Hermann Grassman

1878 copia de Grassmann "Die lineale Ausdehnungslehre"

Primera página de "Die lineale Ausdehnungslehre"

Hermann Günther Grassmann (alemán: Graßmann, pronunciado [ˈhɛʁman ˈɡʏntɐ ˈɡʁasman]; 15 de abril de 1809 - 26 de septiembre de 1877) fue un erudito alemán conocido en su época como lingüista y ahora también como matemático. También fue físico, erudito general y editor. Su trabajo matemático fue poco conocido hasta que cumplió los sesenta años. Su trabajo precedió y superó el concepto que ahora se conoce como espacio vectorial. Introdujo el Grassmannian, el espacio que parametriza todos los subespacios lineales de dimensión k de un espacio vectorial V de dimensión n.

Biografía

Hermann Grassmann fue el tercero de 12 hijos de Justus Günter Grassmann, un ministro ordenado que enseñó matemáticas y física en el Stettin Gymnasium, donde se educó Hermann.

Grassmann fue un estudiante mediocre hasta que obtuvo una nota alta en los exámenes de admisión a las universidades prusianas. A partir de 1827, estudió teología en la Universidad de Berlín, tomando también clases de lenguas clásicas, filosofía y literatura. No parece haber tomado cursos de matemáticas o física.

Aunque carecía de formación universitaria en matemáticas, fue el campo que más le interesó cuando regresó a Stettin en 1830 tras finalizar sus estudios en Berlín. Después de un año de preparación, se presentó a los exámenes necesarios para enseñar matemáticas en un gimnasio, pero logró un resultado lo suficientemente bueno como para permitirle enseñar solo en los niveles inferiores. Alrededor de este tiempo, hizo sus primeros descubrimientos matemáticos significativos, que lo llevaron a las importantes ideas que expuso en su artículo de 1844 Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, aquí denominado A1.

En 1834, Grassmann comenzó a enseñar matemáticas en la Gewerbeschule de Berlín. Un año después, regresó a Stettin para enseñar matemáticas, física, alemán, latín y estudios religiosos en una nueva escuela, la Otto Schule. Durante los siguientes cuatro años, Grassmann aprobó los exámenes que le permitieron enseñar matemáticas, física, química y mineralogía en todos los niveles de la escuela secundaria.

En 1847, fue nombrado "Oberlehrer" o profesor titular. En 1852, fue designado para ocupar el puesto de su difunto padre en el Stettin Gymnasium, adquiriendo así el título de Profesor. En 1847, pidió al Ministerio de Educación de Prusia que lo considerara para un puesto universitario, después de lo cual ese Ministerio le pidió a Ernst Kummer su opinión sobre Grassmann. Kummer respondió diciendo que el ensayo premiado de Grassmann en 1846 (ver más abajo) contenía "material encomiablemente bueno expresado en una forma deficiente". El informe de Kummer puso fin a cualquier posibilidad de que Grassmann obtuviera un puesto universitario. Este episodio resultó ser la norma; una y otra vez, las principales figuras de la época de Grassmann no reconocieron el valor de sus matemáticas.

Comenzando durante la agitación política en Alemania, 1848-1849, Hermann y su hermano Robert publicaron un periódico Stettin, Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben, llamando a la unificación alemana bajo una monarquía constitucional. (Esto sucedió en 1871). Después de escribir una serie de artículos sobre derecho constitucional, Hermann se separó del periódico y se encontró cada vez más en desacuerdo con su dirección política.

Grassmann tuvo once hijos, siete de los cuales llegaron a la edad adulta. Un hijo, Hermann Ernst Grassmann, se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Giessen.

Matemática

Uno de los muchos exámenes para los que se presentó Grassmann requería que presentara un ensayo sobre la teoría de las mareas. En 1840 lo hizo tomando la teoría básica del Traité de mécanique céleste de Laplace y de la Mécanique analytique de Lagrange, pero exponiendo esta teoría haciendo el uso de los métodos vectoriales en los que había estado reflexionando desde 1832. Este ensayo, publicado por primera vez en las Collected Works de 1894–1911, contiene la primera aparición conocida de lo que ahora se llama álgebra lineal y la noción de un espacio vectorial. Continuó desarrollando esos métodos en su A1 y A2.

En 1844, Grassmann publicó su obra maestra (A1) y comúnmente conocida como Ausdehnungslehre, que se traduce como "teoría de la extensión" o "teoría de magnitudes extensivas". Dado que A1 proponía una nueva base para todas las matemáticas, el trabajo comenzó con definiciones bastante generales de carácter filosófico. Grassmann luego mostró que una vez que la geometría se pone en la forma algebraica que él defendía, el número tres no tiene un papel privilegiado como el número de dimensiones espaciales; el número de dimensiones posibles es, de hecho, ilimitado.

