Heptágono

En geometría, un heptágono o un septágono es un polígono de siete lados o 7 gónos.

Al heptágono a veces se le llama septágono, usando "septiembre-" (una elisión de septua-, un prefijo numérico derivado del latín, en lugar de hepta-, un prefijo numérico derivado del griego; ambos son afines) junto con el sufijo griego & #34;-agón" que significa ángulo.

Heptágono regular

Un heptágono regular, en el que todos los lados y todos los ángulos son iguales, tiene ángulos internos de 5π/7 radianes (1284⁄7 grados). Su símbolo de Schläfli es {7}.

Área

El área (A) de un heptágono regular de longitud de lado a viene dada por:

A=74a2cot⁡ ⁡ π π 7≃ ≃ 3.634a2.{displaystyle A={frac {7} {4}a^{2}cot {fnMic {fnMic {fnK} } {7}simeq 3.634a^{2}.}

Esto se puede ver subdividiendo el heptógono del lado de la unidad en siete rebanadas triangulares "pie" con vértices en el centro y en los vértices del heptógono, y luego arrastrándose cada triángulo utilizando el apothem como el lado común. El apothem es la mitad del cotangente π π /7,{displaystyle pi /7,} y el área de cada uno de los 14 pequeños triángulos es una cuarta parte del apothem.

El área de un heptógono regular inscrito en un círculo de radio R es 7R22pecado⁡ ⁡ 2π π 7,{displaystyle {tfrac {7R}{2}sin {tfrac {2pi}{7}}}} mientras que el área del círculo en sí es π π R2;{displaystyle pi R^{2} así el hepágono regular llena aproximadamente 0.8710 de su círculo circunscrito.

Construcción

Como 7 es un Pierpont prime pero no un Fermat prime, el heptagon regular no es constructible con brújula y rectitud, pero es constructible con un gobernante marcado y brújula. Es el polígono regular más pequeño con esta propiedad. Este tipo de construcción se llama construcción de neusis. También es constructible con brújula, trama y trisector de ángulo. La imposibilidad de la construcción de hendidura y brújula se deriva de la observación de que 2#⁡ ⁡ 2π π 7.. 1.247{displaystyle scriptstyle {2cos {2ccccc\ccc\cccccc\c\c\cc\\c\c\\\\cc\\cccc\\cc\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\cc\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\ } {7}approx 1.247} es un cero del cúbico irreducible x³ + x² − 2x − 1. En consecuencia, este polinomio es el polinomio mínimo de 2cos(2π.7), mientras que el grado del mínimo polinomio para un número constructible debe ser un poder de 2.

A construcción de neusis del ángulo interior en un heptógono regular.

Una animación de una construcción de neusis con radio de circuncircle OĀ ̄ =6{displaystyle {fnK}=6}, según Andrew M. Gleason basado en la trisección del ángulo por medio del tomahawk. Esta construcción se basa en el hecho de que 6#⁡ ⁡ ()2π π 7)=27#⁡ ⁡ ()13arctan⁡ ⁡ ()33))− − 1.{displaystyle 6cos left({2pi }{7}right)=2{sqrt {7}cos left({frac {1}{3}arctan left(3{sqrt {3}right)-1.}

Aproximación

Una aproximación para uso práctico con un error de aproximadamente 0,2% es utilizar la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en el mismo círculo que la longitud del lado de un heptógono regular. Se desconoce quién encontró por primera vez esta aproximación, pero fue mencionado por Heron de Alejandría Metrica en el siglo I d.C., era bien conocido por los matemáticos islámicos medievales, y se puede encontrar en la obra de Albrecht Dürer. Vamos A yace en la circunferencia del círculo. Draw arc BOC. Entonces... BD=12BC{displaystyle scriptstyle {BD={1over 2}BC} da una aproximación para el borde del heptógono.

Esta aproximación utiliza 32.. 0.86603{displaystyle scriptstyle {{sqrt {3}over 2}approx 0.86603} para el lado del heptógono inscrito en el círculo de la unidad mientras que el valor exacto 2pecado⁡ ⁡ π π 7.. 0.86777{displaystyle scriptstyle 2sin {pi over 7}approx 0.86777}.

Ejemplo para ilustrar el error:
En un radio de círculo circunscrito r = 1 m, el error absoluto del primer lado sería aproximadamente -1,7 mm

Simetría

El heptágono regular pertenece al grupo de puntos D7h (notación de Schoenflies), orden 28. Los elementos de simetría son: un eje de rotación propio de 7 veces C₇, un Eje de rotación impropia de 7 veces, S₇, 7 planos de espejo verticales, σ_v, 7 ejes de rotación de 2 veces, C₂, en el plano del heptágono y un plano especular horizontal, σ_h, también en el plano del heptágono.

