Homología de Borel-Moore

En topología, la homología de Borel−Moore u homología con soporte cerrado es una teoría de homología para espacios localmente compactos, introducida por Armand Borel y John Moore en 1960.

Para espacios razonablemente compactos, la homología de Borel-Moore coincide con la homología singular habitual. Para espacios no compactos, cada teoría tiene sus propias ventajas. En particular, una subvariedad orientada cerrada define una clase en la homología de Borel-Moore, pero no en la homología ordinaria a menos que la subvariedad sea compacta.

Nota: La cohomología equivariante Borel es un invariante de espacios con una acción de un grupo G; se define como ${\displaystyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}(EG\times X)/G). }$ Esto no está relacionado con el tema de este artículo.

Existen varias formas de definir la homología de Borel−Moore. Todas coinciden para espacios razonables, como variedades y complejos CW localmente finitos.

Para cualquier espacio localmente compacto X, la homología de Borel-Moore con coeficientes integrales se define como la cohomología del dual del complejo de cadena que calcula la cohomología del haz con soporte compacto. Como resultado, existe una secuencia exacta corta análoga al teorema del coeficiente universal:

$${\displaystyle 0\to {\text{Ext}_{\Mathbb [Z] } {1}(H_{c} {i+1}(X,\mathbb {Z}),\mathbb {Z})\to H_{i}}{BM}(X,\mathbb {Z})\to {\text{I})\to {\fnuncio} ¿Qué?$$

En lo que sigue, los coeficientes ${\displaystyle \mathbb {Z}$ no están escritos.

La homología singular de un espacio topológico x se define como la homología del complejo de cadenas de cadenas singulares, es decir, combinaciones finitas lineales de mapas continuos del simplex a x B> Cadenas singulares.

En más detalle, dejemos ${\displaystyle C_{i}{BM}(X)}$ ser el grupo abeliano de sumas formales (infinitas)

$${\displaystyle u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma}$$

Donde σ se ejecuta sobre el conjunto de todos los mapas continuos de la norma i-simplex Δⁱ a X y cada uno a_σ es un entero, tal que para cada subconjunto compacto K de X, tenemos ${\displaystyle a_{\sigma}\neq 0}$ sólo finitamente muchos σ cuya imagen se encuentra K. Entonces la definición habitual de la frontera de una cadena singular hace que estos grupos abelianos en un complejo de cadena:

$${\displaystyle \cdots \to C_{2}{BM}(X)\to C_{1}{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.}$$

Grupos de homología Borel−Moore ${\displaystyle H_{i} {BM}(X)}$ son los grupos de homología de este complejo de cadena. Eso es,

$${\displaystyle H_{i}{BM}(X)=\ker \left(\partial:C_{i}{BM}(X)\to C_{i-1}{BM}(X)\right)/{\text{im}\left(\partial:C_{i+1}{BM}(X)\to C_{i}{i}{BM}(X)\right). }$$

Si X es compacto, entonces cada cadena localmente finita es de hecho finito. Así que, dado que X es "razonable" en el sentido anterior, Borel−Moore homology ${\displaystyle H_{i} {BM}(X)}$ coincide con la homología singular habitual ${\displaystyle H_{i}(X)}$ para X compacto.

Supongamos que X es homeomorfo al complemento de un subcomplex cerrado S en un complejo CW finito Y. Entonces Borel-Moore homología ${\displaystyle H_{i} {BM}(X)}$ es isomorfa a la homología relativa H_i()Y, S). Con arreglo a la misma hipótesis X, la compactación de un punto X es homeomorfo a un complejo CW finito. Como resultado, la homología Borel-Moore puede considerarse como la homología relativa de la compactación de un punto con respecto al punto añadido.

Sea X cualquier espacio localmente compacto con una incrustación cerrada en una variedad orientada M de dimensión m. Entonces

$${\displaystyle H_{i}{BM}(X)= H^{m-i}(M,M\setminus X),}$$

donde en el lado derecho se hace referencia a la cohomología relativa.

Para cualquier espacio localmente compacto X de dimensión finita, sea D_X el complejo dualizante de X. Entonces

$${\displaystyle H_{i} {BM}(X)=\mathbb [H} ^{-i}(X,D_{X}),}$$

donde en el lado derecho se hace referencia a la hipercohomología.

