Historia de los sistemas de numeración antiguos

Los sistemas numéricos han evolucionado desde el uso de los dedos y las marcas de conteo, quizás hace más de 40.000 años, hasta el uso de conjuntos de glifos capaces de representar cualquier número concebible de manera eficiente. Las primeras notaciones inequívocas para números que se conocen surgieron en Mesopotamia hace unos 5000 o 6000 años.

El conteo se hace inicialmente con los dedos, ya que el recuento de dígitos es común en los sistemas numéricos que están surgiendo hoy en día, al igual que el uso de las manos para expresar los números cinco y diez. Además, la mayoría de los sistemas numéricos del mundo están organizados por decenas, cincos y veintes, lo que sugiere el uso de las manos y los pies para contar, y en diferentes idiomas, los términos para estas cantidades se basan etimológicamente en las manos y los pies. Finalmente, existen conexiones neurológicas entre las partes del cerebro que aprecian la cantidad y la parte que "conoce" los dedos (gnosia de los dedos), y esto sugiere que los humanos están neurológicamente predispuestos a usar sus manos para contar. Si bien el conteo con los dedos no es algo que se conserve típicamente en la arqueología, algunas plantillas de manos prehistóricas se han interpretado como conteo con los dedos, ya que de los 32 patrones posibles que pueden producir los dedos, solo cinco (los que se usan típicamente para contar del uno al cinco) se encuentran en la cueva de Cosquer, Francia.

Dado que la capacidad y la persistencia de los dedos son limitadas, el conteo de los mismos suele complementarse con dispositivos de mayor capacidad y persistencia, como tarjas de madera u otros materiales. En el registro arqueológico aparecen marcas de conteo realizadas mediante el tallado de muescas en madera, hueso y piedra hace al menos cuarenta mil años. Estas marcas de conteo pueden haberse utilizado para contar el tiempo, como el número de días o de ciclos lunares, o para llevar registros de cantidades, como el número de animales u otros productos valiosos. Sin embargo, actualmente no existe ninguna técnica de diagnóstico que pueda determinar de forma fiable el propósito social o el uso de las marcas lineales prehistóricas inscritas en superficies, y los ejemplos etnográficos contemporáneos muestran que se fabrican y utilizan artefactos similares con fines no numéricos.

El hueso de Lebombo es una fíbula de babuino con marcas incisas descubierta en las montañas de Lebombo, situadas entre Sudáfrica y Eswatini. El hueso se ha datado en 42.000 años. Según El libro universal de las matemáticas, las 29 muescas del hueso de Lebombo sugieren que "puede haber sido utilizado como contador de fases lunares, en cuyo caso las mujeres africanas pueden haber sido las primeras matemáticas, porque llevar un registro de los ciclos menstruales requiere un calendario lunar". Sin embargo, el hueso está claramente roto en un extremo, por lo que las 29 muescas podrían representar solo una parte de una secuencia más grande. Artefactos similares de sociedades contemporáneas, como los de Australia, también sugieren que dichas muescas pueden tener funciones mnemotécnicas o convencionales, en lugar de significar números.

El hueso de Ishango es un artefacto con una pieza afilada de cuarzo adherida a un extremo, tal vez para grabar. Se ha datado en 25.000 años. En un principio se pensó que el artefacto era una vara de conteo, ya que tiene una serie de lo que se ha interpretado como marcas de conteo talladas en tres filas que recorren la longitud de la herramienta. La primera fila se ha interpretado como los números primos entre 10 y 20 (es decir, 19, 17, 13 y 11), mientras que una segunda fila parece sumar y restar 1 de 10 y 20 (es decir, 9, 19, 21 y 11); la tercera fila contiene cantidades que podrían ser mitades y dobles, aunque estas son inconsistentes. Teniendo en cuenta la probabilidad estadística de producir tales números por accidente, investigadores como Jean de Heinzelin han sugerido que las agrupaciones de muescas indican una comprensión matemática mucho más allá del simple conteo. También se ha sugerido que las marcas podrían haber sido realizadas con un propósito utilitario, como crear un mejor agarre para el mango, o por alguna otra razón no matemática. El propósito y el significado de las muescas siguen siendo objeto de debate en la literatura académica.

Los primeros escritos conocidos para llevar registros surgieron de un sistema de contabilidad que utilizaba pequeñas fichas de arcilla. Los primeros artefactos que se afirma que son fichas provienen de Tell Abu Hureyra, un yacimiento en el valle del Alto Éufrates en Siria que data del X milenio a. C., y de Ganj-i-Dareh Tepe, un yacimiento en la región de Zagros en Irán que data del IX milenio a. C.

Para crear un registro que representara "dos ovejas", se utilizaron dos fichas que representaban cada una una unidad. También se contaban de forma diferente los distintos tipos de objetos. En el sistema de conteo utilizado con la mayoría de los objetos discretos (incluidos animales como las ovejas), había una ficha para un elemento (unidades), una ficha diferente para diez elementos (decenas), una ficha diferente para seis decenas (sesenta), etc. Se utilizaban fichas de distintos tamaños y formas para registrar grupos superiores de diez o seis en un sistema numérico sexagesimal. Diferentes combinaciones de formas y tamaños de fichas codificaban los diferentes sistemas de conteo. La arqueóloga Denise Schmandt-Besserat ha argumentado que las fichas geométricas simples utilizadas para los números iban acompañadas de fichas complejas que identificaban los productos enumerados. Para los ungulados como las ovejas, esta ficha compleja era un disco plano marcado con un círculo en cuartos. Sin embargo, el supuesto uso de fichas complejas también ha sido criticado por diversos motivos.

