Historia de la teoría de grupos
La historia de la teoría de grupos, un dominio matemático que estudia los grupos en sus diversas formas, ha evolucionado en varios hilos paralelos. Hay tres raíces históricas de la teoría de grupos: la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de los números y la geometría. Joseph Louis Lagrange, Niels Henrik Abel y Évariste Galois fueron los primeros investigadores en el campo de la teoría de grupos.
Principios del siglo XIX
El estudio más antiguo de los grupos como tales probablemente se remonta al trabajo de Lagrange a fines del siglo XVIII. Sin embargo, este trabajo fue algo aislado, y las publicaciones de 1846 de Augustin Louis Cauchy y Galois se conocen más comúnmente como el comienzo de la teoría de grupos. La teoría no se desarrolló en el vacío, por lo que aquí se desarrollan tres hilos importantes en su prehistoria.
Desarrollo de grupos de permutación
Una raíz fundamental de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4.
Una fuente temprana ocurre en el problema de formar una ecuación de grado m que tiene como raíces m de las raíces de una ecuación de grado dada 
Lagrange (1770, 1771) encontró un fundamento común para la teoría de ecuaciones sobre la base del grupo de permutaciones, y sobre este se construyó la teoría de las sustituciones. Descubrió que las raíces de todos los resolventes (résolvantes, réduites) que examinó son funciones racionales de las raíces de las respectivas ecuaciones. Para estudiar las propiedades de estas funciones, inventó un Calcul des Combinaisons. El trabajo contemporáneo de Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) también presagiaba la próxima teoría.
Paolo Ruffini (1799) intentó una demostración de la imposibilidad de resolver las ecuaciones quínticas y superiores. Ruffini distinguió lo que ahora se llama grupos intransitivos y transitivos, imprimitivos y primitivos, y (1801) usa el grupo de una ecuación bajo el nombre l'assieme delle permutazioni. También publicó una carta de Pietro Abbati a sí mismo, en la que destaca la idea del grupo.
Galois descubrió que si 
- toda función de las raíces invariable por las sustituciones del grupo es racionalmente conocida, y
- a la inversa, toda función racionalmente determinable de las raíces es invariante bajo las sustituciones del grupo.
En términos modernos, la solucionabilidad del grupo de Galois adjunto a la ecuación determina la solucionabilidad de la ecuación con radicales.
Galois es el primero en utilizar las palabras grupo (groupe en francés) y primitivo en sus significados modernos. No utilizó un grupo primitivo, sino que llamó ecuación primitiva a una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo. Descubrió la noción de subgrupos normales y descubrió que un grupo primitivo soluble puede identificarse con un subgrupo del grupo afín de un espacio afín sobre un campo finito de orden primo.
Galois también contribuyó a la teoría de las ecuaciones modulares ya la de las funciones elípticas. Su primera publicación sobre teoría de grupos se realizó a la edad de dieciocho años (1829), pero sus contribuciones atrajeron poca atención hasta la publicación de sus artículos completos en 1846 (Liouville, Vol. XI). Galois es honrado como el primer matemático que vincula la teoría de grupos y la teoría de campos, con la teoría que ahora se llama teoría de Galois.
Los grupos similares a los grupos de Galois se denominan (hoy) grupos de permutación, un concepto investigado en particular por Cauchy. Varios teoremas importantes en la teoría de grupos temprana se deben a Cauchy. Arthur Cayley's Sobre la teoría de grupos, como dependiendo de la ecuación simbólica (1854) da la primera definición abstracta de grupos finitos.
Grupos relacionados con la geometría
En segundo lugar, el uso sistemático de grupos en geometría, principalmente en forma de grupos de simetría, fue iniciado por el programa Erlangen de Felix Klein de 1872. El estudio de los ahora llamados grupos de Lie comenzó sistemáticamente en 1884 con Sophus Lie, seguido por el trabajo de Wilhelm Killing, Eduard Study, Issai Schur, Ludwig Maurer y Élie Cartan. La teoría discontinua (grupo discreto) fue desarrollada por Klein, Lie, Henri Poincaré y Charles Émile Picard, en relación en particular con las formas modulares y la monodromía.
Aparición de grupos en teoría de números
La tercera raíz de la teoría de grupos fue la teoría de números. Ciertas estructuras de grupos abelianos se habían utilizado implícitamente en el trabajo teórico de números de Carl Friedrich Gauss y, más explícitamente, de Leopold Kronecker. Los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat dieron como resultado el trabajo de Ernst Kummer que introdujo grupos que describían la factorización en números primos.
Convergencia
Serret popularizó la teoría de grupos como un tema cada vez más independiente, quien dedicó la sección IV de su álgebra a la teoría; por Camille Jordan, cuyo Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) es un clásico; ya Eugen Netto (1882), cuya Teoría de las sustituciones y sus aplicaciones al álgebra fue traducida al inglés por Cole (1892). Otros teóricos de grupos del siglo XIX fueron Joseph Louis François Bertrand, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker y Émile Mathieu; así como William Burnside, Leonard Eugene Dickson, Otto Hölder, EH Moore, Ludwig Sylow y Heinrich Martin Weber.