Fearnley-Sander describe la base del álgebra lineal de Grassmann de la siguiente manera:

La definición de un espacio lineal (espacio vencedor) [...] se conoció ampliamente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron definiciones formales. De hecho, esa definición había sido dada treinta años antes por Peano, quien estaba completamente familiarizado con el trabajo matemático de Grassmann. Grassmann no puso una definición formal – el lenguaje no estaba disponible – pero no hay duda de que tenía el concepto.

Comenzando con una colección de 'unidades ' e₁, e₂, e₃,..., él define efectivamente el espacio libre lineal que generan; es decir, él considera combinaciones lineales formales a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ +... donde el a_j son números reales, define la adición y multiplicación por números reales [en lo que es ahora la manera habitual] y demuestra formalmente las propiedades espaciales lineales para estas operaciones.... Luego desarrolla la teoría de la independencia lineal de una manera que es asombrosamente similar a la presentación que se encuentra en textos modernos de álgebra lineal. Define las nociones de subespacial, independencia lineal, lazo, dimensión, unión y encuentro de subespaciales y proyecciones de elementos sobre subespaciales.

[...] pocos se han acercado más que Hermann Grassmann para crear, de una sola mano, un nuevo tema.

Siguiendo una idea del padre de Grassmann, A1 también definió el producto exterior, también llamado "producto combinatorio" (en alemán: kombinatorisches Produkt o äußeres Produkt “producto exterior”), la operación clave de un álgebra ahora llamada álgebra exterior. (Debe tenerse en cuenta que en la época de Grassmann, la única teoría axiomática era la geometría euclidiana, y la noción general de un álgebra abstracta aún no se había definido). En 1878, William Kingdon Clifford unió este álgebra exterior a William Los cuaterniones de Rowan Hamilton reemplazando la regla de Grassmann e_pe_p = 0 por la regla e_pe_p = 1. (Para cuaterniones, tenemos la regla i² = j² = k² = −1.) Para obtener más detalles, consulte Álgebra exterior.

A1 fue un texto revolucionario, demasiado adelantado a su tiempo para ser apreciado. Cuando Grassmann lo presentó para solicitar una cátedra en 1847, el ministerio pidió un informe a Ernst Kummer. Kummer aseguró que había buenas ideas en él, pero encontró la exposición deficiente y desaconsejó darle a Grassmann un puesto universitario. Durante los siguientes 10 años, Grassmann escribió una variedad de trabajos aplicando su teoría de la extensión, incluyendo su Neue Theorie der Elektrodynamik de 1845 y varios artículos sobre curvas y superficies algebraicas, con la esperanza de que estas aplicaciones llevar a otros a tomar en serio su teoría.

En 1846, Möbius invitó a Grassmann a participar en un concurso para resolver un problema propuesto por primera vez por Leibniz: diseñar un cálculo geométrico desprovisto de coordenadas y propiedades métricas (lo que Leibniz denominó analysis situs). Geometrische Analyze geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik de Grassmann, fue la entrada ganadora (también la única entrada). Möbius, como uno de los jueces, criticó la forma en que Grassmann introdujo nociones abstractas sin darle al lector ninguna intuición de por qué esas nociones eran valiosas.

En 1853, Grassmann publicó una teoría sobre cómo se mezclan los colores; Las leyes de los cuatro colores de su teoría todavía se enseñan, como las leyes de Grassmann. El trabajo de Grassmann sobre este tema no coincidía con el de Helmholtz. Grassmann también escribió sobre cristalografía, electromagnetismo y mecánica.

En 1861, Grassmann sentó las bases para la axiomatización de la aritmética de Peano en su Lehrbuch der Arithmetik. En 1862, Grassmann publicó una segunda edición completamente reescrita de A1, con la esperanza de obtener un reconocimiento tardío por su teoría de la extensión y que contenía la exposición definitiva de su álgebra lineal. El resultado, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet (A2), no fue mejor que A1, aunque A2's forma de exposición anticipa los libros de texto del siglo XX.

Respuesta

En la década de 1840, los matemáticos generalmente no estaban preparados para comprender las ideas de Grassmann. En las décadas de 1860 y 1870, varios matemáticos llegaron a ideas similares a las de Grassmann, pero el propio Grassmann ya no estaba interesado en las matemáticas.