Para garantizar que las fichas no se perdieran ni se alteraran en cuanto a su tipo o cantidad, se colocaban en sobres de arcilla con forma de bolas huecas, conocidos como bullae (una bulla). Los sellos de propiedad y de testigos se imprimían en las superficies de las bullae, que también podían dejarse lisas. Si era necesario verificar las fichas después de sellar la bulla que las contenía, había que abrirla. Alrededor de mediados del cuarto milenio a. C., las fichas comenzaron a presionarse en la superficie exterior de una bulla antes de sellarlas por dentro, presumiblemente para evitar la necesidad de abrir la bulla para verlas. Este proceso creaba impresiones externas en las superficies de las bullae que correspondían a las fichas encerradas en sus tamaños, formas y cantidades. Con el tiempo, parece que se reconoció la redundancia creada por las fichas dentro y las impresiones fuera de una bulla, y las impresiones en tablillas planas se convirtieron en el método preferido para registrar información numérica. Las correspondencias entre impresiones y fichas, y la cronología de las formas que comprendían, fueron notadas y publicadas inicialmente por académicos como Piere Amiet.

Cuando las impresiones numéricas permitieron comprender mejor los números antiguos, los sumerios ya habían desarrollado una aritmética compleja. Los cálculos se realizaban probablemente con fichas o mediante un ábaco o un tablero de conteo.

A mediados y finales del cuarto milenio a. C., las impresiones numéricas utilizadas con las bullae fueron reemplazadas por tablillas numéricas que contenían números protocuneiformes impresos en arcilla con un estilete redondo sostenido en diferentes ángulos para producir las diversas formas utilizadas para los signos numéricos. Como era el caso de las fichas y las impresiones numéricas en el exterior de las bullae, cada signo numérico representaba tanto el producto que se estaba contando como la cantidad o volumen de ese producto. Estos números pronto fueron acompañados por pequeñas imágenes que identificaban el producto que se estaba enumerando. Los sumerios contaban diferentes tipos de objetos de manera diferente. Como se entiende a través de los análisis de las primeras notaciones protocuneiformes de la ciudad de Uruk, había más de una docena de sistemas de conteo diferentes, incluido un sistema general para contar la mayoría de los objetos discretos (como animales, herramientas y personas) y sistemas especializados para contar queso y productos de grano, volúmenes de grano (incluidas unidades fraccionarias), áreas de tierra y tiempo. El conteo especificado por objeto no es inusual y ha sido documentado para pueblos contemporáneos de todo el mundo; Estos sistemas modernos proporcionan una buena idea de cómo funcionaban probablemente los antiguos sistemas numéricos sumerios.

Alrededor del 2700 a. C., el estilete redondo comenzó a ser reemplazado por un estilete de lengüeta que producía las impresiones en forma de cuña que dan nombre a los signos cuneiformes. Como fue el caso con las fichas, las impresiones numéricas y los numerales protocuneiformes, los numerales cuneiformes son hoy en día a veces ambiguos en los valores numéricos que representan. Esta ambigüedad se debe en parte a que la unidad base de un sistema de conteo específico para objetos no siempre se entiende, y en parte a que el sistema numérico sumerio carecía de una convención como un punto decimal para diferenciar números enteros de fracciones o exponentes superiores de inferiores. Alrededor del 2100 a. C., se desarrolló un sistema numérico sexagesimal común con valor posicional y se utilizó para facilitar las conversiones entre sistemas de conteo específicos para objetos. Una versión decimal del sistema de numeración sexagesimal, hoy llamada asirio-babilónico común, se desarrolló en el segundo milenio a. C., lo que refleja la creciente influencia de pueblos semíticos como los acadios y los eblaítas; si bien hoy es menos conocido que su contraparte sexagesimal, con el tiempo se convertiría en el sistema dominante utilizado en toda la región, especialmente cuando la influencia cultural sumeria comenzó a decaer.

Los numerales sexagesimales eran un sistema de base mixta que conservaba las bases alternadas de 10 y 6 que caracterizaban a las fichas, las impresiones numéricas y los signos numéricos protocuneiformes. Los numerales sexagesimales se utilizaban en el comercio, así como para cálculos astronómicos y de otro tipo. En los números arábigos, el sexagesimal todavía se utiliza hoy para contar el tiempo (segundos por minuto; minutos por hora) y los ángulos (grados).

Los números romanos se desarrollaron a partir de símbolos etruscos alrededor de mediados del primer milenio a. C. En el sistema etrusco, el símbolo 1 era una sola marca vertical, el símbolo 10 eran dos marcas de conteo cruzadas perpendicularmente y el símbolo 100 eran tres marcas de conteo cruzadas (similares en forma a un asterisco * moderno); mientras que 5 (una forma de V invertida) y 50 (una V invertida dividida por una sola marca vertical) tal vez derivaron de las mitades inferiores de los signos para 10 y 100, no hay una explicación convincente de cómo el símbolo romano para 100, C, se derivó de su antecedente etrusco en forma de asterisco.

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• Schmandt-Besserat, Denise (1982). "El surgimiento de la grabación". American Anthropologist. New Series. 84 (4): 871–878. doi:10.1525/aa.1982.84.4.02a00110. JSTOR 676498. Retrieved 24 de septiembre 2022.

• "Historia de Sistemas de Conteo y Numerosos". Retrieved 11 de diciembre 2005.