Historia de la teoría del topos

Este artículo brinda información muy general sobre la idea matemática de topos. Este es un aspecto de la teoría de categorías y tiene reputación de ser abstruso. El nivel de abstracción involucrado no puede reducirse más allá de cierto punto; pero por otro lado se puede dar contexto. Esto es en parte en términos de desarrollo histórico, pero también en cierta medida una explicación de las diferentes actitudes hacia la teoría de categorías.

En la escuela de Grothendieck

Durante la última parte de la década de 1950, se reescribieron los fundamentos de la geometría algebraica; y es aquí donde se encuentran los orígenes del concepto topos. En ese momento las conjeturas de Weil fueron una motivación destacada para la investigación. Como ahora sabemos, la ruta hacia su demostración y otros avances se encuentra en la construcción de la cohomología étale.

Con el beneficio de la retrospectiva, se puede decir que la geometría algebraica ha estado luchando con dos problemas durante mucho tiempo. La primera tenía que ver con sus puntos: en los días de la geometría proyectiva estaba claro que la ausencia de 'suficiente' puntos en una variedad algebraica era una barrera para tener una buena teoría geométrica (en la que era algo así como una variedad compacta). También estaba la dificultad, que quedó clara tan pronto como la topología tomó forma en la primera mitad del siglo XX, de que la topología de las variedades algebraicas tenía 'demasiado pocas' conjuntos abiertos.

La cuestión de los puntos estuvo cerca de resolverse en 1950; Alexander Grothendieck dio un paso radical (invocando el lema de Yoneda) que lo eliminó, naturalmente a un costo, que cada variedad o esquema más general debería convertirse en un funtor. Sin embargo, no era posible agregar conjuntos abiertos. El camino a seguir era otro.

La definición de topos apareció por primera vez de forma un tanto oblicua, alrededor de 1960. Los problemas generales del llamado 'descenso' en la geometría algebraica fueron considerados, en el mismo período en que el grupo fundamental se generalizó a la configuración de la geometría algebraica (como un grupo pro-finito). A la luz de trabajos posteriores (c. 1970), 'descent' forma parte de la teoría de las comonadas; aquí podemos ver una forma en la que la escuela de Grothendieck se bifurca en su enfoque desde el 'puro' teóricos de categorías, tema que es importante para la comprensión de cómo se trató posteriormente el concepto de topos.

Quizás había una ruta más directa disponible: el concepto de categoría abeliana había sido introducido por Grothendieck en su trabajo fundacional sobre álgebra homológica, para unificar categorías de haces de grupos abelianos y de módulos. Se supone que una categoría abeliana está cerrada bajo ciertas operaciones de teoría de categorías; al usar este tipo de definición, uno puede enfocarse completamente en la estructura, sin decir nada sobre la naturaleza de los objetos involucrados. Este tipo de definición se remonta, en una línea, al concepto de celosía de la década de 1930. Era posible preguntarse, alrededor de 1957, por una caracterización puramente teórica de categorías de categorías de haces de conjuntos, habiendo sido subsumido el caso de haces de grupos abelianos por el trabajo de Grothendieck (el papel Tôhoku).

Tal definición de topos finalmente fue dada cinco años después, alrededor de 1962, por Grothendieck y Verdier (ver el seminario de Nicolas Bourbaki de Verdier Analysis Situs). La caracterización se hizo mediante categorías 'con suficientes colímites', y se aplicó a lo que ahora se llama un topos de Grothendieck. La teoría se completó estableciendo que un topos de Grothendieck era una categoría de gavillas, donde ahora la palabra gavilla había adquirido un significado ampliado, ya que se trataba de una topología de Grothendieck.

La idea de una topología de Grothendieck (también conocida como sitio) ha sido caracterizada por John Tate como un atrevido juego de palabras sobre los dos sentidos de la superficie de Riemann. Técnicamente hablando, permitió la construcción de la buscada cohomología étale (así como otras teorías refinadas como la cohomología plana y la cohomología cristalina). En este punto, alrededor de 1964, los desarrollos impulsados por la geometría algebraica habían seguido su curso en gran medida. El 'conjunto abierto' la discusión se había resumido efectivamente en la conclusión de que las variedades tenían un sitio suficientemente rico de conjuntos abiertos en cubiertas no ramificadas de sus (ordinarios) conjuntos abiertos Zariski.

De la teoría de categorías puras a la lógica categórica

La definición actual de topos se remonta a William Lawvere y Myles Tierney. Si bien el momento es muy similar al descrito anteriormente, como cuestión histórica, la actitud es diferente y la definición es más inclusiva. Es decir, hay ejemplos de topos que no son un topos de Grothendieck. Además, estos pueden ser de interés para una serie de disciplinas lógicas.

La definición de Lawvere y Tierney destaca el papel central en la teoría topos del clasificador de subobjetos. En la categoría habitual de conjuntos, este es el conjunto de dos elementos de valores de verdad booleanos, verdadero y falso. Es casi tautólogo decir que los subconjuntos de un conjunto dado X son lo mismo que (tan buenos como) las funciones en X para cualquier conjunto de dos elementos dado: corrija el 'primero' y hacer que un subconjunto Y corresponda a la función que envía Y allí y su complemento en X al otro elemento.