La convergencia de las tres fuentes anteriores en una teoría uniforme comenzó con el Traité de Jordan y Walther von Dyck (1882), quienes definieron por primera vez un grupo en el sentido moderno completo. Los libros de texto de Weber y Burnside ayudaron a establecer la teoría de grupos como disciplina. La formulación de grupo abstracto no se aplicó a una gran parte de la teoría de grupos del siglo XIX, y se dio un formalismo alternativo en términos de álgebras de Lie.
Finales del siglo XIX
Los grupos en el período 1870-1900 se describieron como los grupos continuos de Lie, los grupos discontinuos, los grupos finitos de sustituciones de raíces (que gradualmente se denominan permutaciones) y los grupos finitos de sustituciones lineales (generalmente de campos finitos). Durante el período 1880-1920, los grupos descritos por presentaciones cobraron vida propia a través del trabajo de Cayley, Walther von Dyck, Max Dehn, Jakob Nielsen, Otto Schreier, y continuaron en el período 1920-1940 con el trabajo de HSM. Coxeter, Wilhelm Magnus y otros para formar el campo de la teoría de grupos combinatoria.
Los grupos finitos en el período 1870-1900 vieron aspectos destacados como los teoremas de Sylow, la clasificación de Hölder de grupos de orden libre de cuadrados y los primeros comienzos de la teoría del carácter de Frobenius. Ya en 1860, los grupos de automorfismos de los planos proyectivos finitos habían sido estudiados (por Mathieu), y en la década de 1870 la visión de la geometría de la teoría de grupos de Klein se estaba realizando en su programa de Erlangen. Los grupos de automorfismos de espacios proyectivos de dimensiones superiores fueron estudiados por Jordan en su Traitée incluyó series de composición para la mayoría de los llamados grupos clásicos, aunque evitó los campos no primos y omitió los grupos unitarios. Moore y Burnside continuaron el estudio, y Leonard Dickson lo llevó a la forma de un libro de texto completo en 1901. Jordan enfatizó el papel de los grupos simples, y Hölder desarrolló criterios para la no simplicidad hasta que pudo clasificar los grupos simples. de orden inferior a 200. El estudio fue continuado por Frank Nelson Cole (hasta 660) y Burnside (hasta 1092), y finalmente en un "proyecto del milenio" temprano, hasta 2001 por Miller y Ling en 1900.
Los grupos continuos en el período 1870-1900 se desarrollaron rápidamente. Se publicaron los artículos fundacionales de Killing y Lie, el teorema de Hilbert en teoría invariante en 1882, etc.
Principios del siglo 20
En el período 1900-1940, infinitos grupos "discontinuos" (ahora llamados grupos discretos) ganaron vida propia. El famoso problema de Burnside marcó el comienzo del estudio de subgrupos arbitrarios de grupos lineales de dimensión finita sobre campos arbitrarios y, de hecho, grupos arbitrarios. Los grupos fundamentales y los grupos de reflexión alentaron los desarrollos de JA Todd y Coxeter, como el algoritmo Todd-Coxeter en la teoría de grupos combinatorios. Los grupos algebraicos, definidos como soluciones de ecuaciones polinómicas (en lugar de actuar sobre ellas, como en el siglo anterior), se beneficiaron enormemente de la teoría continua de Lie. Bernard Neumann y Hanna Neumann produjeron su estudio de variedades de grupos, grupos definidos por ecuaciones teóricas de grupo en lugar de polinomios.
Los grupos continuos también tuvieron un crecimiento explosivo en el período 1900-1940. Los grupos topológicos comenzaron a estudiarse como tales. Hubo muchos grandes logros en grupos continuos: la clasificación de Cartan de álgebras de Lie semisimples, la teoría de representaciones de grupos compactos de Hermann Weyl, el trabajo de Alfréd Haar en el caso localmente compacto.
Los grupos finitos en el 1900-1940 crecieron inmensamente. Este período fue testigo del nacimiento de la teoría del carácter de Frobenius, Burnside y Schur, que ayudó a responder muchas de las preguntas del siglo XIX en los grupos de permutación y abrió el camino a técnicas completamente nuevas en grupos finitos abstractos. Este período vio el trabajo de Philip Hall: sobre una generalización del teorema de Sylow a conjuntos arbitrarios de números primos que revolucionaron el estudio de grupos solubles finitos, y sobre la estructura del conmutador de potencia de los p-grupos, incluidas las ideas de p-grupos regulares y isoclinismo de grupos, que revolucionó el estudio de los grupos p y fue el primer resultado importante en esta área desde Sylow. Este período vio el famoso teorema de Schur-Zassenhaus de Hans Zassenhaus sobre la existencia de complementos a la generalización de Hall de los subgrupos de Sylow,
Mediados del siglo XX
Posteriormente creció tanto la profundidad como la amplitud y también el impacto de la teoría de grupos. El dominio comenzó a ramificarse en áreas como grupos algebraicos, extensiones de grupos y teoría de la representación. A partir de la década de 1950, en un gran esfuerzo de colaboración, los teóricos de grupos lograron clasificar todos los grupos simples finitos en 1982. Completar y simplificar la prueba de la clasificación son áreas de investigación activa.
