Hipótesis del continuo

En matemáticas, la hipótesis del continuo (abreviado CH) es una hipótesis sobre los posibles tamaños de conjuntos infinitos. Se afirma que

no hay un conjunto cuyo cardenalismo es estrictamente entre el de los enteros y los números reales,

o equivalentemente, que

cualquier subconjunto de los números reales es finito, es contablemente infinito, o tiene la misma cardinalidad que los números reales.

En Zermelo–Fraenkel establecer teoría con el axioma de elección (ZFC), esto es equivalente a la siguiente ecuación en números aleph: 2א א 0=א א 1{displaystyle 2^{aleph ¿Qué? ¿Qué?, o incluso más corto con números de litera: .. 1=א א 1{displaystyle beth _{1}=aleph ¿Qué?.

La hipótesis del continuo fue propuesta por Georg Cantor en 1878, y establecer su verdad o falsedad es el primero de los 23 problemas de Hilbert presentados en 1900. La respuesta a este problema es independiente de ZFC, de modo que el continuo La hipótesis o su negación se pueden agregar como un axioma a la teoría de conjuntos ZFC, siendo la teoría resultante consistente si y solo si ZFC es consistente. Esta independencia fue probada en 1963 por Paul Cohen, complementando el trabajo anterior de Kurt Gödel en 1940.

El nombre de la hipótesis proviene del término el continuo para los números reales.

Historia

Cantor creía que la hipótesis del continuo era cierta y durante muchos años trató en vano de probarla. Se convirtió en el primero de la lista de preguntas abiertas importantes de David Hilbert que se presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en el año 1900 en París. La teoría axiomática de conjuntos aún no estaba formulada en ese momento. Kurt Gödel demostró en 1940 que la negación de la hipótesis del continuo, es decir, la existencia de un conjunto con cardinalidad intermedia, no podía probarse en la teoría de conjuntos estándar. La segunda mitad de la independencia de la hipótesis del continuo, es decir, la indemostrabilidad de la inexistencia de un conjunto de tamaño intermedio, fue probada en 1963 por Paul Cohen.

Cardinalidad de conjuntos infinitos

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o número cardinal si existe una biyección (una correspondencia uno a uno) entre ellos. Intuitivamente, que dos conjuntos S y T tengan la misma cardinalidad significa que es posible "emparejar" elementos de S con elementos de T de tal manera que cada elemento de S se empareja con exactamente un elemento de T y viceversa. Por tanto, el conjunto {plátano, manzana, pera} tiene la misma cardinalidad que {amarillo, rojo, verde}.

Con conjuntos infinitos como el conjunto de los números enteros o los números racionales, la existencia de una biyección entre dos conjuntos se vuelve más difícil de demostrar. Los números racionales aparentemente forman un contraejemplo de la hipótesis del continuo: los números enteros forman un subconjunto propio de los números racionales, que a su vez forman un subconjunto propio de los números reales, por lo que, intuitivamente, hay más números racionales que números enteros y más números reales que números racionales. Sin embargo, este análisis intuitivo es defectuoso; no tiene debidamente en cuenta el hecho de que los tres conjuntos son infinitos. Resulta que los números racionales en realidad se pueden colocar en correspondencia biunívoca con los enteros y, por lo tanto, el conjunto de números racionales tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que el conjunto de enteros: son ambos conjuntos contables.

Cantor dio dos pruebas de que la cardinalidad del conjunto de números enteros es estrictamente menor que la del conjunto de números reales (consulte la primera prueba de incontabilidad de Cantor y el argumento diagonal de Cantor). Sin embargo, sus demostraciones no dan ninguna indicación de hasta qué punto la cardinalidad de los números enteros es menor que la de los números reales. Cantor propuso la hipótesis del continuo como una posible solución a esta pregunta.

