Hipercubo

Proyecciones de perspectiva

Cubo (3-cubo)	Tesseract (4-cubo)

En geometría, una hipercube es un análogo n-dimensional de un cuadrado (n = 2) y un cubo (n = 3). Es una figura cerrada, compacta, convexa cuyo 1-esqueleto consiste en grupos de segmentos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio, perpendicular entre sí y de la misma longitud. Una unidad hipercubo es diagonal más larga en n dimensiones iguales n{displaystyle {sqrt {n}}.

Un hipercubo n-dimensional se conoce más comúnmente como un n-cubo o, a veces, como un n cubo bidimensional. El término medir politopo (originalmente de Elte, 1912) también se utiliza, especialmente en el trabajo de H. S. M. Coxeter, quien también etiqueta a los hipercubos como politopos γn.

El hipercubo es el caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotopo).

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una unidad de longitud. A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices) son los 2ⁿ puntos en Rⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se llama la unidad hipercubo.

Construcción

Un diagrama que muestra cómo crear un tesseract desde un punto.

Una animación que muestra cómo crear un tesseract desde un punto.

Un hipercubo se puede definir aumentando el número de dimensiones de una forma:

0 – Un punto es un hipercubo de la dimensión cero.

1 – Si uno mueve este punto una longitud de unidad, barrerá un segmento de línea, que es una unidad hipercubo de dimensión uno.

2 – Si uno mueve este segmento de línea su longitud en una dirección perpendicular de sí mismo; barre una plaza 2-dimensional.

3 – Si uno mueve la longitud de la unidad cuadrada en la dirección perpendicular al plano en que se encuentra, generará un cubo tridimensional.

4 – Si uno mueve el cubo de longitud una unidad en la cuarta dimensión, genera una unidad hipercube de 4 dimensiones (una unidad de tesseract).

Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes se puede formalizar matemáticamente como una suma de Minkowski: el hipercubo d-dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares, y es por lo tanto, un ejemplo de un zonotopo.

El esqueleto 1 de un hipercubo es un gráfico de hipercubo.

Coordenadas de vértice

Proyección de un tesseract rotatorio.

Una unidad hipercubo de dimensión n{displaystyle n} es el casco convexo de todos los puntos cuyos n{displaystyle n} Las coordenadas cartesianas son iguales a cualquiera 0{displaystyle 0} o 1{displaystyle 1}. Este hipercubo es también el producto cartesiano [0,1]n{displaystyle [0,1] de n{displaystyle n} copias del intervalo de unidad [0,1]{displaystyle [0,1]}. Otra unidad hipercubo, centrada en el origen del espacio ambiente, se puede obtener de éste por una traducción. Es el casco convexo de los puntos cuyos vectores de coordenadas cartesianas son

()± ± 12,± ± 12,⋯ ⋯ ,± ± 12).{displaystyle left(pm {1}{2},pm {frac {1}{2}}},cdotspm {frac {1}{2}derecha)!}!

Aquí el símbolo ± ± {displaystyle pm } significa que cada coordinación es igual a 1/2{displaystyle 1/2} o a − − 1/2{displaystyle -1/2.. Esta unidad hipercubo es también el producto cartesiano [− − 1/2,1/2]n{displaystyle [-1/2,1/2]. Cualquier unidad hipercubo tiene una longitud de borde 1{displaystyle 1} y un n{displaystyle n}- volumen dimensional de 1{displaystyle 1}.

El n{displaystyle n}- hipercubo dimensional obtenido como el casco convexo de los puntos con coordenadas ()± ± 1,± ± 1,⋯ ⋯ ,± ± 1){displaystyle (pm 1,pm 1,cdotspm 1)} o, equivalentemente como el producto cartesiano [− − 1,1]n{displaystyle [-1,1] también se considera a menudo debido a la forma más simple de sus coordenadas de vértice. Su longitud de borde es 2{displaystyle 2}, y su n{displaystyle n}- volumen dimensional 2n{displaystyle 2^{n}.

Caras

Cada hipercubo admite, como sus caras, hipercubos de una dimensión inferior contenida en su límite. Un hipercubo de dimensión n{displaystyle n} Admite 2n{displaystyle 2n} facetas o caras de dimensión n− − 1{displaystyle n-1}a1{displaystyle 1}-dimensional) segmento de línea 2{displaystyle 2} endpoints; a (2{displaystyle 2}-dimensional) cuadrado tiene 4{displaystyle 4} laterales o bordes; un 3{displaystyle 3}- cubo dimensional tiene 6{displaystyle 6} caras cuadradas; a4{displaystyle 4}-dimensional) Tesseract tiene 8{displaystyle 8} cubo tridimensional como sus facetas. El número de vértices de un hipercubo de dimensión n{displaystyle n} es 2n{displaystyle 2^{n} (a usual, 3{displaystyle 3}- cubo dimensional tiene 23=8{displaystyle 2^{3}=8} vértices, por ejemplo).

