Homomorfismo de grupo

Depiction of a group homomorphism (h) de G (izquierda) a H (derecho). El oval dentro H es la imagen de h. N es el núcleo de h y aN es un conjunto de N.

En matemáticas, dados dos grupos, (G, ∗) y (H, ·), un homomorfismo de grupo de (G, ∗) a (H, ·) es una función h: G → H tal que para todo u y v en G se cumple que

h()uAlternativa Alternativa v)=h()u)⋅ ⋅ h()v){displaystyle h(u*v)=h(u)cdot h(v)}

donde la operación de grupo en el lado izquierdo de la ecuación es la de G y en el lado derecho la de H.

De esta propiedad, se puede deducir que h asigna el elemento de identidad e_G de G al elemento de identidad e_H de H,

h()eG)=eH{displaystyle h(e_{G}=e_{H}

y también asigna inversas a inversas en el sentido de que

h()u− − 1)=h()u)− − 1.{displaystyle hleft(u^{-1}right)=h(u)^{-1}

Por lo tanto, se puede decir que h "es compatible con la estructura del grupo".

Notas más antiguas para el homomorfismo h()x) puede ser x^h o x_h, aunque esto puede ser confundido como un índice o un subscripto general. En la teoría de la automata, a veces los homomorfismos están escritos al derecho de sus argumentos sin paréntesis, de modo que h()x) se convierte simplemente xh{displaystyle xh}.

En áreas de las matemáticas donde se consideran grupos dotados de estructura adicional, un homomorfismo a veces significa un mapa que respeta no solo la estructura del grupo (como arriba) sino también la estructura extra. Por ejemplo, a menudo se requiere que un homomorfismo de grupos topológicos sea continuo.

Intuición

El propósito de definir un homomorfismo de grupo es crear funciones que conserven la estructura algebraica. Una definición equivalente de homomorfismo de grupo es: La función h: G → H es un homomorfismo de grupo si siempre que

a Alternativa b = c tenemos h()a) ⋅ h()b) h()c).

En otras palabras, el grupo H en cierto sentido tiene una estructura algebraica similar a G y el homomorfismo h conserva eso.

Tipos

Monomorfismo

Un homomorfismo de grupo que es inyectable (o uno a uno); es decir, preserva la diferencia.

Epimorfismo

Un homomorfismo grupal que es subjetivo (o, hacia); es decir, alcanza cada punto en el codomain.

Isomorfismo

Un homomorfismo grupal que es bijetivo; es decir, inyector y subjetivo. Su inverso es también un homomorfismo grupal. En este caso, los grupos G y H se llaman isomorfo; difieren solamente en la notación de sus elementos y son idénticos para todos los propósitos prácticos.

Endomorfismo

Un homomorfismo de grupo, h: G → G; el dominio y el codomain son los mismos. También se llama endomorfismo G.

Automorfismo

Un endomorfismo de grupo que es bijetivo, y por lo tanto un isomorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G, con la composición funcional como operación, en sí forma un grupo, el grupo automorfismo de G. Es denotado por Aut(G). Como ejemplo, el grupo automorfismo de (Z, +) contiene sólo dos elementos, la transformación de identidad y la multiplicación con −1; es isomorfo a (Z/2Z, +).

Imagen y núcleo

Definimos el núcleo de h como el conjunto de elementos en G que se asignan a la identidad en H

ker⁡ ⁡ ()h):={}u▪ ▪ G:: h()u)=eH}.{displaystyle operatorname {ker} (h):=left{uin Gcolon h(u)=e_{H}right}

y la imagen de h para ser

im⁡ ⁡ ()h):=h()G)↑ ↑ {}h()u):: u▪ ▪ G}.{displaystyle operatorname {im} (h):=h(G)equiv left{h(u)colon uin Gright}

El kernel y la imagen de un homomorfismo se pueden interpretar como una medida de lo cerca que está de ser un isomorfismo. El primer teorema de isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo de grupo, h(G) es isomorfa al cociente grupo G/ker h.