La hipótesis continuum afirma que el conjunto de números reales tiene un mínimo posible cardenalidad que es mayor que la cardinalidad del conjunto de enteros. Es decir, cada conjunto, S, de números reales puede ser mapeado uno a uno en los números enteros o los números reales pueden ser mapeados uno a uno en S. Como los números reales son equinumerosos con la potencia de los enteros, SilencioRSilencio=2א א 0{fnMicrosoft} - Sí. y la hipótesis continua dice que no hay conjunto S{displaystyle S. para la cual <math alttext="{displaystyle aleph _{0}<|S|א א 0.SilencioSSilencio.2א א 0{displaystyle aleph _{0} obedeció:2^{aleph - Sí.<img alt="{displaystyle aleph _{0}<|S|.

Asumiendo el axioma de elección, hay un número cardenal más pequeño único א א 1{displaystyle aleph _{1} más grande que א א 0{displaystyle aleph _{0}, y la hipótesis continua es a su vez equivalente a la igualdad 2א א 0=א א 1{displaystyle 2^{aleph ¿Qué? ¿Qué?.

Independencia de ZFC

La independencia de la hipótesis del continuo (CH) de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se deriva del trabajo combinado de Kurt Gödel y Paul Cohen.

Gödel demostró que CH no se puede refutar de ZF, incluso si se adopta el axioma de elección (AC) (haciendo ZFC). La prueba de Gödel muestra que tanto CH como AC se mantienen en el universo construible L, un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF, asumiendo solo los axiomas de ZF. La existencia de un modelo interno de ZF en el que se cumplen axiomas adicionales muestra que los axiomas adicionales son consistentes con ZF, siempre que ZF mismo sea consistente. La última condición no puede probarse en ZF en sí, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel, pero se cree que es cierta y puede probarse en teorías de conjuntos más sólidas.

Cohen demostró que CH no se puede probar a partir de los axiomas de ZFC, completando la prueba de independencia general. Para probar su resultado, Cohen desarrolló el método de forzamiento, que se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de conjuntos. Esencialmente, este método comienza con un modelo de ZF en el que se cumple CH y construye otro modelo que contiene más conjuntos que el original, de manera que CH no se cumple en el nuevo modelo. Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su prueba.

La prueba de independencia acaba de describir muestra que CH es independiente de ZFC. Further research has shown that CH is independent of all known grandes axiomas cardenales en el contexto de ZFC. Además, se ha demostrado que la cardenalidad del continuum puede ser cualquier cardenal compatible con el teorema de König. Un resultado de Solovay, probado poco después del resultado de Cohen sobre la independencia de la hipótesis continua, muestra que en cualquier modelo de ZFC, si κ κ {displaystyle kappa } es un cardenal de cofinalidad incontable, entonces hay una extensión forzando en la cual 2א א 0=κ κ {displaystyle 2^{aleph ¿Qué?. Sin embargo, por el teorema de König, no es consistente en asumir 2א א 0{displaystyle 2^{aleph - Sí. es א א ⋅ ⋅ {displaystyle aleph _{omega } o א א ⋅ ⋅ 1+⋅ ⋅ {displaystyle aleph _{omega - ¿Qué? o cualquier cardenal con cofinalidad ⋅ ⋅ {displaystyle omega }.

La hipótesis del continuo está estrechamente relacionada con muchas declaraciones en el análisis, la topología de conjuntos de puntos y la teoría de la medida. Como resultado de su independencia, se ha demostrado posteriormente que muchas conjeturas sustanciales en esos campos también son independientes.

La independencia de ZFC significa que es imposible probar o refutar el CH dentro de ZFC. Sin embargo, los resultados negativos de Gödel y Cohen no se aceptan universalmente como eliminadores de todo interés en la hipótesis del continuo. El problema de Hilbert sigue siendo un tema activo de investigación; consulte Woodin y Peter Koellner para obtener una descripción general del estado actual de la investigación.

La hipótesis del continuo no fue la primera afirmación que demostró ser independiente de ZFC. Una consecuencia inmediata del teorema de incompletitud de Gödel, que se publicó en 1931, es que existe una declaración formal (una para cada esquema de numeración de Gödel apropiado) que expresa la consistencia de ZFC que es independiente de ZFC, asumiendo que ZFC es consistente.. La hipótesis del continuo y el axioma de elección estuvieron entre los primeros enunciados matemáticos que demostraron ser independientes de la teoría de conjuntos ZF.

