la multiplicación. La función exponencial

{displaystyle xmapsto e^{x}

satisface

{displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}

y por lo tanto es un homomorfismo entre estos dos grupos. Incluso es un isomorfismo (ver más abajo), ya que su función inversa, el logaritmo natural, satisface

{displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y),}

y también es un homomorfismo de grupo.

Ejemplos

Homomorfismo monoide

{displaystyle f}

del monoide

() N, +, 0)

al monoide

() N, \times, 1)

, definida por

{displaystyle f(x)=2^{x}

. Es inyectable, pero no subjetivo.

Los números reales son un anillo, teniendo tanto suma como multiplicación. El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 también es un anillo, bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices. Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

{displaystyle f(r)={begin{pmatrix}r divide0�}}

donde $r$ es un número real, entonces $f$ es un homomorfismo de anillos, ya que $f$ conserva ambas sumas:

{displaystyle f(r+s)={begin{pmatrix}r+s divide0�}={begin{pmatrix}={begin{pmatrix}r limit0��end{pmatrix}+{begin{pmatrix}s {0�}�} {�}�}

y multiplicación:

{displaystyle f(rs)={begin{pmatrix}rs limit0� limitantesend{pmatrix}}={begin{pmatrix}r limit0� limitrend{pmatrix}{begin{pmatrix}s sensible0�} {�} {pmatrix}}=f(r)

Por otro ejemplo, los números complejos no cero forman un grupo bajo el funcionamiento de la multiplicación, al igual que los números reales no cero. (Zero debe ser excluido de ambos grupos ya que no tiene un inverso multiplicador, que se requiere para elementos de un grupo.) Define una función ${displaystyle f}$ de los números complejos no cero a los números reales no cero

{displaystyle f(z)=vivz.}

Eso es, ${displaystyle f}$ es el valor absoluto (o módulo) del número complejo ${displaystyle z}$ . Entonces... ${displaystyle f}$ es un homomorfismo de grupos, ya que preserva la multiplicación:

{displaystyle f(z_{1}z_{2})= habitz_{1}z_{2}Principado a la vida_{1} sobre la vida eternaz_{2} sobre la vida.

Tenga en cuenta que $f$ no se puede extender a un homomorfismo de anillos (de los números complejos a los números reales), ya que no conserva la suma:

{displaystyle Silencio. Silencio.

Como otro ejemplo, el diagrama muestra un homomorfismo monoide ${displaystyle f}$ del monoide ${displaystyle (mathbb {N}+,0)}$ al monoide ${displaystyle (mathbb {N}times1)}$ . Debido a los diferentes nombres de las operaciones correspondientes, las propiedades de conservación de la estructura satisfechos ${displaystyle f}$ Cantidad a ${displaystyle f(x+y)=f(x)times f(y)}$ y ${displaystyle f(0)=1}$ .

Algebra de composición ${displaystyle A}$ sobre un terreno ${displaystyle F}$ tiene una forma cuadrática, llamada norma, ${displaystyle N:Ato F}$ , que es un grupo homomorfismo del grupo multiplicativo ${displaystyle A}$ al grupo multiplicador ${displaystyle F}$ .

Homomorfismos especiales

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para los morfismos generales.

Isomorfismo

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como un homomorfismo biyectivo.

En el contexto más general de la teoría de categorías, un isomorfismo se define como un morfismo que tiene un inverso que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que tienen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

{displaystyle f:Ato B}

es un (homo)morfismo, tiene inversa si existe un homomorfismo

{displaystyle g:Bto A}

tal que

{displaystyle fcirc g=operatorname {Id} - ¿Por qué? {Id} _{A}.}

Si ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ tienen conjuntos subyacentes, y ${displaystyle f:Ato B}$ tiene un inverso ${displaystyle g}$ , entonces ${displaystyle f}$ es bijetivo. De hecho, ${displaystyle f}$ es inyectable, como ${displaystyle f(x)=f(y)}$ implicación ${displaystyle x=g(f(x)=g(f(y))=y}$ , y ${displaystyle f}$ es subjetivo, como, para cualquier ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle B}$ , uno tiene ${displaystyle x=f(g(x)}$ , y ${displaystyle x}$ es la imagen de un elemento ${displaystyle A}$ .

