Hipersuperficie

En geometría, una hipersuperficie es una generalización de los conceptos de hiperplano, curva plana y superficie. Una hipersuperficie es una variedad o variedad algebraica de dimensión n − 1, que está incrustada en un espacio ambiental de dimensión n, generalmente un espacio euclidiano, un espacio afín o un espacio proyectivo. Las hipersuperficies comparten, con las superficies en un espacio tridimensional, la propiedad de estar definidas por una única ecuación implícita, al menos localmente (cerca de cada punto) y, a veces, globalmente.

Una hipersuperficie en un espacio (euclidiano, afín o proyectivo) de dimensión dos es una curva plana. En un espacio de dimensión tres, es una superficie.

Por ejemplo, la ecuación

${displaystyle x_{1}{2}+x_{2}{2}+cdots ¿Qué?$

define una hipersuperficie algebraica de dimensión n − 1 en el espacio euclidiano de dimensión n. Esta hipersuperficie también es una variedad suave y se llama hiperesfera o (n – 1) -esfera.

Hipersuperficie lisa

Una hipersuperficie que es una variedad suave se llama hipersuperficie suave.

En Rⁿ, una hipersuperficie suave es orientable. Cada hipersuperficie lisa compacta conectada es un conjunto de niveles y separa Rⁿ en dos componentes conectados; esto está relacionado con el teorema de separación de Jordan-Brouwer.

Hipersuperficie algebraica afín

Una hipersuperficie algebraica es una variedad algebraica que puede definirse mediante una única ecuación implícita de la forma

${displaystyle p(x_{1},ldotsx_{n}=0,}$

donde p es un polinomio multivariado. Generalmente se supone que el polinomio es irreducible. Cuando este no es el caso, la hipersuperficie no es una variedad algebraica, sino sólo un conjunto algebraico. Puede depender de los autores o del contexto si un polinomio reducible define una hipersuperficie. Para evitar ambigüedades, se suele utilizar el término hipersuperficie irreducible.

En cuanto a las variedades algebraicas, los coeficientes del polinomio definido pueden pertenecer a cualquier campo fijo k, y los puntos de la hipersuperficie son los ceros de p en el espacio del ataúd ${displaystyle K^{n}$ Donde K es una extensión algebraicamente cerrada k.

Una hipersuperficie puede tener singularidades, que son los ceros comunes, si los hay, del polinomio que lo define y sus derivadas parciales. En particular, una hipersuperficie algebraica real no es necesariamente una variedad.

Propiedades

Las hipersuperficies tienen algunas propiedades específicas que no se comparten con otras variedades algebraicas.

Una de las principales propiedades es la Nullstellensatz de Hilbert, que afirma que una hipersuperficie contiene un conjunto algebraico dado si y sólo si el polinomio definitorio de la hipersuperficie tiene una potencia que pertenece al ideal generado por los polinomios definitorios. del conjunto algebraico.

Un corolario de este teorema es que, si dos polinomios irreducibles (o más generalmente dos polinomios libres de cuadrados) definen la misma hipersuperficie, entonces uno es el producto del otro por una constante distinta de cero.

Las hipersuperficies son exactamente las subvariedades de dimensión n – 1 de un espacio afín de dimensión de n. Ésta es la interpretación geométrica del hecho de que, en un anillo polinómico sobre un campo, la altura de un ideal es 1 si y sólo si el ideal es un ideal principal. En el caso de hipersuperficies posiblemente reducibles, este resultado puede reformularse de la siguiente manera: las hipersuperficies son exactamente los conjuntos algebraicos cuyos componentes irreducibles tienen dimensión n – 1.

Puntos reales y racionales

A hipersuperficie real es una hipersuperficie que se define por un polinomio con coeficientes reales. En este caso el campo algebraicamente cerrado sobre el cual se definen los puntos es generalmente el campo ${displaystyle mathbb {C}$ de números complejos. El puntos reales de una verdadera hipersuperficie son los puntos que pertenecen a ${displaystyle mathbb {R}subset mathbb {C} ^{n}$ El conjunto de los puntos reales de una verdadera hipersuperficie es el parte real de la hipersuperficie. A menudo, se deja en el contexto de si el término hipersuperficie se refiere a todos los puntos o sólo a la parte real.

Si los coeficientes del polinomio definido pertenecen a un campo k que no está cerrado algebraicamente (típicamente el campo de los números racionales, un campo finito o un campo número), uno dice que la hipersuperficie es definidas k, y los puntos que pertenecen a ${displaystyle k^{n}$ son racional sobre k (en el caso del campo de los números racionales, "sobre k" generalmente se omite".

Por ejemplo, la n-esfera imaginaria definida por la ecuación

${displaystyle x_{0}{2}+cdots +x_{n}{2}+1=0}$

es una hipersuperficie real sin ningún punto real, que se define sobre los números racionales. No tiene ningún punto racional, pero tiene muchos puntos que son racionales sobre los racionales gaussianos.

Hipersuperficie algebraica proyectiva

A hipersuperficie proyectiva (algebraica) de la dimensión n – 1 en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un terreno k se define por un polinomio homogéneo ${displaystyle P(x_{0},x_{1},ldotsx_{n}}$ dentro n + 1 indetermina. Como siempre, polinomio homogéneo significa que todos los monomiales de P tienen el mismo grado, o, equivalentemente que ${displaystyle P(cx_{0},cx_{1},ldotscx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},ldotsx_{n})}$ para cada constante c, donde d es el grado del polinomio. El puntos de la hipersuperficie son los puntos del espacio proyectado cuyas coordenadas proyectivas son ceros de P.

Si uno elige el hiperplano de la ecuación ${displaystyle x_{0}=0}$ como hiperplano en el infinito, el complemento de este hiperplano es un espacio afinado, y los puntos de la hipersuperficie proyectiva que pertenecen a este espacio afine forman una hipersuperficie afine de ecuación ${displaystyle P(1,x_{1},ldotsx_{n}=0.}$ Por el contrario, dada una hipersuperficie afine de la ecuación ${displaystyle p(x_{1},ldotsx_{n}=0,}$ define una hipersuperficie proyectiva, llamada su finalización de los proyectos, cuya ecuación se obtiene homogeneizando p. Es decir, la ecuación de la terminación proyectiva es ${displaystyle P(x_{0},x_{1},ldotsx_{n}=0,}$ con

${displaystyle P(x_{0},x_{1},ldotsx_{n}=x_{0}{d}p(x_{1}/x_{0},ldotsx_{n}/x_{0}}}}}$

donde d es el grado de P.

Estos dos procesos de finalización proyectiva y restricción a un subespacio afín son inversos entre sí. Por lo tanto, una hipersuperficie afín y su terminación proyectiva tienen esencialmente las mismas propiedades y, a menudo, se consideran dos puntos de vista para la misma hipersuperficie.

Sin embargo, puede ocurrir que una hipersuperficie afín sea no singular, mientras que su terminación proyectiva tenga puntos singulares. En este caso, se dice que la superficie afín es singular en el infinito. Por ejemplo, el cilindro circular de la ecuación

${displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

en el espacio afín de la dimensión tres tiene un único punto singular, que está en el infinito, en la dirección x = 0, y = 0.