Argumentos a favor y en contra de la hipótesis del continuo

Gödel creía que CH es falso, y que su prueba de que CH es consistente con ZFC solo muestra que los axiomas de Zermelo-Fraenkel no caracterizan adecuadamente el universo de conjuntos. Gödel era un platónico y, por lo tanto, no tuvo problemas para afirmar la verdad y la falsedad de las declaraciones independientemente de su demostrabilidad. Cohen, aunque formalista, también tendía a rechazar a CH.

Históricamente, los matemáticos que favorecían un "rico" y "grande" universo de conjuntos estaban en contra de CH, mientras que aquellos a favor de un "limpio" y "controlable" universo favoreció a CH. Se hicieron argumentos paralelos a favor y en contra del axioma de constructibilidad, que implica CH. Más recientemente, Matthew Foreman ha señalado que el maximalismo ontológico en realidad se puede usar para argumentar a favor de CH, porque entre los modelos que tienen los mismos reales, los modelos con "más" conjuntos de reales tienen una mejor oportunidad de satisfacer CH.

Otro punto de vista es que la concepción de conjunto no es lo suficientemente específica para determinar si CH es verdadero o falso. Este punto de vista fue propuesto ya en 1923 por Skolem, incluso antes del primer teorema de incompletitud de Gödel. Skolem argumentó sobre la base de lo que ahora se conoce como la paradoja de Skolem, y luego se apoyó en la independencia de CH de los axiomas de ZFC ya que estos axiomas son suficientes para establecer las propiedades elementales de conjuntos y cardinalidades. Para argumentar en contra de este punto de vista, sería suficiente demostrar nuevos axiomas que se apoyen en la intuición y resuelvan CH en una u otra dirección. Aunque el axioma de constructibilidad resuelve CH, generalmente no se considera que sea intuitivamente verdadero más de lo que generalmente se considera que CH es falso.

Se han propuesto al menos otros dos axiomas que tienen implicaciones para la hipótesis del continuo, aunque actualmente estos axiomas no han encontrado una amplia aceptación en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling presentó un argumento en contra de CH al mostrar que la negación de CH es equivalente al axioma de simetría de Freiling, una declaración derivada de argumentar a partir de intuiciones particulares acerca de las probabilidades. Freiling cree que este axioma es "intuitivamente cierto" pero otros no han estado de acuerdo.

Un argumento difícil contra CH desarrollado por W. Hugh Woodin ha atraído considerable atención desde el año 2000. Foreman no rechaza el argumento de Woodin de antemano, pero pide precaución. Woodin propuso una nueva hipótesis que etiquetaba la (*)-axioma", o "Star axiom". El axioma estrella implicaría que 2א א 0{displaystyle 2^{aleph - Sí. es א א 2{displaystyle aleph _{2}, falsificando a CH. El axioma estrella fue reforzado por una prueba independiente mayo 2021 que muestra el axioma estrella puede derivarse de una variación del máximo de Martin. Sin embargo, Woodin declaró en los 2010s que ahora cree que CH es verdad, basado en su creencia en su nueva conjetura "última L".

Solomon Feferman ha argumentado que CH no es un problema matemático definido. Propone una teoría de la "definición" usando un subsistema semi-intuitionista de ZF que acepta la lógica clásica para cuantificadores ligados pero utiliza la lógica intuitionista para los no abundados, y sugiere que una proposición φ φ {displaystyle phi } es matemáticamente "definido" si la teoría semi-intuitionista puede probar ()φ φ Alternativa Alternativa ¬ ¬ φ φ ){displaystyle (phi lor neg phi)}. Conjetura que CH no es definido según esta noción, y propone que CH debe, por lo tanto, ser considerado no tener un valor de verdad. Peter Koellner escribió un comentario crítico sobre el artículo de Feferman.

