Hiperboloide

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Superficie cuádrica sin límites

Hiperboloide de una hoja	superficie cónica entre	Hiperboloide de dos hojas

En geometría, un hiperboloide de revolución, a veces llamado hiperboloide circular, es la superficie generada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes principales. Un hiperboloide es la superficie obtenida a partir de un hiperboloide de revolución deformándolo mediante escalas direccionales, o más generalmente, de una transformación afín.

Un hiperboloide es una superficie cuádrica, es decir, una superficie definida como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un hiperboloide se caracteriza por no ser un cono o un cilindro, tener un centro de simetría e intersecar muchos planos en hipérbolas. Un hiperboloide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares y tres planos de simetría perpendiculares por pares.

Dado un hiperboloide, se puede elegir un sistema de coordenadas cartesianas tal que el hiperboloide esté definido por una de las siguientes ecuaciones:

{displaystyle {x^{2} over a^{2}}+{y^{2} over b^{2}}-{z^{2} over c^{2}}=1,}

{displaystyle {x^{2} over a^{2}}+{y^{2} over b^{2}}-{z^{2} over c^{2}}=-1.}

Los ejes de coordenadas son ejes de simetría del hiperboloide y el origen es el centro de simetría del hiperboloide. En cualquier caso, el hiperboloide es asintótico al cono de las ecuaciones:

{displaystyle {x^{2} over a^{2}}+{y^{2} over b^{2}}-{z^{2} over c^{2}}=0.}

Uno tiene un hiperboloide de la revolución si y sólo si ${displaystyle a^{2}=b^{2}.}$ De lo contrario, los ejes son únicos definidos (hasta el intercambio de los x-eje y el Sí.-eje).

Hay dos tipos de hiperboloides. En el primer caso ( $+1$ en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de una hoja, también llamado hiperbólico hiperboloide. Es una superficie conexa, que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. Esto implica que cerca de cada punto la intersección del hiperboloide y su plano tangente en el punto consta de dos ramas de curva que tienen tangentes distintas en el punto. En el caso del hiperboloide de una hoja, estas ramas de curvas son líneas y, por lo tanto, el hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada.

En el segundo caso ( $-1$ en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de dos hojas, también llamado hiperboloide elíptico. La superficie tiene dos componentes conectadas y una curvatura gaussiana positiva en cada punto. La superficie es convexa en el sentido de que el plano tangente en cada punto interseca a la superficie solo en este punto.

Representaciones paramétricas

Animación de un hiperboloide de la revolución

Se pueden definir coordenadas cartesianas para los hiperboloides, similares a las coordenadas esféricas, manteniendo el ángulo azimutal $θ \in [0, 2 π)$ , pero cambiando la inclinación $v$ a funciones trigonométricas hiperbólicas:

Hiperboloide de una superficie: $v \in (-\infty, \infty)$

{displaystyle {begin{aligned}x&=acosh vcos theta \y&=bcosh vsin theta \z&=csinh vend{aligned}}}

Hiperboloide de dos superficies: $v \in [0, \infty)$

{displaystyle {begin{aligned}x&=asinh vcos theta \y&=bsinh vsin theta \z&=pm ccosh vend{aligned}}}

hiperboloide de una hoja: generación por una hiperbola giratoria (top) y línea (abajo: rojo o azul)

hiperboloide de una hoja: secciones de plano

La siguiente representación paramétrica incluye hiperboloides de una hoja, dos hojas, y su cono de límite común, cada uno con el $z$ -eje como el eje de la simetría:

${displaystyle {vec {x}}(s,t)=left({begin{array}{lll}a{sqrt {s^{2}+d}}cos t\b{sqrt {s^{2}+d}}sin t\csend{array}}right)}$

Para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d■0{displaystyle d confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddf6cd1242e088b641c76c3ee375466354f8d5a" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;"/>$ uno obtiene un hiperboloide de una hoja,
Para $<math alttext="{displaystyle dd.0{displaystyle d realizadas0} <img alt="{displaystyle d$ un hiperboloide de dos hojas, y
Para $d=0$ un doble cono.

Uno puede obtener una representación paramétrica de un hiperboloide con un eje de coordenadas diferente como el eje de la simetría al amortiguar la posición de la ${displaystyle cs}$ término al componente apropiado en la ecuación anterior.

Ecuaciones generalizadas

Más generalmente, un hiperboloide arbitrariamente orientado, centrado en $v$ , se define mediante la ecuación

({mathbf {x-v}})^{{mathrm {T}}}A({mathbf {x-v}})=1,

donde $A$ es una matriz y $x$ , $v$ son vectores.

Los eigenvectores de $A$ definir las direcciones principales del hiperboloide y los eigenvalues de A son los recíprocos de los cuadrados de los semi-axes: ${1/a^{2}}$ , ${1/b^{2}}$ y ${1/c^{2}}$ . El hiperboloide de una hoja tiene dos eigenvalues positivos y un eigenvalue negativo. El hiperboloide de dos hojas tiene un eigenvalue positivo y dos eigenvalues negativos.