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant desarrolló un cálculo vectorial similar al de Grassmann, que publicó en 1845. Luego entró en una disputa con Grassmann sobre cuál de los dos había pensado primero en las ideas. Grassmann había publicado sus resultados en 1844, pero Saint-Venant afirmó que había desarrollado estas ideas por primera vez en 1832.

Uno de los primeros matemáticos en apreciar las ideas de Grassmann durante su vida fue Hermann Hankel, cuya Theorie der complexen Zahlensysteme de 1867.

[...], desarrolló [...] algunos de los álgebras de Hermann Grassmann y las quaterniones de W.R. Hamilton. Hankel fue el primero en reconocer el significado de los escritos de Grassmann de larga trayectoria y fue fuertemente influenciado por ellos.

En 1872, Victor Schlegel publicó la primera parte de su System der Raumlehre, que utilizó el enfoque de Grassmann para derivar resultados antiguos y modernos en geometría plana. Felix Klein escribió una reseña negativa del libro de Schlegel citando su incompletitud y falta de perspectiva sobre Grassmann. Schlegel siguió en 1875 con una segunda parte de su Sistema según Grassmann, esta vez desarrollando geometría de dimensiones superiores. Mientras tanto, Klein avanzaba en su programa de Erlangen, que también amplió el alcance de la geometría.

La comprensión de Grassmann esperaba el concepto de espacios vectoriales, que luego podría expresar el álgebra multilineal de su teoría de la extensión. Para establecer la prioridad de Grassmann sobre Hamilton, Josiah Willard Gibbs instó a los herederos de Grassmann a publicar el ensayo de 1840 sobre las mareas. La primera monografía de A. N. Whitehead, Universal Algebra (1898), incluyó la primera exposición sistemática en inglés de la teoría de la extensión y el álgebra exterior. Con el surgimiento de la geometría diferencial, el álgebra exterior se aplicó a las formas diferenciales.

En 1995, Lloyd C. Kannenberg publicó una traducción al inglés de The Ausdehnungslehre and Otherworks. Para una introducción al papel del trabajo de Grassmann en la física matemática contemporánea, véase The Road to Reality de Roger Penrose.

Lingüista

Las ideas matemáticas de Grassmann comenzaron a difundirse hacia el final de su vida. Treinta años después de la publicación de A1, el editor escribió a Grassmann: “Su libro Die Ausdehnungslehre está agotado desde hace algún tiempo. Dado que su obra apenas se vendió, en 1864 se utilizaron aproximadamente 600 ejemplares como papel de desecho y los pocos ejemplares impares restantes ya se han agotado, con la excepción de un ejemplar en nuestra biblioteca”. Decepcionado por la recepción de su trabajo en los círculos matemáticos, Grassmann perdió sus contactos con los matemáticos así como su interés por la geometría. Los últimos años de su vida se dedicó a la lingüística histórica y al estudio del sánscrito. Escribió libros sobre gramática alemana, recopiló canciones populares y aprendió sánscrito. Escribió un diccionario de 2000 páginas y una traducción del Rigveda (más de 1000 páginas), lo que le valió la membresía de American Orientalists' Sociedad. en moderno Estudios rigvédicos, el trabajo de Grassmann se cita a menudo. En 1955 se publicó la tercera edición de su diccionario a Rigveda.

Grassmann también notó y presentó una regla fonológica que existe tanto en sánscrito como en griego. En su honor, esta regla fonológica se conoce como ley de Grassmann.

Estos logros filológicos fueron honrados durante su vida; fue elegido miembro de la American Oriental Society y en 1876 recibió un doctorado honorario de la Universidad de Tübingen.

Publicaciones

• A1:
  • Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre (en alemán). Otto Wigand.
  • Grassmann, Hermann (1994). Una nueva rama de las matemáticas. Traducido por Kannenberg, Lloyd C. Open Court. pp. 9–297. ISBN 9780812692761.
• Grassmann, Hermann (1847). Geometrische Analyse (en alemán). Weidmannsche Buchhandlung.
• Grassmann, Hermann (1861). Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. Vol. 1: Arithmetik. Berlín: Adolph Enslin.
• A2:
  • 1862. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet.. Berlín: Enslin.
  • traducción al inglés, 2000, por Lloyd Kannenberg, Extensión Teoría, American Mathematical Society ISBN 0-8126-9275-6, ISBN 0-8126-9276-4
• 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda. Brockhaus.
• 1876-1877. Rig-Veda. Brockhaus. Traducción en dos vols., vol. 1 publicado 1876, vol. 2 publicado 1877.
• 1894-1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke, en 3 vols. Friedrich Engel ed. B.G. Teubner. Reimpreso 1972, Nueva York: Johnson.