Homomorfismo

En álgebra, un homomorfismo es un mapa que conserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos, dos anillos o dos espacios vectoriales). La palabra homomorfismo proviene del idioma griego antiguo: ὁμός (homos) que significa "igual" y μορφή (morphe) que significa "forma" o "forma". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en las matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich que significa "similar" a ὁμός que significa "mismo". El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925).

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan mapas lineales, y su estudio es objeto de álgebra lineal.

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo, a muchas otras estructuras que no tienen un conjunto subyacente o no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías.

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo, endomorfismo y automorfismo, etc. (ver más abajo). Cada uno de ellos se puede definir de una manera que se puede generalizar a cualquier clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo es un mapa entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (que es del mismo nombre), que preserva las operaciones de las estructuras. Esto significa un mapa ${displaystyle f:Ato B}$ entre dos sets ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$ equipado con la misma estructura que, si ${displaystyle cdot }$ es una operación de la estructura (supuesta aquí, para simplificación, para ser una operación binaria), entonces

${displaystyle f(xcdot y)=f(x)cdot f(y)}$

para cada par ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$ de elementos de ${displaystyle A}$. Uno dice a menudo que ${displaystyle f}$ preserva la operación o es compatible con la operación.

Formally, un mapa ${displaystyle f:Ato B}$ preserva una operación ${displaystyle mu }$ de la aridad k, definido en ambos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ si

${displaystyle f(mu _{A}(a_{1},ldotsa_{k})=mu _{B}(f(a_{1}),ldotsf(a_{k})})}$

para todos los elementos ${displaystyle a_{1}, a_{k}$ dentro ${displaystyle A}$.

Las operaciones que deben ser preservadas por un homomorfismo incluyen operaciones 0-arias, es decir, las constantes. En particular, cuando el tipo de estructura requiere un elemento de identidad, el elemento de identidad de la primera estructura debe mapearse con el elemento de identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

• Un homomorfismo semigrupo es un mapa entre semigrupos que preserva la operación semigrupo.
• Un homomorfismo monoide es un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y mapea el elemento de identidad del primer monoide al del segundo monoide (el elemento de identidad es una operación 0-ary).
• Un homomorfismo de grupo es un mapa entre grupos que preserva la operación del grupo. Esto implica que el homomorfismo grupo mapea el elemento de identidad del primer grupo al elemento de identidad del segundo grupo, y mapea el inverso de un elemento del primer grupo al inverso de la imagen de este elemento. Así, un homomorfismo semigrupo entre grupos es necesariamente un homomorfismo grupal.
• Un homomorfismo de anillo es un mapa entre anillos que preserva la adición del anillo, la multiplicación del anillo y la identidad multiplicativa. Si la identidad multiplicativa debe ser preservada depende de la definición anillo en uso. Si la identidad multiplicativa no se conserva, uno tiene un homomorfismo rng.
• Un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales; es decir, un homomorfismo de grupo entre espacios vectoriales que preserva la estructura de grupo abeliano y la multiplicación escalar.
• Un homomorfismo módulo, también llamado mapa lineal entre módulos, se define de forma similar.
• Un homomorfismo álgebra es un mapa que conserva las operaciones de álgebra.

Una estructura algebraica puede tener más de una operación y se requiere un homomorfismo para conservar cada operación. Por lo tanto, un mapa que conserva solo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino solo un homomorfismo de la subestructura obtenida al considerar solo las operaciones conservadas. Por ejemplo, un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y no el elemento de identidad, no es un homomorfismo monoide, sino solo un homomorfismo de semigrupo.

La notación de las operaciones no necesita ser la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para la suma y los números reales positivos forman un grupo para la multiplicación. La función exponencial

${displaystyle xmapsto e^{x}$

satisface

${displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}$

y por lo tanto es un homomorfismo entre estos dos grupos. Incluso es un isomorfismo (ver más abajo), ya que su función inversa, el logaritmo natural, satisface

${displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y),}$

y también es un homomorfismo de grupo.

Ejemplos

Homomorfismo monoide ${displaystyle f}$ del monoide ()N, +, 0) al monoide ()N, ×, 1), definida por ${displaystyle f(x)=2^{x}$. Es inyectable, pero no subjetivo.

Los números reales son un anillo, teniendo tanto suma como multiplicación. El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 también es un anillo, bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices. Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

${displaystyle f(r)={begin{pmatrix}r divide0$