Borel−Moore homology es un functor covariante con respecto a los mapas adecuados. Es decir, un mapa adecuado f: X → Y induce a adelante homomorfismo ${\displaystyle H_{i} {BM}(X)\to H_{i} {BM}(Y)}$ para todos los enteros i. En contraste con la homología ordinaria, no hay presión sobre Borel - Moore homología para un mapa continuo arbitrario f. Como contraejemplo, se puede considerar la inclusión no propietaria ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}$

Borel−Moore homology es un functor contravariante con respecto a inclusiones de subconjuntos abiertos. Es decir, U abierto X, hay un natural Retirada o restricción homomorfismo ${\displaystyle H_{i} {BM}(X)\to H_{i} {BM}(U). }$

Para cualquier espacio localmente compacto X y cualquier subconjunto cerrado FCon ${\displaystyle U=X\setminus F}$ el complemento, hay un largo exacto localización secuencia: $${\displaystyle \cdots \to H_{i} {BM}(F)\to H_{i}{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}{BM}(F)\to \cdots }$$

La homología de Borel−Moore es invariante en el sentido de que para cualquier espacio X, hay un isomorfismo ${\displaystyle H_{i} {BM}(X)\to H_{i+1} {BM}(X\times \mathbb {R}).}$ El cambio de dimensión significa que la homología Borel-Moore no es invariante en el sentido ingenuo. Por ejemplo, la homología Borel−Moore del espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z}$ en grado n y es de otra manera cero.

La dualidad Poincaré se extiende a los manifolds no-compactos usando la homología Borel-Moore. Es decir, para una orientación n- Manifold X, la dualidad Poincaré es un isomorfismo de la cohomología singular a Borel - Moore homology, $${\displaystyle ¿Qué? }H_{n-i} {BM}(X)}$$para todos los enteros i. Una versión diferente de la dualidad Poincaré para los manifolds no-compactos es el isomorfismo de la cohomología con soporte compacto a la homología habitual: $${\displaystyle ¿Qué? Sí.$$

Una ventaja clave de la homología Borel−Moore es que cada múltiple orientado M de la dimensión n (en particular, cada variedad álgebraica compleja lisa), no necesariamente compacta, tiene una clase fundamental ${\displaystyle [M]\in H_{n} {BM}(M). }$ Si el manifold M tiene una triangulación, entonces su clase fundamental está representada por la suma de todos los simplices dimensionales. De hecho, en la homología Borel−Moore, se puede definir una clase fundamental para variedades complejas arbitrarias (posiblemente singulares). En este caso el complemento del conjunto de puntos lisos ${\displaystyle M^{\text{reg}\subset M}$ tiene (real) codimensión al menos 2, y por la larga secuencia exacta sobre las homologías dimensionales superiores M y ${\displaystyle M^{\text{reg}}$ son canónicamente isomorfos. La clase fundamental de M entonces se define como la clase fundamental de ${\displaystyle M^{\text{reg}}$.

Dado un espacio topológico compacto ${\displaystyle X}$ su homología Borel-Moore está de acuerdo con su homología estándar; es decir,

$${\displaystyle H_{*}{BM}(X)\cong H_{*}(X)}$$

El primer cálculo no-trivial de la homología Borel-Moore es de la línea real. Primero observa que ${\displaystyle 0}$- La cadena es cohomologous ${\displaystyle 0}$. Puesto que esto reduce al caso de un punto ${\displaystyle p}$, note que podemos tomar la cadena Borel-Moore

$${\displaystyle \sigma =\sum [p+i,p+i+1]$$

desde el límite de esta cadena ${\displaystyle \partial \sigma =p}$ y el punto inexistente en el infinito, el punto es cohomologous a cero. Ahora, podemos tomar la cadena Borel-Moore

$${\displaystyle \sigma =\sum _{-\infty se hizo realidad\infty }[k,k+1]}$$

que no tiene límite, por lo tanto es una clase de homología. Esto demuestra que

$${\displaystyle H_{k} {BM}(\mathbb {R})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\0 {\text{otherwise}\end{cases}}$$

El cálculo anterior se puede generalizar en el caso ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ Tenemos

$${\displaystyle ¿Qué? {Z} &k=n\0 â\text{otherwise}\end{cases}}$$

Usando la descomposición Kunneth, podemos ver que el cilindro infinito ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R}$ tiene homología

$${\displaystyle H_{k} {BM}(S^{1}\times \mathbb {R}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {Z} &k=2\0 â\text{otherwise}\end{cases}}$$

Usando la larga secuencia exacta en la homología Borel-Moore, obtenemos (para ${\displaystyle n confía1}$) las secuencias no-cero exactas

$${\displaystyle 0\to ¿Qué?$$

y

$${\displaystyle 0\to H_{1}{BM}(\mathbb [R] ^{n}- {0})\to H_{0}(\{0\})\to H_{0} {BM}(\mathbb {R} {n})\to H_{0}{BM} {\m} {\cH} {\m} {\cH0} {\c} {\cH0} {\c}}}} {\c}}} {\c}}}}}}}}\c}\c}\c\c}\c}\c\c}\c}\c}\c}\c\c\c\c\c\c\c}\c}\c\c\c}\c}\c}\c}\c}\c\c\c}\c}\c\c\c\c}\c}\c\c\c\c\c\c\c\c}\c}\cH}\cH}\c}\cH}\c}\cH}\c}\cH}\c}\c}\c$$