Propiedades

Hiperboloide de una hoja

Líneas en la superficie

Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas. Es una superficie doblemente gobernada.

Si el hiperboloide tiene la ecuación ${x^{2} over a^{2}}+{y^{2} over b^{2}}-{z^{2} over c^{2}}=1$ entonces las líneas

{displaystyle g_{alpha }^{pm }:{vec {x}}(t)={begin{pmatrix}acos alpha \bsin alpha \0end{pmatrix}}+tcdot {begin{pmatrix}-asin alpha \bcos alpha \pm cend{pmatrix}}\quad tin mathbb {R} 0leq alpha leq 2pi }

están contenidos en la superficie.

En caso $a=b$ el hiperboloide es una superficie de revolución y se puede generar girando una de las dos líneas ${displaystyle g_{0}^{+}}$ o ${displaystyle g_{0}^{-}}$ , que se desplazan al eje de rotación (ver imagen). Esta propiedad se llama Teorema de Wren. La generación más común de un hiperboloide de una hoja de revolución está girando una hiperbola alrededor de su eje semi-minor (ver imagen; girar la hiperbola alrededor de su otro eje da una hiperbola de dos hojas de revolución).

Un hiperboloide de una hoja es proyectivamente equivalente a un paraboloide hiperbólico.

Secciones del plano

Para simplicidad las secciones de plano de la unidad hiperboloide con ecuación ${displaystyle H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$ son considerados. Debido a que un hiperboloide en posición general es una imagen afinada de la unidad hiperboloide, el resultado se aplica también al caso general.

Un plano con una pendiente inferior a 1 (1 es la pendiente de las líneas en el hiperboloide) intersectos $H_{1}$ en una elipse,
Un plano con una pendiente igual a 1 que contiene los intersectos de origen $H_{1}$ en una par de líneas paralelas,
Un plano con una pendiente igual 1 que no contiene los intersectos de origen $H_{1}$ en una parabola,
Un plano tangencial intersecta $H_{1}$ en una par de líneas de intersección,
Un plano no nuclear con una pendiente superior a 1 intersectos $H_{1}$ en una hiperbola.

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de una hoja contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular).

Hiperboloide de dos hojas

hiperboloide de dos hojas: generación girando una hiperbola

hiperboloide de dos hojas: secciones de plano

El hiperboloide de dos hojas no contiene líneas. La discusión de las secciones planas se puede realizar para el hiperboloide unitario de dos hojas con ecuación

{displaystyle H_{2}: x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}

que puede ser generado por una hipérbola giratoria alrededor de uno de sus ejes (el que corta la hipérbola)

Un plano con pendiente inferior a 1 (1 es la pendiente de los asintotos de los intersectos generadores de hiperbola) $H_{2}$ o en una elipse o en una punto o no en absoluto,
Un plano con pendiente igual a 1 que contiene el origen (punto medio del hiperboloide) hace no intersect $H_{2}$
Un plano con pendiente igual a 1 que no contiene los intersectos de origen $H_{2}$ en una parabola,
Un avión con pendiente superior a 1 intersectos $H_{2}$ en una hiperbola.

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de dos hojas contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular).

Observación: Un hiperboloide de dos hojas es proyectivamente equivalente a una esfera.

Otras propiedades

Simetrías

Los hiperboloides con ecuaciones ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,quad {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1 }$ son

puntos simétricos al origen,
simétrico a los planos de coordenadas y
rotación simétrica al eje z y simétrico a cualquier plano que contenga el eje z, en caso de $a=b$ (hiperboloide de la revolución).

Curvatura

Mientras que la curvatura gaussiana de un hiperboloide de una hoja es negativa, la de un hiperboloide de dos hojas es positiva. A pesar de su curvatura positiva, el hiperboloide de dos láminas con otra métrica convenientemente elegida también puede utilizarse como modelo para la geometría hiperbólica.

En más de tres dimensiones

Los hiperboloides imaginarios se encuentran con frecuencia en matemáticas de dimensiones superiores. Por ejemplo, en un espacio pseudo-euclidiano se tiene el uso de una forma cuadrática:

<math alttext="{displaystyle q(x)=left(x_{1}^{2}+cdots +x_{k}^{2}right)-left(x_{k+1}^{2}+cdots +x_{n}^{2}right),quad kq()x)=()x12+⋯ ⋯ +xk2)− − ()xk+12+⋯ ⋯ +xn2),k.n.{displaystyle q(x)=left (x_{1} {2}+cdots +x_{k}{2}right)-left(x_{k+1}{2}+cdots - ¿Qué?<img alt="{displaystyle q(x)=left(x_{1}^{2}+cdots +x_{k}^{2}right)-left(x_{k+1}^{2}+cdots +x_{n}^{2}right),quad k

Cuando $c$ es cualquier constante, entonces la parte del espacio dada por

lbrace x: q(x)=crbrace

se llama hiperboloide. El caso degenerado corresponde a $c = 0$ .