El núcleo de h es un subgrupo normal de G y la imagen de h es un subgrupo de H:

h()g− − 1∘ ∘ u∘ ∘ g)=h()g)− − 1⋅ ⋅ h()u)⋅ ⋅ h()g)=h()g)− − 1⋅ ⋅ eH⋅ ⋅ h()g)=h()g)− − 1⋅ ⋅ h()g)=eH.{fnMicrosoft Sans Serif}cdot h(g)cdot h(g)cdot h(g)cdot h(g)cdot h(g)\cdot=h(g)cdotcdotcdotcdotcdotcdotcdot {g]} {c} {c}cdot} {c}cdotc}c}cccc}c}cdotcdotcdotc]cccc}cccccc}c}ccc}cdotc}ccc}cdotcccccccdotc}c}c}c}cc}c}ccc}cdot}cdotcc

Si y solo si ker(h) = {e_G}, el homomorfismo, h, es un monomorfismo de grupo; es decir, h es inyectivo (uno a uno). La inyección da directamente que hay un elemento único en el núcleo y, a la inversa, un elemento único en el núcleo da inyección:

h()g1)=h()g2).. h()g1)⋅ ⋅ h()g2)− − 1=eH.. h()g1∘ ∘ g2− − 1)=eH,ker⁡ ⁡ ()h)={}eG}⇒ ⇒ g1∘ ∘ g2− − 1=eG.. g1=g2{displaystyle {begin{aligned} limith(g_{1}) {=h(g_{2})\\\\\\Leftrightarrow > {1})cdot h(g_{2})^{-1} {=e_{H}\\\\\ > Leftrightarrow > g_{2}{-1}right) H},\\\\\\\\\\\\derecha > }circ g_{2}{-1} {=e_{G}\\\\\\Leftrightarrow > {1} {=g_{2}end{aligned}}}

Ejemplos

• Considere el grupo cíclico Z₃ =Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) y el grupo de enteros (Z, +). El mapa h: Z → Z/3Z con h()u) u mod 3 es un homomorfismo grupal. Es subjetivo y su núcleo consta de todos los enteros que son divisibles por 3.

• El mapa exponencial produce un homomorfismo de grupo del grupo de números reales R con adición al grupo de números reales no cero R* con multiplicación. El núcleo es {0} y la imagen consiste en los números reales positivos.
• El mapa exponencial también produce un homomorfismo grupo del grupo de números complejos C con adición al grupo de números complejos no cero C* con multiplicación. Este mapa es subjetivo y tiene el núcleo {2π#: k ▪ ZComo se puede ver en la fórmula de Euler. Campos como R y C que tienen homomorfismos de su grupo aditivo a su grupo multiplicador se llaman así campos exponenciales.

Categoría de grupos

Si h: G → H y k: H → K son homomorfismos de grupo, entonces también lo es k ∘ h: G → K. Esto muestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupo como morfismos, forma una categoría.

Homomorfismos de grupos abelianos

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom(G, H) de todos los homomorfismos de grupo de G a H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos se define por

()h + k)u) h()u) + k()u) para todos u dentro G.

Se necesita la conmutatividad de H para probar que h + k es de nuevo un homomorfismo de grupo.

La adición de homomorfismos es compatible con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f está en Hom(K, G), h, k son elementos de Hom(G, H), y g está en Hom(H, L ), luego

()h + k∘ f =h ∘ f) + (k ∘ f) y g ∘h + k) =g ∘ h) + (g ∘ k).

Dado que la composición es asociativa, esto muestra que el conjunto End(G) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo, el anillo de endomorfismos de G. Por ejemplo, el anillo de endomorfismo del grupo abeliano que consiste en la suma directa de m copias de Z/nZ es isomorfo al anillo de matrices m-by-m con entradas en Z/n Z. La compatibilidad anterior también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos de grupo forma una categoría preaditiva; la existencia de sumas directas y núcleos de buen comportamiento hace de esta categoría el ejemplo prototípico de una categoría abeliana.