De la primera secuencia obtenemos que

$${\displaystyle ¿Qué? ¿Qué?$$

y a partir del segundo obtenemos que

$${\displaystyle H_{1} {BM} [R] ^ {n}-\{0})\cong ¿Qué?$$y

$${\displaystyle 0\cong ¿Qué? ¿Qué?$$

Podemos interpretar estas clases de homología distintas de cero utilizando las siguientes observaciones:

1. Hay una equivalencia de homotopy ${\displaystyle \mathbb {R} } {\cH0}\simeq S^{n-1}$
2. Un isomorfismo topológico ${\displaystyle \mathbb {R} {\fn}\fn}\cong} S^{n-1}\times \mathbb {R} _{ Conf0}$

por lo tanto podemos utilizar la computación para el cilindro infinito para interpretar ${\displaystyle H_{n} {BM}$ como clase de homología representada por ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} _{}0}$ y ${\displaystyle H_{1} {BM}$ como ${\displaystyle \mathbb {R} _{}0}$

Vamos. ${\displaystyle X=\Mathbb {R} ^{2}-\p_{1},\ldotsp_{k}}}$ han tenido ${\displaystyle k}$- Distinct puntos eliminados. Observe el cálculo anterior con el hecho de que la homología Borel-Moore es un isomorfismo invariante da este cálculo para el caso ${\displaystyle k=1}$. En general, encontraremos un ${\displaystyle 1}$-clase correspondiente a un bucle alrededor de un punto, y la clase fundamental ${\displaystyle [X]}$ dentro ${\displaystyle H_{2} {BM}$.

Considere el cono doble ${\displaystyle X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}$. Si tomamos ${\displaystyle U=X\setminus \{0\}$ entonces la secuencia exacta larga muestra

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}{BM}(X) Pulse=\mathbb [Z] ^{\oplus 2}\H_{1} {BM}(X) Con=\mathbb {Z} \\H_{k} {BM}(X)} {\fnunció {\text{ for }k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}}$$

Dado un género de dos curvas (superficie riemann) ${\displaystyle X}$ y tres puntos ${\displaystyle F}$, podemos utilizar la larga secuencia exacta para calcular la homología Borel-Moore ${\displaystyle U=X\setminus F.}$ Esto da

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}{BM}(F)\to >H_{2}{BM}(X)\to H_{2} {BM}(U)\to H_{1} {BM}(F)\to 'H_{1}{BM}(X)\to H_{1} {BM}(U)\to ¿Qué? H_{0} {BM}(U)\to 0\end{aligned}$$

Desde ${\displaystyle F}$ es sólo tres puntos que tenemos

$${\displaystyle H_{1} {BM}(F)=H_{2} {BM}(F)=0.}$$

Esto nos da que ${\displaystyle H_{2} {BM}(U)=\mathbb {Z}.$ Utilizando Poincare-duality podemos calcular

$${\displaystyle H_{0} {BM}(U)=H^{2}(U)=0,}$$

desde entonces ${\displaystyle U}$ la deformación se retrae a un complejo CW único. Finalmente, utilizando la computación para la homología de una curva compacta de género 2 nos quedamos con la secuencia exacta

$${\displaystyle 0\to \mathbb [Z] ^{\oplus 4}\to H_{1} {BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0}$$

mostrando

$${\displaystyle H_{1} {BM}(U)\cong \mathbb {Z} {\oplus 6}$$

ya que tenemos la secuencia corta y exacta de grupos abelianos libres

$${\displaystyle 0\to \mathbb [Z] ^{\oplus 4}\to H_{1}{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0}$$

de la secuencia anterior.

• Goresky, Mark, Primer on Sheaves (PDF), archivado desde el original (PDF) on 2017-09-27

• Borel, Armand; Moore, John C. (1960). "Teoría de la homología para espacios locales compactos". Michigan Mathematical Journal. 7 (2): 137-159. doi:10.1307/mmj/1028998385. ISSN 0026-2285.
• Bredon, Glen E. (1997). Sheaf Teoría (2a edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94905-5. MR 1481706.
• Fulton, William (1998). Teoría de intersección (2a edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-62046-4. MR 1644323.
• Iversen, Birger (1986). Cohomology of Sheaves. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-16389-1. MR 0842190.