El número de m{displaystyle m}- hipercubos dimensionales (sólo referidos como m{displaystyle m}- cachorros de aquí en adelante) contenidos en el límite de un n{displaystyle n}- El cachorro es

Em,n=2n− − m()nm){displaystyle E_{m,n}=2^{n-m}{n - ¿Qué?, donde ()nm)=n!m!()n− − m)!{displaystyle {n choose m}={frac {n}{m!,(n-m)}}}}} y n!{displaystyle n!} denota el factorial de n{displaystyle n}.

Por ejemplo, el límite de un 4{displaystyle 4}- ¡Cabrón!n=4{displaystyle n=4}) contiene 8{displaystyle 8} cubos3{displaystyle 3}- ¡Cabrones! 24{displaystyle 24} cuadrados (2{displaystyle 2}- ¡Cabrones! 32{displaystyle 32} segmentos de línea (1{displaystyle 1}-cubes) y 16{displaystyle 16} vértices0{displaystyle 0}- ¡Cabrones! Esta identidad puede ser probada por un simple argumento combinatorio: para cada uno de los 2n{displaystyle 2^{n} vertices del hipercubo, hay ()nm){fnMicrosoft}} maneras de elegir una colección de m{displaystyle m} los bordes de ese vértice. Cada una de estas colecciones define una de las m{displaystyle m}- caras dimensionales incidente al vertex considerado. Haciendo esto por todos los vértices de la hipercubina, cada uno de los m{displaystyle m}- caras dimensionales del hipercubo se cuenta 2m{displaystyle 2^{m} tiempos desde que tiene muchos vértices, y necesitamos dividir 2n()nm){displaystyle 2} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}} {fn}}}}}}} {fn}} por este número.

El número de facetas del hipercubo se puede utilizar para calcular el ()n− − 1){displaystyle (n-1)}- volumen dimensional de su límite: ese volumen es 2n{displaystyle 2n} tiempos el volumen de un ()n− − 1){displaystyle (n-1)}- hipercubo dimensional; es decir, 2nsn− − 1{displaystyle 2ns^{n-1} Donde s{displaystyle s} es la longitud de los bordes de la hipercubina.

Estos números también pueden ser generados por la relación de recurrencia lineal

Em,n=2Em,n− − 1+Em− − 1,n− − 1{displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}!, con E0,0=1{displaystyle E_{0,0}=1}, y Em,n=0{displaystyle E_{m,n}=0} cuando <math alttext="{displaystyle nn.m{displaystyle No.<img alt="n, <math alttext="{displaystyle nn.0{displaystyle n made0}<img alt="n, o <math alttext="{displaystyle mm.0{displaystyle m won0}<img alt="m.

Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices añade un segmento de línea extra (edge) por vértice. Agregar el cuadrado opuesto para formar un cubo proporciona E1,3=12{displaystyle E_{1,3}=12} segmentos de línea.

Número Em,n{displaystyle E_{m,n} de m{displaystyle m}- caras dimensionales de un n{displaystyle n}- hipercubo dimensional (secuencia A038207 en el OEIS)

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n- ¡Cabrón!	Nombres	Schläfli Coxeter	Vertex 0-cara	Edge 1 cara	Cara 2-cara	Celular 3-face	4-cara	5-face	6 caras	7-face	8 caras	9-face	10-cara
0	0-cube	Punto Monón	()	1
1	1-cube	Serie de línea Dion	{}	2	1
2	2-cube	Plaza Tetragon	{4}	4	4	1
3	3-cube	Cube Hexahedron	{4,3}	8	12	6	1
4	4-cube	Tesseract Octachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-cube	Penteract Deca-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-cube	Hexeract Dodeca-6-tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-cube	Hepteract Tetradeca-7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-cube	Octeract Hexadeca-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-cube	Enneract Octadeca-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-cube	Dekeract Icosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Gráficos

Un n-cubo se puede proyectar dentro de un polígono regular de 2n-gonal mediante una proyección ortogonal oblicua, que se muestra aquí desde la línea segmento al cubo de 16.

Petrie poligon Proyecciones ortoográficas

Serie de línea	Plaza	Cube	Tesseract
5-cube	6-cube	7-cube	8-cube
9-cube	10-cube	11-cube	12-cube
13-cube	14-cube	15-cube	16-cube

Familias relacionadas de politopos

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se representan en cualquier número de dimensiones.

La familia hypercube (offset) es una de las tres familias de politopos regulares, etiquetada por Coxeter como γ_n. Los otros dos son la familia dual del hipercubo, los politopos cruzados, etiquetados como β_n, y los simples, etiquetado como α_n. Una cuarta familia, las infinitas teselaciones de hipercubos, las etiquetó como δ_n.

Otra familia relacionada de politopos semirregulares y uniformes son los demihipercubos, que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternos eliminados y facetas simples añadidas en los huecos, etiquetados como hγ_n.

n se pueden combinar con sus duales (los politopos cruzados) para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones, obtenemos la figura estrella octagramática {8/2},
• En tres dimensiones obtenemos el compuesto de cubo y octaedro,
• En cuatro dimensiones obtenemos el compuesto de tesseract y 16 celdas.

