Hipótesis de Riemann generalizada

La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas. Es una afirmación sobre los ceros de la función zeta de Riemann. Varios objetos geométricos y aritméticos se pueden describir mediante las llamadas funciones L globales, que son formalmente similares a la función zeta de Riemann. Entonces se puede hacer la misma pregunta sobre los ceros de estas funciones L, lo que arroja varias generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann son ciertas. Los únicos casos de estas conjeturas que se han probado ocurren en el caso del campo de funciones algebraicas (no en el caso del campo de números).

Las funciones L globales se pueden asociar a curvas elípticas, campos numéricos (en cuyo caso se denominan funciones zeta de Dedekind), formas de Maass y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se denominan funciones de Dirichlet funciones L). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para funciones zeta de Dedekind, se conoce como hipótesis de Riemann extendida (ERH) y cuando se formula para funciones L de Dirichlet, se denomina conocida como hipótesis de Riemann generalizada o hipótesis de Riemann generalizada (ver diferencias ortográficas) (GRH). Estas dos declaraciones se discutirán con más detalle a continuación. (Muchos matemáticos usan la etiqueta hipótesis de Riemann generalizada para cubrir la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones L globales, no solo el caso especial de las funciones L de Dirichlet).

Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH)

La hipótesis de Riemann generalizada (para las funciones L de Dirichlet) probablemente fue formulada por primera vez por Adolf Piltz en 1884. Al igual que la hipótesis de Riemann original, tiene consecuencias de gran alcance sobre la distribución de números primos. números.

A continuación se presenta la declaración formal de la hipótesis. Un carácter de Dirichlet es una función aritmética completamente multiplicativa χ tal que existe un entero positivo k con χ(n + k) = χ(n) para todos los n y χ(n) = 0 siempre que gcd(n, k) > 1. Si se da tal carácter, definimos la correspondiente función de Dirichlet L por

L()χ χ ,s)=.. n=1JUEGO JUEGO χ χ ()n)ns{displaystyle L(chis)=sum _{n=1}{infty }{frac {chi (n)}{n^{s}}}}}

para cada número complejo s tales que Re s ■ 1. Por continuación analítica, esta función se puede ampliar a una función meromorférica (sólo cuando χ χ {displaystyle chi } es primitivo) definido en todo el plano complejo. La hipótesis generalizada Riemann afirma que, por cada personaje Dirichlet χ y cada número complejo s con L()χ, s) = 0, si s no es un número real negativo, entonces la parte real de s es 1/2.

El caso χ(n) = 1 para todo n produce el ordinario hipótesis de Riemann.

Consecuencias de GRH

El teorema de Dirichlet establece que si a y d son números naturales coprimos, entonces la progresión aritmética a, a + d, a + 2d, a + 3d,... contiene infinitos números primos. Sea π(x, a, d) el número de números primos en este progresión que son menores o iguales a x. Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces para cada coprimo a y d y para cada ε > 0,

π π ()x,a,d)=1φ φ ()d)∫ ∫ 2x1In⁡ ⁡ tdt+O()x1/2+ε ε )comox→ → JUEGO JUEGO ,{displaystyle pi (x,a,d)={frac {1}{varphi (d)}int _{2}^{x}{frac {1}{ln t},dt+O(x^{1/2+varepsilon })quad {mbox{ as }} xto infty}

Donde φ φ {displaystyle varphi } es la función totient de Euler y O{displaystyle O. es la notación de Big O. Este es un fortalecimiento considerable del teorema número primo.

Si GRH es cierto, entonces cada subgrupo apropiado del grupo multiplicador ()Z/nZ)× × {fnMicrosoft Sans Serif} omits a number less than 2(ln) n)², así como un número de coprime n menos que 3(ln) n)². En otras palabras, ()Z/nZ)× × {fnMicrosoft Sans Serif} se genera por un conjunto de números menos que 2(ln) n)². Esto se utiliza a menudo en pruebas, y tiene muchas consecuencias, por ejemplo (asumiendo GRH):

• La prueba de la primalidad Miller-Rabin está garantizada a funcionar en tiempo polinomio. (En 2002 se publicó una prueba de primalidad polinomial que no requiere GRH, la prueba de primalidad AKS).
• El algoritmo Shanks-Tonelli está garantizado para funcionar en tiempo polinomio.
• El algoritmo determinista Ivanyos–Karpinski–Saxena para la factorización de los polinomios sobre los campos finitos con los primeros grados constantes-moot está garantizado para funcionar en el tiempo polinomio.

Si GRH es verdad, entonces por cada primo p existe una raíz primitiva mod p (un generador del grupo multiplicativo de los enteros modulo p) que es menos que O()()In⁡ ⁡ p)6).{displaystyle O(ln p)^{6}). }

La conjetura débil de Goldbach también se deriva de la hipótesis generalizada de Riemann. La prueba aún por verificar de Harald Helfgott de esta conjetura verifica el GRH para varios miles de caracteres pequeños hasta una cierta parte imaginaria para obtener límites suficientes que prueben la conjetura para todos los enteros por encima de 10²⁹, enteros por debajo que ya han sido verificados por cálculo.

Asumiendo la verdad del GRH, la estimación de la suma de carácter en la desigualdad Pólya-Vinogradov se puede mejorar para O()qlog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ q){displaystyle Oleft({sqrt {q}log log qright)}, q siendo el módulo del personaje.

Hipótesis de Riemann extendida (ERH)

Supongamos que K es un campo numérico (una extensión de campo de dimensión finita de los racionales Q) con un anillo de números enteros O_K (este anillo es el cierre integral de los enteros Z en K). Si a es un ideal de O_K, distinto del ideal cero, denotamos su norma por Na. La función zeta de Dedekind de K se define entonces por

Especificaciones Especificaciones K()s)=.. a1()Na)s{displaystyle zeta _{K}(s)=sum _{a}{frac {1} {cH00}}}

para todo número complejo s con parte real > 1. La suma se extiende sobre todos los ideales distintos de cero a de O_K.

La función zeta de Dedekind satisface una ecuación funcional y puede extenderse por continuación analítica a todo el plano complejo. La función resultante codifica información importante sobre el campo numérico K. La hipótesis de Riemann extendida afirma que para todo cuerpo numérico K y todo número complejo s con ζ_K(s) = 0: si la parte real de s está entre 0 y 1, entonces es 1/2.

La hipótesis ordinaria de Riemann se deriva de la extendida si se toma el campo numérico como Q, con un anillo de números enteros Z.

El ERH implica una versión efectiva del teorema de la densidad de Chebotarev: si L/K es una extensión finita de Galois con el grupo de Galois G, y C una unión de clases de conjugación de G, el número de primos no ramificados de K de norma por debajo de x con La clase de conjugación de Frobenius en C es

SilencioCSilencioSilencioGSilencio()li⁡ ⁡ ()x)+O()x()nlog⁡ ⁡ x+log⁡ ⁡ SilencioΔ Δ Silencio))),{displaystyle {frac {fnMicroc {fnK}{fnMicroc {fnh} {f}} {fnMicrosoft}}} {fnK}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnK}}}} Bigl (}operatorname {li} (x)+O{bigl (}{sqrt {x}}(nlog x+log SilencioDelta){bigr)}{Bigr)}}},}

donde la constante implícita en la notación O grande es absoluta, n es el grado de L sobre Q, y Δ su discriminante.