Hiperfactorial

En matemáticas, y más específicamente la teoría de números, hiperfactorial de un entero positivo ${displaystyle n}$ es el producto de los números de la forma ${displaystyle x^{x}$ desde ${displaystyle 1^{1}$ a ${displaystyle n^{n}$.

Definición

El hiperfactorial de un entero positivo ${displaystyle n}$ es el producto de los números ${displaystyle 1^{1},2^{2},dotsn^{n}$. Eso es,

$${displaystyle H(n)=1^{1}cdot 2^{2}cdot cdots No. ¿Qué?$$

${displaystyle H(0)=1}$

Interpolación y aproximación

Los hiperfactoriales fueron estudiados a principios del siglo XIX por Hermann Kinkelin y James Whitbread Lee Glaisher. Como demostró Kinkelin, así como los factoriales pueden interpolarse continuamente mediante la función gamma, los hiperfactoriales pueden interpolarse continuamente mediante la función K.

Glaisher proporcionó una fórmula asintótica para los hiperfactoriales, análoga a la fórmula de Stirling para los factoriales:

$${displaystyle H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}left(1+{frac {1}{720n^{2}}}-{frac {1433}{7257600n^{4}}+cdots right)!,}$$

${displaystyle Aapprox 1.28243}$

Otras propiedades

Según un análogo del teorema de Wilson sobre el comportamiento de los factoriales modulo números primos, cuando ${displaystyle p}$ es un número primo extraño

$${displaystyle H(p-1)equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!{pmod {p}}}$$

${displaystyle!}$

Los hiperfactoriales dan la secuencia de discriminantes de los polinomios de Hermite en su formulación probabilística.