Por el contrario, si ${displaystyle f:Ato B}$ es un homomorfismo bijetivo entre estructuras algebraicas, dejar ${displaystyle g:Bto A}$ ser el mapa de tal manera que ${displaystyle g(y)}$ es el elemento único ${displaystyle x}$ de ${displaystyle A}$ tales que ${displaystyle f(x)=y}$ . Uno tiene ${displaystyle fcirc g=operatorname {Id} {f} {f}gcirc f=fnMicrosoft} {Id} _{A},}$ y sigue siendo sólo para demostrar que $g$ es un homomorfismo. Si ${displaystyle *}$ es una operación binaria de la estructura, para cada par ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ de elementos de ${displaystyle B}$ , uno tiene

{displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))))=g(x)*_{A}g(y),}}

y ${displaystyle g}$ es compatible con ${displaystyle *$ Como la prueba es similar para cualquier aridad, esto muestra que ${displaystyle g}$ es un homomorfismo.

Esta prueba no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para espacios topológicos, un morfismo es un mapa continuo y el inverso de un mapa continuo biyectivo no es necesariamente continuo. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o aplicación bicontinua, es así una aplicación continua biyectiva, cuya inversa también es continua.

Endomorfismo

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio o, de forma más general, un morfismo cuyo origen es igual a su destino.

Los endomorfismos de una estructura algebraica, o de un objeto de una categoría forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo. En el caso de un espacio vectorial o de un módulo libre de dimensión finita, la elección de una base induce un isomorfismo de anillos entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

Automorfismo

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo.

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se denomina grupo de automorfismos de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismo de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general ${displaystyle operatorname {GL} _{n}(k)}$ es el grupo automorfismo de un espacio vectorial de dimensión ${displaystyle n}$ sobre un terreno ${displaystyle k}$ .

Los grupos de campos de automorfismos fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de los polinomios y son la base de la teoría de Galois.

Monomorfismo

Para las estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos.

En el contexto más general de la teoría de la categoría, un monomorfismo se define como un morfismo que es cancelable izquierdo. Esto significa que un (homo) morfismo ${displaystyle f:Ato B}$ es un monomorfismo si, para cualquier par ${displaystyle g}$ , ${displaystyle h}$ de morfismos de cualquier otro objeto ${displaystyle C}$ a ${displaystyle A}$ , entonces ${displaystyle fcirc g=fcirch}$ implicación ${displaystyle g=h}$ .

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más precisamente, son equivalentes para cuerpos, para los cuales todo homomorfismo es un monomorfismo, y para variedades de álgebra universal, es decir, estructuras algebraicas para las cuales las operaciones y los axiomas (identidades) se definen sin ninguna restricción (los campos no forman una variedad, ya que el inverso multiplicativo se define como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, que, en ambos casos, se definen solo para elementos distintos de cero).

En particular, las dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para conjuntos, magmas, semigrupos, monoides, grupos, anillos, campos, espacios vectoriales y módulos.

A monomorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso izquierdo y por lo tanto es en sí mismo un inverso derecho de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo ${displaystyle fcolon Ato B}$ es un monomorfismo dividido si existe un homomorfismo ${displaystyle gcolon Bto A}$ tales que ${displaystyle gcirc f=fnMicrosoft {Id} _{A}.}$ Un monomorfismo dividido es siempre un monomorfismo, para ambos significados monomorfismo. Para conjuntos y espacios vectoriales, cada monomorfismo es un monomorfismo dividido, pero esta propiedad no tiene para las estructuras algebraicas más comunes.