Joel David Hamkins propone un enfoque multiverso para la teoría de conjuntos y argumenta que "la hipótesis del continuo se establece en la visión del multiverso por nuestro amplio conocimiento sobre cómo se comporta en el multiverso y, como resultado, no puede ya no se resolverá de la manera que antes se esperaba&". En una vena relacionada, Saharon Shelah escribió que no está de acuerdo con la visión platónica pura de que los problemas interesantes en la teoría de conjuntos se pueden resolver, que solo tenemos que descubrir el axioma adicional. Mi imagen mental es que tenemos muchas teorías de conjuntos posibles, todas conformes a ZFC".

La hipótesis del continuo generalizado

El hipótesis continuum generalizada (GCH) afirma que si la cardinalidad de un conjunto infinito se encuentra entre la de un conjunto infinito S y el del sistema de poder P()S){displaystyle {mathcal {}(S)} de S, entonces tiene la misma cardenalidad que cualquiera S o P()S){displaystyle {mathcal {}(S)}. Es decir, para cualquier cardenal infinito λ λ {displaystyle lambda } no hay cardenal κ κ {displaystyle kappa } tales que <math alttext="{displaystyle lambda <kappa λ λ .κ κ .2λ λ {displaystyle lambda }<img alt="{displaystyle lambda <kappa . GCH es equivalente a:

א א α α +1=2א א α α {displaystyle aleph _{alpha +1}=2^{aleph _{alpha } para cada ordinal α α {displaystyle alpha } (ocasionalmente llamado Hipótesis aleph de Cantor).

Los números beth proporcionan una notación alternativa para esta condición: א א α α =.. α α {displaystyle aleph _{alpha }=beth _{alpha } para cada ordinal α α {displaystyle alpha }. La hipótesis continua es el caso especial para la ordinal α α =1{displaystyle alpha =1}. El GCH fue sugerido por Philip Jourdain. Para la historia temprana de GCH, vea Moore.

Al igual que CH, GCH es también independiente de ZFC, pero Sierpiński demostró que ZF + GCH implica el axioma de elección (AC) (y por lo tanto la negación del axioma de determinación, AD), por lo que la elección y el GCH no son independientes en ZF; no hay modelos de ZF en los que el GCH sostiene y el AC falla. Para probar esto, Sierpiński mostró GCH implica que cada cardenalidad n es menor que un número de aleph, y por lo tanto se puede ordenar. Esto se hace mostrando que n es más pequeño que 2א א 0+n{displaystyle 2^{aleph ¿Qué? que es menor que su propio número de Hartogs, esto utiliza la igualdad 2א א 0+n=2⋅ ⋅ 2א א 0+n{displaystyle 2^{aleph ¿Por qué? ¿Qué?; para la prueba completa, vea Gillman.

Kurt Gödel mostró que GCH es una consecuencia de ZF + V=L (el axioma que cada conjunto es constructible relativo a los ordinals), y por lo tanto es consistente con ZFC. Como GCH implica CH, el modelo de Cohen en el que falla CH es un modelo en el que falla GCH, y por lo tanto GCH no es provable de ZFC. W. B. Easton utilizó el método de forzar desarrollado por Cohen para probar el teorema de Easton, que muestra que es consistente con ZFC para cardenales arbitrariamente grandes א א α α {displaystyle aleph _{alpha } no satisfacer 2א א α α =א א α α +1{displaystyle 2^{aleph _{alpha }=aleph _{alpha #. Mucho más tarde, Foreman y Woodin probaron que (asumiendo la consistencia de cardenales muy grandes) es consistente que kappa ^{+}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2κ κ ■κ κ +{displaystyle 2^{kappa }kappa }kappa^+" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fb843257569707ac987fe91d3f4f10cfe3dfc5" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.29ex; height:2.509ex;"/> para cada cardenal infinito κ κ {displaystyle kappa }. Posteriormente Woodin extendió esto mostrando la consistencia de 2κ κ =κ κ ++{displaystyle 2^{kappa }=kappa ^{++} para todos κ κ {displaystyle kappa }. Carmi Merimovich mostró eso, para cada n≥ 1, es consistente con ZFC que para cada κ, 2^κ es nsucesor de κ. Por otro lado, László Patai demostró que si γ es un ordinal y para cada cardenal infinito κ, 2^κ es el sucesor γth de κ, luego γ es finito.

