Homomorfismo de anillos

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Funciones de conservación de estructuras entre dos anillos

En la teoría de anillos, una rama del álgebra abstracta, un homomorfismo de anillos es una función que conserva la estructura entre dos anillos. Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función f: R → S tal que f es:

Además preservando:

f(a+b)=f(a)+f(b)

para todos a y b dentro R,

multiplicación preservando:

{displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}

para todos a y b dentro R,

y unidad (identidad múltiple) preservando:

{displaystyle f(1_{R})=1_{S}}

Los inversos aditivos y la identidad aditiva también forman parte de la estructura, pero no es necesario exigir explícitamente que también se respeten, porque estas condiciones son consecuencia de las tres condiciones anteriores.

Si además f es una biyección, entonces su inversa f⁻¹ también es un homomorfismo de anillos. En este caso, f se denomina isomorfismo de anillos, y los anillos R y S se denominan isomorfo. Desde el punto de vista de la teoría de anillos, los anillos isomorfos no se pueden distinguir.

Si R y S son rngs, entonces la noción correspondiente es la de un homomorfismo rng, definido como arriba excepto sin la tercera condición f(1_R) = 1_S. Un homomorfismo rng entre anillos (unitales) no necesita ser un homomorfismo de anillos.

La composición de dos homomorfismos de anillos es un homomorfismo de anillos. De ello se deduce que la clase de todos los anillos forma una categoría con homomorfismos de anillos como morfismos (cf. la categoría de anillos). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillos, isomorfismo de anillos y automorfismo de anillos.

Propiedades

Vamos ${displaystyle fcolon Rrightarrow S}$ ser un homomorfismo de anillo. Entonces, directamente de estas definiciones, se puede deducir:

f(0_R) = 0_S.
f() -a) = −f()a) para todos a dentro R.
Para cualquier elemento de unidad a dentro R, f()a) es un elemento unitario tal que f()a⁻¹) f()a)⁻¹. En particular, f induce un homomorfismo de grupo del grupo (multiplicativo) R al grupo (multiplicativo) de unidades S (o de im(f)).
La imagen de f, denotado imf), es un subing de S.
El núcleo f, definido como ker(f♪♪a dentro R: f()a) = 0_S}, es un ideal en R. Cada ideal en un anillo R surge de algún homomorfismo de anillo de esta manera.
El homomorfismo f es inyectable si y sólo si ker(f= {0}_R}.
Si existe un homomorfismo de anillo f: R → S entonces la característica de S divide la característica de R. Esto a veces se puede utilizar para mostrar que entre ciertos anillos R y S, sin homomorfismos de anillo R → S existe.
Si R_p es el subring más pequeño que contiene R y S_p es el subring más pequeño que contiene S, entonces cada homomorfismo de anillo f: R → S induce un homomorfismo de anillo f_p: R_p → S_p.
Si R es un campo (o más generalmente un campo de sierra) y S no es el anillo cero, entonces f es inyectable.
Si ambos R y S son campos, entonces im(f) es un subcampo de SAsí que S puede considerarse como una extensión de campo R.
Si R y S son conmutativos I es un ideal S entonces f⁻¹()I) es un ideal R.
Si R y S son conmutativos P es un ideal de primera S entonces f⁻¹()P) es un ideal primo de R.
Si R y S son conmutativos, M es un ideal maximal S, y f es subjetivo, entonces f⁻¹()M) es un ideal maximal de R.
Si R y S son conmutativos S es un dominio integral, luego ker(f) es un ideal primo de R.
Si R y S son conmutativos, S es un campo, y f es subjetivo, entonces ker(f) es un ideal maximal de R.
Si f es subjetivo, P es ideal (máximal) en R y ker(f⊆ P, entonces f()P) es primo (maximal) ideal en S.