Prueba de la equivalencia de las dos definiciones de monomorfismos
Un homomorfismo inyectable es cancelableSi ${displaystyle fcirc g=fcirc h,}$ uno tiene ${displaystyle f(g(x)=f(h(x)}$ para todos ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle C}$ , la fuente común de ${displaystyle g}$ y ${displaystyle h}$ . Si ${displaystyle f}$ es inyectable, entonces ${displaystyle g(x)=h(x)}$ , y así ${displaystyle g=h}$ . Esta prueba funciona no sólo para estructuras algebraicas, sino también para cualquier categoría cuyos objetos son conjuntos y flechas son mapas entre estos conjuntos. Por ejemplo, un mapa continuo inyectable es un monomorfismo en la categoría de espacios topológicos. Para probar que, por el contrario, un homomorfismo cancelable izquierdo es inyectable, es útil considerar un objeto libre en ${displaystyle x}$ . Dada una variedad de estructuras algebraicas un objeto libre en ${displaystyle x}$ es un par que consiste en una estructura algebraica ${displaystyle L.$ de esta variedad y un elemento ${displaystyle x}$ de ${displaystyle L.$ satisfacción de la siguiente propiedad universal: para cada estructura ${displaystyle S.$ de la variedad, y cada elemento ${displaystyle s}$ de ${displaystyle S.$ , hay un homomorfismo único ${displaystyle f:Lto S}$ tales que ${displaystyle f(x)=s}$ . Por ejemplo, para conjuntos, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es simplemente ${displaystyle {x}}$ ; para semigrupos, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es ${displaystyle {x,x^{2},ldotsx^{n},ldots }$ que, como, un semigrupo, es isomorfo al semigrupo aditivo de los enteros positivos; para los monoides, el objeto libre sobre ${displaystyle x}$ es ${displaystyle {1,x,x^{2},ldotsx^{n},ldots }$ que, como monoide, es isomorfo al monoide aditivo de los enteros no negativos; para grupos, el objeto libre sobre ${displaystyle x}$ es el grupo cíclico infinito ${displaystyle {ldotsx^{-n},ldotsx^{-1},1,x,x^{2},ldotsx^{n},ldots$ que, como, un grupo, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros; para anillos, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es el anillo polinomio ${displaystyle mathbb {Z} [x];}$ para espacios o módulos vectoriales, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es el espacio vectorial o módulo libre que tiene ${displaystyle x}$ como base. Si un objeto libre sobre ${displaystyle x}$ existe, entonces cada homomorfismo cancelable izquierdo es inyectable# ${displaystyle fcolon Ato B}$ ser un homomorfismo cancelable izquierdo, y ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ ser dos elementos ${displaystyle A}$ tales ${displaystyle f(a)=f(b)}$ . Por definición del objeto libre ${displaystyle F}$ , existen homomorfismos ${displaystyle g}$ y ${displaystyle h}$ desde ${displaystyle F}$ a ${displaystyle A}$ tales que ${displaystyle g(x)=a}$ y ${displaystyle h(x)=b}$ . As ${displaystyle f(g(x)=f(h(x)}$ , uno tiene ${displaystyle fcirc g=fcirc h,}$ por la singularidad en la definición de una propiedad universal. As ${displaystyle f}$ es cancelable, uno tiene ${displaystyle g=h}$ , y así ${displaystyle a=b}$ . Por lo tanto, ${displaystyle f}$ es inyectable. Existencia de un objeto libre en ${displaystyle x}$ para una variedad (ver también objeto libre § Existencia): Para construir un objeto libre sobre ${displaystyle x}$ , considerar el conjunto ${displaystyle W.$ de las fórmulas bien formadas construidas a partir de ${displaystyle x}$ y las operaciones de la estructura. Dos de estas fórmulas son equivalentes si uno puede pasar de uno a otro aplicando los axiomas (identidades de la estructura). Esto define una relación de equivalencia, si las identidades no están sujetas a condiciones, es decir, si uno trabaja con una variedad. Luego las operaciones de la variedad están bien definidas en el conjunto de clases de equivalencia de ${displaystyle W.$ por esta relación. Es sencillo demostrar que el objeto resultante es un objeto libre en ${displaystyle x}$ .

Prueba de la equivalencia de las dos definiciones de monomorfismos

Un homomorfismo inyectable es cancelableSi ${displaystyle fcirc g=fcirc h,}$ uno tiene ${displaystyle f(g(x)=f(h(x)}$ para todos ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle C}$ , la fuente común de ${displaystyle g}$ y ${displaystyle h}$ . Si ${displaystyle f}$ es inyectable, entonces ${displaystyle g(x)=h(x)}$ , y así ${displaystyle g=h}$ . Esta prueba funciona no sólo para estructuras algebraicas, sino también para cualquier categoría cuyos objetos son conjuntos y flechas son mapas entre estos conjuntos. Por ejemplo, un mapa continuo inyectable es un monomorfismo en la categoría de espacios topológicos.