Anatoly Maltsev también hizo importantes contribuciones a la teoría de grupos durante este tiempo; sus primeros trabajos fueron en lógica en la década de 1930, pero en la década de 1940 demostró importantes propiedades de incorporación de semigrupos en grupos, estudió el problema del isomorfismo de los anillos de grupo, estableció la correspondencia de Malçev para grupos policíclicos y en la década de 1960 volvió a la lógica probando varias teorías. dentro del estudio de los grupos a ser indecidible. Anteriormente, Alfred Tarski demostró que la teoría elemental de grupos es indecidible.
El período de 1960 a 1980 fue de entusiasmo en muchas áreas de la teoría de grupos.
En grupos finitos, hubo muchos hitos independientes. Uno tuvo el descubrimiento de 22 nuevos grupos esporádicos y la finalización de la primera generación de la clasificación de grupos finitos simples. Uno tuvo la influyente idea del subgrupo de Carter, y la posterior creación de la teoría de la formación y la teoría de las clases de grupos. Uno tenía las notables extensiones de la teoría de Clifford de Green a los módulos indescomponibles de las álgebras de grupos. Durante esta era, el campo de la teoría computacional de grupos se convirtió en un campo de estudio reconocido, debido en parte a su tremendo éxito durante la clasificación de primera generación.
En grupos discretos, los métodos geométricos de Jacques Tits y la disponibilidad de la sobreyectividad del mapa de Serge Lang permitieron una revolución en los grupos algebraicos. El problema de Burnside tuvo un progreso tremendo, con mejores contraejemplos construidos en la década de 1960 y principios de la de 1980, pero los toques finales "para todos menos para muchos" no se completaron hasta la década de 1990. El trabajo sobre el problema de Burnside aumentó el interés en las álgebras de Lie en el exponente p, y los métodos de Michel Lazard comenzaron a tener un impacto más amplio, especialmente en el estudio de los grupos p.
Los grupos continuos se ampliaron considerablemente, y las preguntas analíticas p -ádicas se volvieron importantes. Se hicieron muchas conjeturas durante este tiempo, incluidas las conjeturas de coclase.
Finales del siglo XX
Los últimos veinte años del siglo XX disfrutaron de los éxitos de más de cien años de estudio de la teoría de grupos.
En grupos finitos, los resultados de la clasificación posterior incluyeron el teorema de O'Nan-Scott, la clasificación de Aschbacher, la clasificación de grupos finitos transitivos múltiples, la determinación de los subgrupos máximos de los grupos simples y las clasificaciones correspondientes de grupos primitivos. En geometría finita y combinatoria, ahora se podrían resolver muchos problemas. La teoría de la representación modular entró en una nueva era a medida que se axiomatizaban las técnicas de la clasificación, incluyendo los sistemas de fusión, la teoría de los pares de Luis Puig y los bloques nilpotentes. La teoría de los grupos solubles finitos también fue transformada por el influyente libro de Klaus Doerk y Trevor Hawkes, que llevó la teoría de los proyectores e inyectores a un público más amplio.
En grupos discretos, varias áreas de la geometría se unieron para producir campos nuevos y emocionantes. El trabajo sobre la teoría de nudos, los orbifolds, las variedades hiperbólicas y los grupos que actúan sobre los árboles (la teoría de Bass-Serre), animó mucho el estudio de los grupos hiperbólicos, los grupos automáticos. Preguntas como la conjetura de geometrización de William Thurston de 1982, inspiraron técnicas completamente nuevas en la teoría de grupos geométricos y la topología de baja dimensión, y estuvo involucrada en la solución de uno de los Problemas del Premio del Milenio, la conjetura de Poincaré.
Los grupos continuos vieron la solución al problema de escuchar la forma de un tambor en 1992 utilizando grupos de simetría del operador laplaciano. Se aplicaron técnicas continuas a muchos aspectos de la teoría de grupos utilizando espacios de funciones y grupos cuánticos. Muchos problemas de los siglos XVIII y XIX se revisan ahora en este marco más general, y muchas preguntas en la teoría de las representaciones de grupos tienen respuestas.
Hoy dia
La teoría de grupos sigue siendo un tema intensamente estudiado. Su importancia para las matemáticas contemporáneas en su conjunto puede verse en el Premio Abel 2008, otorgado a John Griggs Thompson y Jacques Tits por sus contribuciones a la teoría de grupos.
Contenido relacionado
Casco convexo
Número trascendental
Hormiga de langton