Ahora los clasificadores de subobjetos se pueden encontrar en la teoría de la gavilla. Todavía tautológicamente, aunque ciertamente de forma más abstracta, para un espacio topológico X hay una descripción directa de un haz en X que juega el papel con respecto a todos los haces de conjuntos en X. Su conjunto de secciones sobre un conjunto abierto U de X es solo el conjunto de subconjuntos abiertos de U. El espacio asociado a una gavilla, por ello, es más difícil de describir.

Lawvere y Tierney, por lo tanto, formularon axiomas para un topos que suponían un clasificador de subobjetos y algunas condiciones límite (al menos para hacer una categoría cartesiana cerrada). Durante un tiempo, esta noción de topos se denominó 'topos elemental'.

Una vez que se formuló la idea de una conexión con la lógica, hubo varios desarrollos 'pruebas' la nueva teoría:

• modelos de teoría de conjuntos correspondientes a pruebas de la independencia del axioma de elección e hipótesis continua por el método de forzamiento de Paul Cohen.
• reconocimiento de la conexión con la semántica Kripke, el cuantificador existencial intuitivo y la teoría del tipo intuitionista.
• combinando estos, discusión de la teoría intuitionista de números reales, por modelos de hoja.

Posición de la teoría del topos

Hubo algo de ironía en el hecho de que, al impulsar el programa de largo alcance de David Hilbert, se encontró un hogar natural para las ideas centrales de la lógica intuicionista: Hilbert había detestado la escuela de L. E. J. Brouwer. Existencia como 'local' la existencia en el sentido teórico de la gavilla, ahora con el nombre de semántica de Kripke-Joyal, es una buena combinación. Por otro lado, los largos esfuerzos de Brouwer sobre las "especies", como llamó a la teoría intuicionista de los reales, están presumiblemente subsumidos de alguna manera y privados de un estatus más allá de lo histórico. Hay una teoría de los números reales en cada topos, por lo que nadie domina la teoría intuicionista.

El trabajo posterior sobre la cohomología étale ha tendido a sugerir que no se requiere la teoría general completa del topos. Por otro lado, se utilizan otros sitios, y el topos de Grothendieck ha tomado su lugar dentro del álgebra homológica.

El programa de Lawvere consistía en escribir lógica de orden superior en términos de teoría de categorías. Que esto se puede hacer limpiamente se muestra en el tratamiento del libro de Joachim Lambek y P. J. Scott. Lo que resulta es esencialmente una teoría intuicionista (es decir, lógica constructiva), cuyo contenido se aclara por la existencia de un topos libre. Esa es una teoría de conjuntos, en un sentido amplio, pero también algo perteneciente al ámbito de la sintaxis pura. La estructura de su clasificador de subobjetos es la de un álgebra de Heyting. Para obtener una teoría de conjuntos más clásica, uno puede mirar topos en los que además es un álgebra booleana, o especializarse aún más, en aquellos con solo dos valores de verdad. En ese libro se habla de matemáticas constructivas; pero, de hecho, esto se puede leer como informática fundamental (que no se menciona). Si uno quiere discutir operaciones de teoría de conjuntos, como la formación de la imagen (rango) de una función, se garantiza que un topos podrá expresar esto, de manera totalmente constructiva.

También produjo un derivado más accesible en topología sin sentido, donde el concepto locale aísla algunas ideas encontradas al tratar topos como un desarrollo significativo de topología espacio. El eslogan es 'los puntos vienen después': esto cierra el debate en esta página. El punto de vista está escrito en Stone Spaces de Peter Johnstone, que ha sido llamado por un líder en el campo de la informática 'un tratado sobre extensionalidad'. Lo extensional se trata en matemáticas como ambiente: no es algo sobre lo que los matemáticos realmente esperan tener una teoría. Quizá por eso la teoría del topos ha sido tratada como una rareza; va más allá de lo que permite la forma de pensar tradicionalmente geométrica. Las necesidades de teorías totalmente intensionales, como el cálculo lambda sin tipo, se han satisfecho en la semántica denotacional. La teoría de Topos ha parecido durante mucho tiempo una posible 'teoría maestra'. en esta área.

Resumen

El concepto de topos surge en geometría algebraica, como consecuencia de combinar el concepto de haz y cierre bajo operaciones categóricas. Desempeña un cierto papel definido en las teorías de la cohomología. Una 'aplicación asesina' es cohomología étale.

Los desarrollos posteriores asociados con la lógica son más interdisciplinarios. Incluyen ejemplos basados en la teoría de la homotopía (clasificación de topos). Implican vínculos entre la teoría de categorías y la lógica matemática, y también (como una discusión organizacional de alto nivel) entre la teoría de categorías y la informática teórica basada en la teoría de tipos. Teniendo en cuenta la visión general de Saunders Mac Lane sobre la ubicuidad de los conceptos, esto les da un estatus definido. Olivia Caramello fue pionera en el uso de topos como puentes unificadores en matemáticas en su libro de 2017.