Para probar que, por el contrario, un homomorfismo cancelable izquierdo es inyectable, es útil considerar un objeto libre en ${displaystyle x}$ . Dada una variedad de estructuras algebraicas un objeto libre en ${displaystyle x}$ es un par que consiste en una estructura algebraica ${displaystyle L.$ de esta variedad y un elemento ${displaystyle x}$ de ${displaystyle L.$ satisfacción de la siguiente propiedad universal: para cada estructura ${displaystyle S.$ de la variedad, y cada elemento ${displaystyle s}$ de ${displaystyle S.$ , hay un homomorfismo único ${displaystyle f:Lto S}$ tales que ${displaystyle f(x)=s}$ . Por ejemplo, para conjuntos, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es simplemente ${displaystyle {x}}$ ; para semigrupos, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es ${displaystyle {x,x^{2},ldotsx^{n},ldots }$ que, como, un semigrupo, es isomorfo al semigrupo aditivo de los enteros positivos; para los monoides, el objeto libre sobre ${displaystyle x}$ es ${displaystyle {1,x,x^{2},ldotsx^{n},ldots }$ que, como monoide, es isomorfo al monoide aditivo de los enteros no negativos; para grupos, el objeto libre sobre ${displaystyle x}$ es el grupo cíclico infinito ${displaystyle {ldotsx^{-n},ldotsx^{-1},1,x,x^{2},ldotsx^{n},ldots$ que, como, un grupo, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros; para anillos, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es el anillo polinomio ${displaystyle mathbb {Z} [x];}$ para espacios o módulos vectoriales, el objeto libre en ${displaystyle x}$ es el espacio vectorial o módulo libre que tiene ${displaystyle x}$ como base.

Si un objeto libre sobre ${displaystyle x}$ existe, entonces cada homomorfismo cancelable izquierdo es inyectable# ${displaystyle fcolon Ato B}$ ser un homomorfismo cancelable izquierdo, y ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ ser dos elementos ${displaystyle A}$ tales ${displaystyle f(a)=f(b)}$ . Por definición del objeto libre ${displaystyle F}$ , existen homomorfismos ${displaystyle g}$ y ${displaystyle h}$ desde ${displaystyle F}$ a ${displaystyle A}$ tales que ${displaystyle g(x)=a}$ y ${displaystyle h(x)=b}$ . As ${displaystyle f(g(x)=f(h(x)}$ , uno tiene ${displaystyle fcirc g=fcirc h,}$ por la singularidad en la definición de una propiedad universal. As ${displaystyle f}$ es cancelable, uno tiene ${displaystyle g=h}$ , y así ${displaystyle a=b}$ . Por lo tanto, ${displaystyle f}$ es inyectable.

Existencia de un objeto libre en ${displaystyle x}$ para una variedad (ver también objeto libre § Existencia): Para construir un objeto libre sobre ${displaystyle x}$ , considerar el conjunto ${displaystyle W.$ de las fórmulas bien formadas construidas a partir de ${displaystyle x}$ y las operaciones de la estructura. Dos de estas fórmulas son equivalentes si uno puede pasar de uno a otro aplicando los axiomas (identidades de la estructura). Esto define una relación de equivalencia, si las identidades no están sujetas a condiciones, es decir, si uno trabaja con una variedad. Luego las operaciones de la variedad están bien definidas en el conjunto de clases de equivalencia de ${displaystyle W.$ por esta relación. Es sencillo demostrar que el objeto resultante es un objeto libre en ${displaystyle x}$ .

Epimorfismo

En álgebra, epimorfismos a menudo se definen como homomorfismos subjetivos. Por otro lado, en la teoría de la categoría, los epimorfismos se definen como derecho cancelable morfismos. Esto significa que un (homo) morfismo ${displaystyle f:Ato B}$ es un epimorfismo si, para cualquier par ${displaystyle g}$ , ${displaystyle h}$ de morfismos de ${displaystyle B}$ a cualquier otro objeto ${displaystyle C}$ , la igualdad ${displaystyle gcirc f=hcirc f}$ implicación ${displaystyle g=h}$ .

Un homomorfismo sobreyectivo siempre es cancelable por la derecha, pero lo contrario no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para conjuntos, espacios vectoriales, grupos abelianos, módulos (ver más abajo para una demostración) y grupos. La importancia de estas estructuras en todas las matemáticas, especialmente en álgebra lineal y álgebra homológica, puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no sobreyectivos incluyen semigrupos y anillos. El ejemplo más básico es la inclusión de números enteros en números racionales, que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no sobreyectivo, pero no un isomorfismo.

Una amplia generalización de este ejemplo es la localización de un anillo por un conjunto multiplicativo. Toda localización es un epimorfismo de anillo, que no es, en general, sobreyectivo. Como las localizaciones son fundamentales en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica, esto puede explicar por qué en estas áreas generalmente se prefiere la definición de epimorfismos como homomorfismos cancelables a la derecha.

A epimorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso derecho y por lo tanto es en sí mismo un inverso izquierdo de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo ${displaystyle fcolon Ato B}$ es un epimorfismo dividido si existe un homomorfismo ${displaystyle gcolon Bto A}$ tales que ${displaystyle fcirc g=operatorname {Id} _{B}.}$ Un epimorfismo dividido es siempre un epimorfismo, para ambos significados de epimorfismo. Para conjuntos y espacios vectoriales, cada epimorfismo es un epimorfismo dividido, pero esta propiedad no tiene para las estructuras algebraicas más comunes.

En resumen, uno tiene

{displaystyle {text{split epimorfism}}implies {text{epimorfism (surjective)}}implies {text{epimorfismo (right cancelable)}}};}

la última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos y grupos abelianos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Equivalencia de las dos definiciones de epimorfismo
Vamos ${displaystyle fcolon Ato B}$ ser un homomorfismo. Queremos probar que si no es subjetivo, no es correcto cancelar. En el caso de conjuntos, deja ${displaystyle b}$ ser un elemento de ${displaystyle B}$ que no pertenece a ${displaystyle f(A)}$ , y definir ${displaystyle g,hcolon Bto B}$ tales que ${displaystyle g}$ es la función de identidad, y que ${displaystyle h(x)=x}$ para todos ${displaystyle xin B,}$ excepto eso ${displaystyle h(b)}$ es cualquier otro elemento ${displaystyle B}$ . Claramente ${displaystyle f}$ no es correcto cancelar, como ${displaystyle gneq h}$ y ${displaystyle gcirc f=hcirc f.}$ En el caso de espacios vectoriales, grupos y módulos abelianos, la prueba se basa en la existencia de coqueles y en el hecho de que los mapas cero son homomorfismos: ${displaystyle C}$ ser el cokernel de ${displaystyle f}$ , y ${displaystyle gcolon Bto C}$ ser el mapa canónico, tal que ${displaystyle g(f(A)=0}$ . Vamos ${displaystyle hcolon Bto C}$ ser el mapa cero. Si ${displaystyle f}$ no es subjetivo, ${displaystyle Cneq 0}$ , y así ${displaystyle gneq h}$ (uno es un mapa cero, mientras que el otro no lo es). Así ${displaystyle f}$ no es cancelable, como ${displaystyle gcirc f=hcirc f}$ (ambas son el mapa cero de ${displaystyle A}$ a ${displaystyle C}$ ).

Equivalencia de las dos definiciones de epimorfismo

Vamos ${displaystyle fcolon Ato B}$ ser un homomorfismo. Queremos probar que si no es subjetivo, no es correcto cancelar.

En el caso de conjuntos, deja ${displaystyle b}$ ser un elemento de ${displaystyle B}$ que no pertenece a ${displaystyle f(A)}$ , y definir ${displaystyle g,hcolon Bto B}$ tales que ${displaystyle g}$ es la función de identidad, y que ${displaystyle h(x)=x}$ para todos ${displaystyle xin B,}$ excepto eso ${displaystyle h(b)}$ es cualquier otro elemento ${displaystyle B}$ . Claramente ${displaystyle f}$ no es correcto cancelar, como ${displaystyle gneq h}$ y ${displaystyle gcirc f=hcirc f.}$

En el caso de espacios vectoriales, grupos y módulos abelianos, la prueba se basa en la existencia de coqueles y en el hecho de que los mapas cero son homomorfismos: ${displaystyle C}$ ser el cokernel de ${displaystyle f}$ , y ${displaystyle gcolon Bto C}$ ser el mapa canónico, tal que ${displaystyle g(f(A)=0}$ . Vamos ${displaystyle hcolon Bto C}$ ser el mapa cero. Si ${displaystyle f}$ no es subjetivo, ${displaystyle Cneq 0}$ , y así ${displaystyle gneq h}$ (uno es un mapa cero, mientras que el otro no lo es). Así ${displaystyle f}$ no es cancelable, como ${displaystyle gcirc f=hcirc f}$ (ambas son el mapa cero de ${displaystyle A}$ a ${displaystyle C}$ ).