Para cualquier conjunto infinito A y B, si hay una inyección de A a B hay una inyección de subconjuntos de A a subconjuntos de B. Así para cualquier cardenal infinito A y B, <math alttext="{displaystyle AA.B→ → 2A≤ ≤ 2B{displaystyle A selectedBto 2^{A}leq 2^{B}<img alt="{displaystyle A. Si A y B son finitos, la desigualdad más fuerte <math alttext="{displaystyle A<Bto 2^{A}A.B→ → 2A.2B{displaystyle A selectedBto 2^{A}traducido2}<img alt="{displaystyle A<Bto 2^{A} sostiene. GCH implica que esta estricta y más fuerte desigualdad sostiene tanto para cardenales infinitos como para cardenales finitos.

Implicaciones de GCH para la exponenciación cardinal

Aunque la hipótesis continuum generalizada se refiere directamente sólo a la exponencia cardenal con 2 como base, se puede deducir de ella los valores de la exponencia cardenal א א α α א א β β {displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta } en todos los casos. GCH implies that:

א א α α א א β β =א א β β +1{displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta }=aleph _{beta # cuando α ≤ β+1;

א א α α א א β β =א א α α {displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta }=aleph _{alpha } cuando β+1 α y <math alttext="{displaystyle aleph _{beta }א א β β .cf⁡ ⁡ ()א א α α ){displaystyle aleph _{beta - No.<img alt="aleph _{beta }, donde cf es la operación de cofinalidad; y

א א α α א א β β =א א α α +1{displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta }=aleph _{alpha # cuando β+1 α y א א β β ≥ ≥ cf⁡ ⁡ ()א א α α ){displaystyle aleph _{beta }geq operatorname {cf} (aleph _{alpha })}.

La primera igualdad (cuando α ≤ β+1) se sigue de:

א א α α א א β β ≤ ≤ א א β β +1א א β β =()2א א β β )א א β β =2א א β β ⋅ ⋅ א א β β =2א א β β =א א β β +1{displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta ##leq aleph _{beta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ###=(2^{aleph _{beta }})# {aleph _{beta }=2^{aleph _{beta }cdot aleph _{beta }=2^{aleph _{beta }=aleph _{beta # mientras:

א א β β +1=2א א β β ≤ ≤ א א α α א א β β {displaystyle aleph _{beta +1}=2^{aleph _{beta "Leq aleph" ♫ {aleph _{beta };

La tercera igualdad (cuando β+1 α y א א β β ≥ ≥ cf⁡ ⁡ ()א א α α ){displaystyle aleph _{beta }geq operatorname {cf} (aleph _{alpha })}) sigue de:

aleph _{alpha }}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">א א α α א א β β ≥ ≥ א א α α cf⁡ ⁡ ()א א α α )■א א α α {displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta }geq aleph _{alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ }aleph _{alpha }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a8687cd645f2dce53a8bdfdccedffe2ee3d88a" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.675ex; height:3.509ex;"/>, por el teorema de König, mientras que:

א א α α א א β β ≤ ≤ א א α α א א α α ≤ ≤ ()2א א α α )א א α α =2א א α α ⋅ ⋅ א א α α =2א א α α =א א α α +1{displaystyle aleph _{alpha ♫ {aleph _{beta "Leq aleph" ¿Por qué? }=2^{aleph _{alpha }cdot aleph _{alpha }=2^{aleph _{alpha }=aleph _{alpha #

Donde, para cada γ, GCH se utiliza para equiparar 2א א γ γ {displaystyle 2^{aleph _{gamma } y א א γ γ +1{displaystyle aleph _{gamma #; א א γ γ 2=א א γ γ {displaystyle aleph _{gamma }{2}=aleph _{gamma } se utiliza como es equivalente al axioma de elección.