Historia de la gravedad cuántica de bucles.

La historia de la gravedad cuántica de bucles abarca más de tres décadas de intensa investigación.

Historia

Teorías clásicas de la gravedad

La relatividad general es la teoría de la gravitación publicada por Albert Einstein en 1915. Según ella, la fuerza de la gravedad es una manifestación de la geometría local del espacio-tiempo. Matemáticamente, la teoría sigue el modelo de la geometría métrica de Bernhard Riemann, pero el grupo de simetrías del espacio-tiempo de Lorentz (un ingrediente esencial de la propia teoría de la relatividad especial de Einstein) reemplaza al grupo de simetrías rotacionales del espacio. (Más tarde, la gravedad cuántica de bucles heredó esta interpretación geométrica de la gravedad y postula que una teoría cuántica de la gravedad es fundamentalmente una teoría cuántica del espacio-tiempo).

En la década de 1920, el matemático francés Élie Cartan formuló la teoría de Einstein en el lenguaje de paquetes y conexiones, una generalización de la geometría Riemanniana a la que Cartan hizo importantes contribuciones. La llamada teoría de la gravedad de Einstein-Cartan no sólo reformulada sino también generalizada relatividad general, y permite tiempo de espacio con torsión y curvatura. En la geometría de paquetes de Cartan, el concepto de transporte paralelo es más fundamental que el de distancia, la pieza central de la geometría Riemanniana. Un cambio conceptual similar ocurre entre el intervalo invariante de la relatividad general de Einstein y el transporte paralelo de la teoría Einstein-Cartan.

Redes giratorias

En 1971, el físico Roger Penrose exploró la idea de que el espacio surgía de una estructura combinatoria cuántica. Sus investigaciones dieron como resultado el desarrollo de redes de espín. Como se trataba de una teoría cuántica del grupo rotacional y no del grupo de Lorentz, Penrose pasó a desarrollar twistores.

Gravedad cuántica en bucle

En 1982, Amitabha Sen intentó formular una formulación hamiltoniana de la relatividad general basada en variables espinoriales, donde estas variables son los componentes espinoriales izquierdo y derecho equivalentes de la conexión Einstein-Cartan de la relatividad general. En particular, Sen descubrió una nueva forma de escribir las dos restricciones de la formulación hamiltoniana de la relatividad general de ADM en términos de estas conexiones espinoriales. En su forma, las restricciones son simplemente condiciones de que la curvatura espinorial de Weyl sea libre de trazas y simétrica. También descubrió la presencia de nuevas restricciones que sugirió interpretar como el equivalente de la restricción de Gauss de las teorías de campo de Yang-Mills. Pero el trabajo de Sen no logró ofrecer una teoría sistemática completamente clara y, en particular, no logró discutir claramente los momentos conjugados de las variables espinoriales, su interpretación física y su relación con la métrica (en su trabajo indicó esto como una especie de lambda). variable).

En 1986-87, el físico Abhay Ashtekar completó el proyecto que comenzó Amitabha Sen. Identificó claramente las variables conjugadas fundamentales de la gravedad espinorial: la variable de configuración es una conexión espinoral (una regla para el transporte paralelo; técnicamente, una conexión) y la variable de momento conjugado es un sistema de coordenadas (llamado vierbein) en cada punto. Así que estas variables se convirtieron en lo que conocemos como variables de Ashtekar, una versión particular de la teoría de Einstein-Cartan con una conexión compleja. La teoría de la relatividad general expresada de esta manera hizo posible su cuantificación utilizando técnicas bien conocidas de la teoría de campos de calibre cuántico.

La cuantificación de la gravedad en la formulación de Ashtekar se basó en los bucles de Wilson, una técnica desarrollada por Kenneth G. Wilson en 1974 para estudiar el régimen de interacción fuerte de la cromodinámica cuántica (QCD). Es interesante a este respecto que se sabía que los bucles de Wilson se comportaban mal en el caso de la teoría cuántica de campos estándar en el espacio (plano) de Minkowski y, por tanto, no proporcionaban una cuantificación no perturbativa de QCD. Sin embargo, debido a que la formulación de Ashtekar era independiente del fondo, fue posible utilizar bucles de Wilson como base para la cuantificación no perturbativa de la gravedad.

Gracias a los esfuerzos de Sen y Ashtekar, se obtuvo un entorno en el que la ecuación de Wheeler-DeWitt se escribió en términos de un operador hamiltoniano bien definido en un espacio de Hilbert bien definido. Esto llevó a la construcción de la primera solución exacta conocida, la llamada forma Chern-Simons o estado Kodama. La interpretación física de este estado sigue siendo oscura.

En 1988-90, Carlo Rovelli y Lee Smolin obtuvieron una base explícita de los estados de la geometría cuántica, que resultó estar etiquetada por las redes de espín de Penrose. En este contexto, las redes de espín surgieron como una generalización de los bucles de Wilson necesaria para tratar con bucles que se cruzan entre sí. Matemáticamente, las redes de espín están relacionadas con la teoría de la representación de grupos y pueden usarse para construir invariantes de nudos como el polinomio de Jones. La gravedad cuántica de bucles (LQG) se relacionó así con la teoría de campos cuánticos topológicos y la teoría de representación de grupos.

En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociada al área y al volumen tienen un espectro discreto. Después de esto, el trabajo sobre el límite semiclásico, el límite del continuo y la dinámica fue intenso, pero el progreso fue más lento.

En el frente del límite semiclásico, el objetivo es obtener y estudiar análogos de los estados coherentes del oscilador armónico (los candidatos se conocen como estados de tejido).

Dinámica hamiltoniana

LQG se formuló inicialmente como una cuantificación del formalismo ADM hamiltoniano, según el cual las ecuaciones de Einstein son una colección de restricciones (Gauss, difeomorfismo y hamiltoniana). La cinemática está codificada en las restricciones de Gauss y Diffeomorfismo, cuya solución es el espacio abarcado por la base de la red de espín. El problema es definir la restricción hamiltoniana como un operador autoadjunto en el espacio de estados cinemático. El trabajo más prometedor en esta dirección es el Proyecto Phoenix de Thomas Thiemann.

Dinámica covariante

Gran parte del trabajo reciente en LQG se ha realizado en la formulación covariante de la teoría, llamada "teoría de la espuma de espín". La versión actual de la dinámica covariante se debe al trabajo convergente de diferentes grupos, pero comúnmente recibe el nombre de un artículo de Jonathan Engle, Roberto Pereira y Carlo Rovelli de 2007-2008. Heurísticamente, se esperaría que la evolución entre los estados de las redes de espín pudiera describirse mediante operaciones combinatorias discretas en las redes de espín, que luego trazarían un esqueleto bidimensional del espacio-tiempo. Este enfoque está relacionado con los modelos de suma de estados de la mecánica estadística y la teoría de campos cuánticos topológicos, como el modelo Turaeev-Viro de gravedad cuántica 3D, y también con el enfoque del cálculo de Regge para calcular la integral de trayectoria de Feynman de la relatividad general discretizando el espacio-tiempo.