Diagonales y triángulo heptagonal

The regular heptagon 's side a, shorter diagonal b, and longer diagonal c, with a<b<c, satisfy

a2=c()c− − b),{displaystyle a^{2}=c(c-b),}

b2=a()c+a),{displaystyle b^{2}=a(c+a),}

c2=b()a+b),{displaystyle c^{2}=b(a+b),}

1a=1b+1c{displaystyle {frac}{frac}={frac} {1}{b}+{frac} {1}{c}} (la ecuación óptica)

y por lo tanto

ab+ac=bc,{displaystyle ab+ac=bc,}

y

b3+2b2c− − bc2− − c3=0,{displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}

c3− − 2c2a− − ca2+a3=0,{displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}

a3− − 2a2b− − ab2+b3=0,{displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}

Así –b/c, c/a, y a/b todos satisfacen la ecuación cúbica t3− − 2t2− − t+1=0.{displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.} Sin embargo, no existen expresiones algebraicas con términos puramente reales para las soluciones de esta ecuación, porque es un ejemplo de casus irreducibilis.

Las longitudes aproximadas de las diagonales en términos del lado del heptágono regular están dadas por

b.. 1.80193⋅ ⋅ a,c.. 2.24698⋅ ⋅ a.{displaystyle bapprox 1.80193cdot a,qquad capprox 2.24698cdot a.}

También tenemos

b2− − a2=ac,{displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}

c2− − b2=ab,{displaystyle ¿Qué?

a2− − c2=− − bc,{displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}

y

b2a2+c2b2+a2c2=5.{displaystyle {frac {}{a^{2}}+{frac} {f}} {f} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}} {f} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {f}}} {f} {f}}} {fn}}}} {f}}}} {f}}} {fnf}} {fnf}}}}}}} {fnf}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\f}\\\f}f}\\fn\fnfn\fnMicrocf}f}}}}f}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}}\\f}f}f}}}}}}}}}}}}}} Cinco.

Un triángulo heptagonal tiene vértices coincidiendo con los vértices primero, segundo y cuarto de un heptógono regular (desde un vértice de inicio arbitrario) y ángulos π π /7,2π π /7,{displaystyle pi /7,2pi /7,} y 4π π /7.{displaystyle 4pi /7} Así sus lados coinciden con un lado y dos diagonales particulares del heptógono regular.

En poliedros

Aparte del prisma heptagonal y el antiprisma heptagonal, ningún poliedro convexo hecho enteramente de polígonos regulares contiene un heptágono como cara.

Heptágonos estelares

Se pueden construir dos tipos de heptágonos estelares (heptagramas) a partir de heptágonos regulares, etiquetados con los símbolos de Schläfli {7/2} y {7/3}, siendo el divisor el intervalo de conexión.

Azul, {7/2} y verde {7/3} heptógonos estrella dentro de un heptógono rojo.

Alicatado y embalaje

Triángulo, heptágono y vértice 42

Hiperbólico tinte heptógono

Un triángulo, un heptágono y un gónodo de 42 regulares pueden llenar completamente un vértice plano. Sin embargo, no hay mosaico del plano sólo con estos polígonos, porque no hay manera de encajar uno de ellos en el tercer lado del triángulo sin dejar un espacio o crear una superposición. En el plano hiperbólico, son posibles teselaciones mediante heptágonos regulares.

El heptágono regular tiene un empaquetamiento de doble red del plano euclidiano con una densidad de empaquetamiento de aproximadamente 0,89269. Se ha conjeturado que esta es la densidad más baja posible para la densidad de empaquetamiento óptima de doble red de cualquier conjunto convexo y, de manera más general, para la densidad de empaquetamiento óptima de cualquier conjunto convexo.

Ejemplos empíricos

El Reino Unido, a partir de 2022, tiene dos monedas heptagonales, las de 50p y 20p, y el dólar de Barbados también son heptagonales. Estrictamente, la forma de las monedas es un heptágono de Reuleaux, un heptágono curvilíneo que tiene curvas de ancho constante; los lados están curvados hacia afuera para permitir que las monedas rueden suavemente cuando se insertan en una máquina expendedora. Las monedas de pula de Botswana en denominaciones de 2 pula, 1 pula, 50 thebe y 5 thebe también tienen forma de heptágonos de curva equilátera. Las monedas con forma de heptágonos de Reuleaux también circulan en Mauricio, Emiratos Árabes Unidos, Tanzania, Samoa, Papua Nueva Guinea, Santo Tomé y Príncipe, Haití, Jamaica, Liberia, Ghana, Gambia, Jordania, Jersey, Guernsey, Isla de Man, Gibraltar, Guyana, Islas Salomón, Islas Malvinas y Santa Elena. La moneda de 1000 Kwacha de Zambia es un verdadero heptágono.

La moneda brasileña de 25 céntimos tiene un heptágono inscrito en el disco de la moneda. Algunas versiones antiguas del escudo de armas de Georgia, incluso en la época soviética, utilizaban un heptagrama {7/2} como elemento.

Varias monedas, incluida la de 20 céntimos de euro, tienen simetría heptagonal en una forma llamada flor española.

En arquitectura, los planos de planta heptagonales son muy raros. Un ejemplo notable es el mausoleo del príncipe Ernst en Stadthagen, Alemania.

Muchas placas de policía en EE. UU. tienen un contorno de heptagrama {7/2}.