Homeomorfismo

Una deformación continua entre una taza de café y un donut (torus) que ilustra que son homeomorfos. Pero no hay necesidad de una deformación continua para que dos espacios sean homeomorficos – sólo un mapeo continuo con una función inversa continua.

En el campo matemático de la topología, un homeomorfismo, isomorfismo topológico o función bicontinua es una función biyectiva y continua entre espacios topológicos que tiene una función inversa continua. Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos, es decir, son las aplicaciones que conservan todas las propiedades topológicas de un espacio dado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se llaman homeomorfos, y desde un punto de vista topológico son iguales. La palabra homeomorfismo proviene de las palabras griegas ὅμοιος (homoios) = similar o igual y μορφή ( morphē) = figura o figura, introducido en las matemáticas por Henri Poincaré en 1895.

En términos muy generales, un espacio topológico es un objeto geométrico, y el homeomorfismo es un estiramiento y una flexión continuos del objeto en una nueva forma. Así, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede ser engañosa. Algunas deformaciones continuas no son homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no son deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo de trébol y un círculo.

Un chiste matemático que se repite a menudo es que los topólogos no pueden diferenciar entre una taza de café y una rosquilla, ya que una rosquilla lo suficientemente flexible podría remodelarse para adoptar la forma de una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, al mismo tiempo que conserva el orificio de la rosquilla en el asa de la copa.

Definición

Una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si tiene las siguientes propiedades:

• f{displaystyle f} es una bijeción (una a una y otra),
• f{displaystyle f} es continuo,
• la función inversa f− − 1{displaystyle f^{-1} es continuo (f{displaystyle f} es un mapeo abierto).

Un homeomorfismo a veces se llama bicontinua función. Si existe tal función, X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son homeomorfo. A auto-homeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. "Ser homeomorfo" es una relación de equivalencia en los espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se llaman clases de homeomorfismo.

Ejemplos

Un nudo de trefoil es homeomórfico a un toro sólido, pero no isotópico en R³. Las cartografías continuas no siempre son realizables como deformaciones.

• El intervalo abierto ()a,b){textstyle (a,b)} es homeomorfa a los números reales R{textstyle mathbf {R} para cualquier <math alttext="{textstyle aa.b♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪<img alt="{textstyle a. (En este caso, una asignación bicontinua hacia adelante se da por f()x)=1a− − x+1b− − x{textstyle f(x)={frac {1}{a-x}+{frac} {1}{b-x}} mientras que otros mapas de este tipo se dan por versiones escaladas y traducidas de los # o arg tanh funciones).
• La unidad 2-disc D2{textstyle D^{2} y el cuadrado de unidad en R2{displaystyle mathbf {R} {2} son homeomorfos; ya que el disco de unidad se puede deformar en el cuadrado de unidad. Un ejemplo de una cartografía bicontinua del cuadrado al disco es, en coordenadas polares, ()*** *** ,Silencio Silencio )↦ ↦ ()*** *** max()Silencio#⁡ ⁡ Silencio Silencio Silencio,Silenciopecado⁡ ⁡ Silencio Silencio Silencio),Silencio Silencio ){displaystyle (rhotheta)mapsto left({frac {rho }{max(sobrevivircos theta Silencio, sobrevivirtheta Silencio)}},theta right)}}}.
• El gráfico de una función diferenciable es homeomorfico al dominio de la función.
• Una parametrización diferenciable de una curva es un homeomorfismo entre el dominio de la parametrización y la curva.
• Un gráfico de un múltiple es un homeomorfismo entre un subconjunto abierto del múltiple y un subconjunto abierto de un espacio euclidiano.
• La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera de unidad en R3{displaystyle mathbf {R} } {3} con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en R2{displaystyle mathbf {R} {2} (un plano 2-dimensional).
• Si G{displaystyle G. es un grupo topológico, su mapa de inversión x↦ ↦ x− − 1{displaystyle xmapsto x^{-1} es un homeomorfismo. Además, para cualquier x▪ ▪ G{displaystyle xin G}, la traducción izquierda Sí.↦ ↦ xSí.{displaystyle ymapsto xy}, la traducción correcta Sí.↦ ↦ Sí.x{displaystyle ymapsto yx}, y el automorfismo interior Sí.↦ ↦ xSí.x− − 1{displaystyle ymapsto xyx^{-1} son homeomorfismos.

No ejemplos

• R^m y Rⁿ no son homeomorfos para m ل n.
• La línea real de Euclidean no es homeomorfa al círculo de la unidad como subespacial R², ya que el círculo de unidad es compacto como un subespacio de Euclidean R² pero la línea real no es compacta.
• Los intervalos unidimensionales [0,1]{displaystyle [0,1]} y ]0,1[{displaystyle]0,1[} no son homeomorfos porque uno es compacto mientras que el otro no lo es.

Propiedades

• Dos espacios homeomorficos comparten las mismas propiedades topológicas. Por ejemplo, si uno de ellos es compacto, entonces el otro es también; si uno de ellos está conectado, entonces el otro es también; si uno de ellos es Hausdorff, entonces el otro es también; sus grupos de homotopy y homología coincidirán. No obstante, esto no se extiende a las propiedades definidas a través de una métrica; hay espacios métricos que son homeomórficos aunque uno de ellos está completo y el otro no lo es.
• Un homeomorfismo es simultáneamente un mapeo abierto y un mapeo cerrado; es decir, mapea conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.
• Cada auto-homeomorfismo en S1{displaystyle S^{1} se puede ampliar a un auto-homeomorfismo de todo el disco D2{displaystyle D^{2} (El truco de Alexander).

Discusión informal

El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y volver a pegar requiere una cierta cantidad de práctica para aplicarlo correctamente; por ejemplo, puede que no sea obvio a partir de la descripción anterior que deformar un segmento de línea en un punto no es permisible. Por lo tanto, es importante darse cuenta de que lo que cuenta es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de línea posee una cantidad infinita de puntos y, por lo tanto, no se puede poner en una biyección con un conjunto que contiene solo un número finito de puntos, incluido un solo punto.