Núcleo

Cualquier homomorfismo ${displaystyle f:Xto Sí.$ define una relación de equivalencia ${displaystyle sim }$ on ${displaystyle X}$ por ${displaystyle asim b}$ si ${displaystyle f(a)=f(b)}$ . La relación ${displaystyle sim }$ se llama kernel de ${displaystyle f}$ . Es una relación de congruencia ${displaystyle X}$ . El conjunto de cocientes ${displaystyle X/{sim}}$ entonces se puede dar una estructura del mismo tipo que ${displaystyle X}$ , de manera natural, definiendo las operaciones del cociente establecido por ${displaystyle [x]ast [y]=[xast y]}$ , para cada operación ${displaystyle ast }$ de ${displaystyle X}$ . En ese caso la imagen de ${displaystyle X}$ dentro ${displaystyle Sí.$ bajo el homomorfismo ${displaystyle f}$ es necesariamente isomorfo a ${displaystyle X/!sim}$ ; este hecho es uno de los teoremas isomorfismo.

Cuando la estructura algebraica es un grupo para alguna operación, la clase de equivalencia ${displaystyle K}$ del elemento de identidad de esta operación basta para caracterizar la relación de equivalencia. En este caso, el cociente por la relación de equivalencia se denota por ${displaystyle X/K}$ (usualmente lee como " ${displaystyle X}$ mod ${displaystyle K}$ "). También en este caso, es ${displaystyle K}$ , en lugar de ${displaystyle sim }$ , que se llama el núcleo ${displaystyle f}$ . Los núcleos de homomorfismos de un tipo dado de estructura algebraica están naturalmente equipados con alguna estructura. Este tipo de estructura de los núcleos es el mismo que la estructura considerada, en el caso de grupos abelianos, espacios y módulos vectoriales, pero es diferente y ha recibido un nombre específico en otros casos, como subgrupo normal para núcleos de homomorfismos de grupo e ideales para núcleos de homomorfismos de anillo (en el caso de anillos no conmutativos, los núcleos son los ideales de dos caras).

Estructuras relacionales

En la teoría de modelos, la noción de estructura algebraica se generaliza a estructuras que involucran tanto operaciones como relaciones. Sean L una firma que consta de símbolos de función y relación, y A, B dos estructuras L. Entonces un homomorfismo de A a B es un mapeo h del dominio de A al dominio de B tal que

h()F^A()a₁,...a_n) = F^B()h()a₁),...h()a_n) para cada uno n- Símbolo de función F dentro L,
R^A()a₁,...a_n) implica R^B()h()a₁),...h()a_n) para cada uno n- Símbolo de relación R dentro L.

En el caso especial de una sola relación binaria, obtenemos la noción de homomorfismo de grafos.

Teoría del lenguaje formal

Los Homomorfismos también se utilizan en el estudio de idiomas formales y a menudo se denominan brevemente morfismos. Dados alfabetos ${displaystyle Sigma _{1}}$ y ${displaystyle Sigma _{2}}$ , una función ${displaystyle hcolon Sigma _{1}^{*}to} "Sigma"$ tales que ${displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$ para todos ${displaystyle u,vin Sigma ¿Qué?$ se llama homomorfismo on ${displaystyle "Sigma"$ . Si ${displaystyle h}$ es un homomorfismo en ${displaystyle "Sigma"$ y ${displaystyle varepsilon }$ denota la cuerda vacía, entonces ${displaystyle h}$ se llama ${displaystyle varepsilon }$ - Homomorfismo libre cuando ${displaystyle h(x)neq varepsilon }$ para todos ${displaystyle xneq varepsilon }$ dentro ${displaystyle "Sigma"$ .

Un homomorfismo ${displaystyle hcolon Sigma _{1}^{*}to} "Sigma"$ on ${displaystyle "Sigma"$ que satisfice ${displaystyle Silencioh(a)$ para todos ${displaystyle ain Sigma ¿Qué?$ se llama ${displaystyle k}$ - Único homomorfismo. Si ${displaystyle Silencioh(a)$ para todos ${displaystyle ain Sigma ¿Qué?$ (es decir, ${displaystyle h}$ es 1-uniform), entonces ${displaystyle h}$ también se llama codificación o a proyección.

El set ${displaystyle Sigma ^{*}$ de palabras formadas por el alfabeto ${displaystyle Sigma }$ puede ser pensado como el monoide libre generado por ${displaystyle Sigma }$ . Aquí la operación monoide es la concatenación y el elemento de identidad es la palabra vacía. Desde esta perspectiva, un homomorfismo lingüístico es precisamente un homomorfismo monoide.

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