Relación con (n−1)-simple

El gráfico de las aristas del hipercubo n es isomorfo al diagrama de Hasse de la red de caras del (n−1)-simplex. Esto se puede ver orientando el hipercubo n de modo que dos vértices opuestos queden verticalmente, correspondientes al símplex (n−1) y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna de forma única a una de las facetas (n−1)-simplex (n−2 caras), y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a una de las caras n−3 del simplex, y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del simplex.

Esta relación se puede usar para generar la red de caras de un (n−1)-simplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a politopos generales son más costosos desde el punto de vista computacional.

Hipercubos generalizados

Los politopes complejos regulares se pueden definir en complejo espacio Hilbert llamado hipercubos generalizados, γ^p
_n = _p{4}₂{3}...₂{3}₂, o ... Existen soluciones reales con p = 2, es decir, γ²
_n = γ_n = ₂{4}₂{3}...₂{3}₂ = {4,3,..,3}. Para p Ø 2, existen en Cn{displaystyle mathbb {C} {n}}. Las facetas se generalizan (n1)-cubo y la figura del vértice son simplexes regulares.

El perímetro del polígono regular que se ve en estas proyecciones ortogonales se denomina polígono de Petrie. Los cuadrados generalizados (n = 2) se muestran con bordes delineados como bordes p de color alternante rojo y azul, mientras que los cubos n superiores se dibujan con bordes p delineados en negro.

El número de m- elementos de cara en un p-generalizado n- El cachorro es: pn− − m()nm){displaystyle p^{n-m}{nchoose m}. Esto es pⁿ vértices y pn facetas.

Hipercubos generalizados

	p=2		p= 3	p= 4	p=5	p= 6	p= 7	p= 8
R2{displaystyle mathbb {R} {2}}	γ2 2 = {4} = 4 vértices	C2{displaystyle mathbb {C} {2}	γ3 2 = 9 vértices	γ4 2 = 16 vértices	γ5 2 = 25 vértices	γ6 2 = 36 vértices	γ7 2 = 49 vértices	γ8 2 = 64 vértices
R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}	γ2 3 = {4,3} = 8 vértices	C3{displaystyle mathbb {C} {} {}}	γ3 3 = 27 vértices	γ4 3 = 64 vértices	γ5 3 = 125 vértices	γ6 3 = 216 vértices	γ7 3 = 343 vértices	γ8 3 = 512 vértices
R4{displaystyle mathbb {R} {4}}	γ2 4 = {4,3,3} = 16 vértices	C4{displaystyle mathbb {C} {4}}	γ3 4 = 81 vértices	γ4 4 = 256 vértices	γ5 4 = 625 vértices	γ6 4 = 1296 vértices	γ7 4 = 2401 vértices	γ8 4 = 4096 vértices
R5{displaystyle mathbb {R} {5}}	γ2 5 = {4,3,3,3} = 32 vértices	C5{displaystyle mathbb {C} {5}}	γ3 5 = 243 vértices	γ4 5 = 1024 vértices	γ5 5 = 3125 vértices	γ6 5 = 7776 vértices	γ7 5 = 16.807 vértices	γ8 5 = 32.768 vértices
R6{displaystyle mathbb {R} {6}}	γ2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 vértices	C6{displaystyle mathbb {C} {6}}	γ3 6 = 729 vértices	γ4 6 = 4096 vértices	γ5 6 = 15.625 vértices	γ6 6 = 46,656 vértices	γ7 6 = 117.649 vértices	γ8 6 = 262,144 vértices
R7{displaystyle mathbb {R} {7}}	γ2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 vértices	C7{displaystyle mathbb {C} {7}}	γ3 7 = 2187 vertices	γ4 7 = 16.384 vértices	γ5 7 = 78.125 vértices	γ6 7 = 279,936 vértices	γ7 7 = 823.543 vértices	γ8 7 = 2,097,152 vértices
R8{displaystyle mathbb {R} {8}}	γ2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vértices	C8{displaystyle mathbb {C} {8}}	γ3 8 = 6561 vertices	γ4 8 = 65.536 vértices	γ5 8 = 390.625 vértices	γ6 8 = 1,679,616 vértices	γ7 8 = 5.764.801 vértices	γ8 8 = 16.777.216 vértices

Relación con la exponenciación

Cualquier entero positivo elevado a otra potencia entera positiva producirá un tercer entero, siendo este tercer entero un tipo específico de número figurado correspondiente a un cubo n con un número de dimensiones correspondientes al exponencial. Por ejemplo, el exponente 2 dará como resultado un número cuadrado o 'cuadrado perfecto', que se puede organizar en una forma cuadrada con una longitud de lado correspondiente a la de la base. De manera similar, el exponente 3 producirá un cubo perfecto, un número entero que se puede organizar en forma de cubo con una longitud de lado de la base. Como resultado, el acto de elevar un número a 2 o 3 se conoce más comúnmente como "elevar al cuadrado" y "cubing", respectivamente. Sin embargo, los nombres de hipercubos de orden superior no parecen ser de uso común para poderes superiores.