Como ejemplo, considere el siguiente pasaje:

... los vectores de velocidad siempre se encuentran en una superficie que Minkowski llama un hiperboloide de cuatro dimensiones desde entonces, expresado en términos de coordenadas puramente reales

() Sí. 1,... Sí. 4)

, su ecuación es

Sí. 21 + Sí. 22 + Sí. 23 - Sí. 24 = 1 -

, análogo al hiperboloide

Sí. 21 + Sí. 22 - Sí. 23 = 1 -

de espacio tridimensional.

Sin embargo, el término cuasi-esfera también se usa en este contexto ya que la esfera y el hiperboloide tienen algo en común (ver § Relación con la esfera a continuación).

Estructuras hiperboloides

Los hiperboloides de una hoja se utilizan en la construcción, con las estructuras llamadas estructuras hiperboloides. Un hiperboloide es una superficie doblemente reglada; por lo tanto, se puede construir con vigas de acero rectas, produciendo una estructura fuerte a un costo menor que otros métodos. Los ejemplos incluyen torres de enfriamiento, especialmente de centrales eléctricas, y muchas otras estructuras.

Galería de una hoja estructuras hiperboloide
El Faro Adziogol, Ucrania, 1911.
Kobe Port Tower, Japón, 1963.
James S. McDonnell Planetarium, St. Louis, Missouri, 1963.
Newcastle International Torre de control del aeropuerto, Newcastle sobre Tyne, Inglaterra, 1967.
Ještěd Transmission Tower, Czech Republic, 1968.
Catedral de Brasilia, Brasil, 1970.
Torre de agua hiperboloide con tanque toroidal, Ciechanów, Polonia, 1972.
Roy Thomson Hall, Toronto, Canadá, 1982.
La torre de refrigeración THTR-300 para el reactor nuclear de torio ahora descompuesto en Hamm-Uentrop, Alemania, 1983.
The Corporation Street Bridge, Manchester, Inglaterra, 1999.
La torre de observación de Killesberg, Stuttgart, Alemania, 2001.
BMW Welt, (BMW World), museo y sede de eventos, Munich, Alemania, 2007.
La Torre del Cantón, China, 2010.
La torre de agua Essarts-le-Roi, Francia.

Relación con la esfera

En 1853, William Rowan Hamilton publicó sus Conferencias sobre cuaterniones, que incluían la presentación de bicuaterniones. El siguiente pasaje de la página 673 muestra cómo Hamilton usa el álgebra de bicuaterniones y los vectores de los cuaterniones para producir hiperboloides a partir de la ecuación de una esfera:

... ecuación de la esfera de unidad

*** 2 + 1 = 0

, y cambiar el vector

***

a forma bivector, como

σ + τ \sqrt -1

. La ecuación de la esfera entonces se rompe en el sistema de los dos siguientes,

σ 2 - τ 2 + 1 = 0

S . στ = 0

;

y sugiere nuestra consideración

σ

τ

como dos vectores reales y rectangulares, tal que

T τ = T σ 2 -1) 1/2

Por lo tanto es fácil inferir que si asumimos

parallel

, donde

λ

es un vector en una posición dada, el nuevo vector real

σ + τ

terminará en la superficie de un hiperboloide doble y equilátero; y eso si, por otro lado, asumimos

parallel

, entonces el locus de la extremidad del vector real

σ + τ

será un hiperboloide equilátero pero de una sola hoja. El estudio de estos dos hiperboloides es, por lo tanto, conectado de esta manera muy simple, a través de biquaternions, con el estudio de la esfera;...

En este pasaje $S$ es el operador que da la parte escalar de un cuaternión, y $T$ es el "tensor", ahora llamado norma, de un cuaternión.

Una visión moderna de la unificación de la esfera y el hiperboloide utiliza la idea de una sección cónica como una porción de una forma cuadrática. En lugar de una superficie cónica, se requieren hipersuperficies cónicas en un espacio de cuatro dimensiones con puntos $p = (w, x, y, z) \in R 4$ determinado por formas cuadráticas. Primero considere la hipersuperficie cónica

P=lbrace p: w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}rbrace

H_{r}=lbrace p: w=rrbrace

que es un hiperplano.

Entonces... $Pcap H_{r}$ es la esfera con radio $r$ . Por otro lado, la hipersuperficie cónica

Q=lbrace p: w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}rbrace

dispone que

Qcap H_{r}

es un hiperboloide.

En la teoría de las formas cuadráticas, una cuasi-esfera unitaria es el subconjunto de un espacio cuadrático $X$ que consta de de $x \in X$ tal que la norma cuadrática de $x$ es uno.

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