Además,

La composición de los homomorfismos del anillo es un homomorfismo del anillo.
Para cada anillo R, el mapa de identidad R → R es un homomorfismo de anillo.
Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos anillo forma una categoría, la categoría de anillos.
El mapa cero R → S enviar cada elemento R a 0 es un homomorfismo anillo sólo si S es el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero).
Por cada anillo R, hay un homomorfismo de anillo único Z → R. Esto dice que el anillo de enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
Por cada anillo R, hay un homomorfismo de anillo único R al anillo cero. Esto dice que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.

Ejemplos

La función f: Z → Z/nZ, definida por f()a.a]_n = a mod n es un homomorfismo anillo subjetivo con núcleo nZ (ver aritmética modular).
La compleja conjugación C → C es un homomorfismo de anillo (esto es un ejemplo de un automorfismo de anillo).
Para un anillo R de primera característica p, R → R, x → x^p es un endomorfismo de anillo llamado el endomorfismo Frobenius.
Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y sólo si S es el anillo cero. (Otros fallos en el mapa 1_R a 1_S.) Por otro lado, la función cero es siempre un homomorfismo rng.
Si R[X] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R, y C denota los números complejos, luego la función f: R[X] → C definidas por f()p) p()i) (sustituir la unidad imaginaria i para la variable X en el polinomio p) es un homomorfismo anillo subjetivo. El núcleo f consta de todos los polinomios en R[X] que son divisibles por X² + 1.
Si f: R → S es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S, entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de matriz M_n()R) → M_n()S).
Vamos V ser un espacio vectorial sobre un campo k. Entonces el mapa ${displaystyle rho:kto operatorname {End} (V)}$ dado por ${displaystyle rho (a)v=av}$ es un homomorfismo de anillo. Más generalmente, dado un grupo abeliano M, una estructura de módulos M sobre un anillo R es equivalente a dar un homomorfismo anillo ${displaystyle Rto operatorname {End} (M)}$ .
Un homomorfismo de álgebra unitaria entre álgebras asociativas unitarias sobre un anillo comunicativo R es un homomorfismo de anillo que también es R-linear.

No-ejemplos

La función f: Z/6Z → Z/6Z definidas por f[a]₆[4]a]₆ es un homomorfismo rng (y endomorfismo rng), con el núcleo 3Z/6Z imagen 2Z/6Z (que es isomorfo a Z/3Z).
No hay homomorfismo de anillo Z/nZ → Z para cualquier n ≥ 1.
Si R y S son anillos, la inclusión $R to R times S$ enviando cada uno r a)r,0) es un homomorfismo rng, pero no un homomorfismo anillo (si S no es el anillo cero), ya que no mapea la identidad multiplicativa 1 de R a la identidad multiplicativa (1,1) de $R times S$ .

La categoría de los anillos

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos

A anillo endomorfismo es un homomorfismo del anillo a sí mismo.
A Anillo isomorfismo es un homomorfismo de anillo que tiene un inverso de dos caras que también es un homomorfismo de anillo. Uno puede probar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y sólo si es bijetivo como una función en los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S, entonces R y S se llaman isomorfo. Los anillos Isomorficos difieren sólo por un relabeling de elementos. Ejemplo: Hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomorfos pares de orden 4 tal que cada otro anillo del orden 4 es isomorfo a uno de ellos). Por otro lado, hasta el isomorfismo, hay once pinzas de orden 4.
A Anillo automorfismo es un isomorfismo del anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos

Los homomorfismos de anillos inyectivos son idénticos a los monomorfismos en la categoría de anillos: If f: R → S es un monomorfismo que no es inyectivo, entonces envía algo de r₁ y r₂ al mismo elemento de S. Considere los dos mapas g₁ y g₂ de Z[ x] a R que mapean x a r₁ y r₂, respectivamente; f ∘ g₁ y f ∘ g₂ son idénticos, pero como f es un monomorfismo, esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillos sobreyectivos son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión Z ⊆ Q es un epimorfismo de anillo, pero no una sobreyección. Sin embargo, son exactamente iguales a los epimorfismos fuertes.

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